Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng đầu thế kỉ XX và
đến nay vẫn được xem như là một ngành toán học cổ điển. Trong quá trình
phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú,
những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả
các ngành toán học có liên quan, sử dụng đến công cụ giải tích và không gian
vectơ. Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành toán học.
Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và
bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của
thầy giáo - Tiến sĩ - Tạ Ngọc Trí, em đã chọn đề tài: “Các loại tôpô thường
gặp trong không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và quan hệ giữa chúng”.

2. Cấu trúc của khóa luận
Nội dung của khóa luận bao gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Cách xác định tôpô qua nửa chuẩn.
Chương 3: Các loại tôpô thường gặp trong không gian các toán tử tuyến tính
bị chặn và quan hệ giữa chúng.

3. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về tôpô, một nội dung khá quen thuộc, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng
và tổng quát của giải tích hàm. Đặc biệt là ba loại tôpô thường gặp trong
không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trước khi tìm hiểu về các loại tôpô thường gặp trong không gian các
toán tử tuyến tính bị chặn, chúng ta cần nắm được một số kiến thức cơ bản.
Chương 1 này nhắc lại một số kiến thức cơ bản đó. Các khái niệm và kết quả
trình bày trong chương này được tham khảo ở các tài liệu [1], [2], [3],[5] và
[6].

1.1. Không gian tuyến tính
Ở mục này, ta đi nhắc lại một số kiến thức về không gian tuyến tính.
Những khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo trong tài liệu [3].
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tuyến tính)
Giả sử F là trường số thực ¡ hoặc số phức £ . Tập X khác rỗng cùng
với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân với vô hướng ):
Phép cộng xác định trên X
(x,y)

X và lấy giá trị trong X:

x + y ; x, y X

Phép nhân vô hướng xác định trên F´ X và lấy giá trị trong X :
( , x)

x;

(v)

x

X,

,

(vi)

x, y

(vii)

x

X : x + (y+ z) = (x + y) + z

X,
X,

X : x + ( x) = x
F: (

x) = (

x=0
)x

F : (x + y) = x + y


a

1.

1.2 Không gian metric
Trong mục 1.2. này ta đi nhắc lại một số kiến thức về không gian metric.
Các khái niệm và kết quả ở mục này được tham khảo trong tài liệu [1] và [3].
Định nghĩa 1.2.1. (Không gian metric, metric) Ta gọi là không gian metric
một tập hợp X ¹

cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X´ X vào tập số

thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau đây:
0, d(x,y) = 0 Û x = y ; ( Tiên đề đồng nhất) ;

1) (

x, y

X ) d(x,y)

2) (

x, y

X ) d(x,y) = d(y,x) ; ( Tiên đề đối xứng ) ;

3) (


Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

4


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

Với hai dãy số bất kỳ x = (xn)n=1 và y = (yn )n=1 ta đặt :
¥

d(x,y) =

å

x n - yn

2

n= 1

Hệ thức này xác định một metric trên l2. Không gian metric tương ứng kí hiệu
là l2.
Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian metric M = (X,d), dãy điểm (xn)
điểm x0
n®

X,



X: d (x,a)

X bán kính r > 0 tập hợp
r}.

Định nghĩa 1.2.4. (Lân cận) Cho không gian metric M = (X,d). Ta gọi là lân
cận của điểm x

X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r >

0 nào đấy.
Định nghĩa 1.2.5. (Tập mở, tập đóng) Cho không gian metric M = (X,d) và
tập A

X. Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu điểm x

A, thì tồn

tại một lân cận của x bao hàm trong A.
Tập A được gọi là tập đóng trong không gian M, nếu điểm x

A, thì tồn

tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

5



, metric trên Y sẽ kí hiệu là

Y gọi là liên tục tại điểm x0

Y

). Một ánh xạ

từ X vào

X nếu

(" e> 0)($d> 0)(" x Î X): r X (x,x 0 )< dÞ

Y

(¦ (x), ¦ (x 0 ))


X) x + y £ x + y .

Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng kí kiệu không gian định chuẩn là X.
Định lý 1.3.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véctơ bất kỳ x, y
X ta đặt d(x,y) = x - y . Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.3.2. (Dãy hội tụ) Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X
gọi là hội tụ tới điểm x

X, nếu lim x n - x = 0.
n

Ký hiệu: xn = x hay xn ® x (n ®

).

Định nghĩa 1.3.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X
gọi là dãy cơ bản, nếu lim x n - x m = 0.
m,n

Định nghĩa 1.3.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X gọi là
không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.3.1. Đối với dãy số thực bất kỳ x ¡ ta đặt x = x .

(1)

Công thức này cho một chuẩn trên ¡ . Không gian định chuẩn tương ứng ký
hiệu là ¡ 1 . ¡

1

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

7


Khóa luận tốt nghiệp
2) ( x

X) (

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

P) A x = Ax.

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = P thì toán
tử A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.5. (Toán tử bị chặn) Cho hai không gian định chuẩn X và Y.
Toán tử tuyến tính từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn
tại hằng số C > 0 sao cho: Ax

Y

£ Cx

X

,

x


X)

(A

- e) x < Ax e .

Định lí 1.3.2. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau tương đương :
1) A liên tục;
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X;
3) A bị chặn.
Định lý 1.3.3. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. Nếu toán tử A bị chặn, thì
A = sup Ax hay A = sup Ax
x £1

x =1

Định nghĩa 1.3.7. (Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn)
Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu B(X,Y) là tập hợp tất cả
các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y. Ta đưa vào
B(X,Y) hai phép toán:

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

8


Khóa luận tốt nghiệp


A = sup Ax
x =1

Dễ thấy công thức trên thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn và không gian tuyến tính
B(X,Y) trên trường P trở thành không gian định chuẩn.
Sự hội tụ trong không gian định chuẩn B(X,Y) gọi là sự hội tụ đều của
dãy toán tử bị chặn. Dãy toán tử (An)
toán tử A

B(X,Y) , nếu với mỗi x

B(X,Y) gọi là hội tụ từng điểm tới

X,

lim An x - Ax = 0 trong không gian Y.

n

Một dãy toán tử (An)

B(X,Y) hội tụ đều tới toán tử A

B(X,Y) thì dãy

(An) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y.
Định lý 1.3.4. Nếu Y là không gian Banach, thì B(X,Y) là không gian
Banach.
Định nghĩa 1.3.8. (Không gian đối ngẫu) Cho không gian định chuẩn X trên
trường P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ). Ta gọi không gian

và kết quả dưới đây được tham khảo trong các tài liệu [1] và [5].
Định nghĩa 1.4.1. (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên trường
P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ). Ta gọi là tích vô hướng
trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X

X vào trường P, kí hiệu

××
, , thỏa mãn tiên đề:
X) y,x = x, y ;

1) ( x, y
2) ( x, y, z
3) ( x, y
4) ( x

X) x + y, z = x,z + y,z ;
X) (

P) a x, y =

X) x,x > 0, nếu x ¹

x, y ;

( là ký hiệu phần tử không), x, x = 0 nếu

x= .
Định lý 1.4.1. Đối với mỗi x
Khi đó với mọi x, y


gồm những phần tử x, y, z, … nào đấy là không

gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1)

H là không gian tuyến tính trên trường P;

2)

H được trang bị một tích vô hướng ××
, ;

3) H là không gian Banach với chuẩn x =
k

Ví dụ 1.4.1. Ký hiệu ¡
k

Với mọi x = (xn) ¡

x, x , x

H.

là không gian véctơ thực k chiều.

, y = (yn) ¡

k

véctơ thực ¡

k

cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert.

Ví dụ 1.4.2. Ký hiệu l2 là không gian véctơ các dãy số phức x = (xn) sao cho
¥

chuỗi số

å

2

x n hội tụ. x = (xn)

l2, y = (yn)

l2, ta đặt

n= 1

¥

x, y = å x n y n
n= 1

Hệ thức này xác định một tích vô hướng. Và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
đó là

diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z , y

H0 , z

H0 .

H biểu

(4)

Phần tử y trong biểu diễn (3) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian
con H0.
Chú ý 1.4.1. Phần tử y trong biểu diễn (4) còn được gọi là phần tử của H0 gần
phần tử x nhất theo nghĩa d(x, y)= x - y £ x - u = d(x,u) " u Î H0 . Ta kí
hiệu y = Px và nhận được toán tử tuyến tính liên tục P ánh xạ H lên H0 ,

P = 1. Toán tử P thường được gọi là toán tử chiếu vuông góc (hay toán tử
chiếu trực giao) không gian H lên không gian con H0

H.

Định nghĩa 1.4.3. (Hai véc tơ trực giao) Cho không gian Hilbert H. Hai phần
tử x, y

H gọi là trực giao, ký hiệu x

y, nếu x, y = 0.

Định nghĩa 1.4.4. Cho không gian Hilbert H và tập con A
tử x


= 0 với i ¹ j,

i,j

=1 với i = j (i,j

= 1,2,…).
Định nghĩa 1.4.6. Hệ trực chuẩn (en)n 1 trong không gian Hilbert H gọi là cơ
sở trực chuẩn của không gian H, nếu trong không gian H không tồn tại véctơ
khác không nào trực giao với hệ đó.

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

12


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

Định lý 1.4.3. Không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không
gian đó là không gian tách được.
Định nghĩa 1.4.7. Không gian B(H, £ ) được gọi là không gian đối ngẫu của
của không gian Hilbert H và được ký hiệu là H*. Mỗi phần tử của H* được gọi
là phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Định lý 1.4.5. (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian
Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (x) = x,a , x
đó phần tử a


Định lý 1.4.6. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng Ax, x là số thực đối với
mọi x H.
Định lý 1.4.7. Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó, thì

A = sup Ax, x
x =1

1.5. Không gian véctơ tôpô
Trong mục 1.5. này ta sẽ đi nêu lại các kiến thức cơ bản về không gian
tôpô , lưới và không gian véctơ tôpô. Các khái niệm và kết quả này được tham
khảo trong các tài liệu [2], [3], [6].

1.5.1. Không gian tôpô.
Định nghĩa 1.5.1.1. (Tôpô) Cho X là một tập hợp tùy ý. Ta gọi là tôpô trên X
một lớp các tập hợp con

t

của X thỏa mãn các tiên đề :

;

(ii) Nếu G

t
t

(iii) Nếu Gj

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

Định nghĩa 1.5.1.2. (Không gian tôpô) Ta gọi không gian tôpô một cặp
(X, t ) trong đó X là một tập hợp,

t

được gọi là một điểm, mỗi tập hợp G

là một tôpô trên X. Mỗi phần tử x X

t

được gọi là một tập hợp mở.

Bằng ngôn ngữ tập hợp mở, ta có thể phát biểu lại các tiên đề tôpô như
sau :
(i)

và X là các tập hợp mở ;

(ii) Hợp một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở ;
(iii) Giao hữu hạn các tập hợp mở là một tập hợp mở ;
Định nghĩa 1.5.1.3. (Tập hợp đóng) Tập hợp F trong không gian tôpô (X, t )
được gọi là tập hợp đóng nếu X\F là tập hợp mở.
Ví dụ 1.5.1.1. Cho X ¹

là một tập hợp tùy ý. Khi đó


k

trong không gian Euclide ¡ k còn gọi là tôpô tự nhiên trong ¡ k .
Định nghĩa 1.5.1.5. Cho X là một tập hợp,
tôpô

t

t

mạnh hơn tôpô

và kí hiệu là

t

nếu

t

t

và

là các tôpô trên X. Ta nói

. Khi đó ta cũng nói tôpô

yếu hơn tôpô

của x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại V

n sao cho V

U.

Nếu tồn tại một cơ sở lân cận của x gồm đếm được các lân cận thì điểm
x gọi là có cơ sở lân cận đếm được.
Không gian tôpô mà tại mỗi điểm của nó đều tồn tại một cơ sở lân cận
đếm được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Định lý 1.5.1.1. Giả sử

t

là hai tôpô trên cùng tập hợp X. Để

và

điều kiện cần và đủ là với mọi x
x tương ứng đối với các tôpô

t

X, với

n tx

và , thì

V

X} có các tính chất sau:

nx

V với mọi V

(i)

x

(ii)

Nếu V1 , V2

(iii) Nếu V1
(iv) Với mỗi V

n x là một cơ sở lân cận của x.

nx

;

thì V1

n x và V2

V2

V1 thì V2


Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

(iv). Khi đó tồn tại một tôpô duy nhất trên X sao cho tại mỗi điểm x
họ

X,

n x là cơ sở lân cận của x.

Định lý 1.5.1.3. Để một họ B những tập hợp mở của X là một cơ sở tôpô của
X. Thì điều kiện cần và đủ là mỗi tập mở G

X đều là hợp của một họ con

của B.
Định nghĩa 1.5.1.7. (Phần trong) Cho không gian tôpô (X, t ), A

X. Ta gọi

phần trong của tập A là hợp của tất cả các tập mở chứa trong A.
Định nghĩa 1.5.1.8. (Bao đóng) Cho (X, t ) là không gian tôpô, A

X. Ta

gọi bao đóng của tập A là giao của tất cả các tập đóng chứa A.
Định nghĩa 1.5.1.9.( Tập trù mật) Cho không gian tôpô (X, t ), A, B
nói tập hợp A trù mật trong tập hợp B nếu B

X. Ta


A.

là ánh xạ liên tục.

Định nghĩa 1.5.1.12. (Không gian Hausdorff) Không gian tôpô X được gọi
là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y
x và một lân cận V của y sao cho U

V=

X, x ¹ y, tồn tại một lân cận U của
. Không gian này còn được gọi

là không gian tách.

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

17


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

Định lý 1.5.1.4. Giả sử X là một tập hợp,
gian tôpô, {

s



Vsi , si

S, Vsi

si

(i = 1,n ) là một cơ sở của tôpô t .

Tôpô t được gọi là tôpô đầu xác định bởi họ ánh xạ {

}

s s

S

.

Định nghĩa 1.5.1.13. Trong không gian tôpô X ta nói một dãy {xn}
tụ tới điểm x (hoặc x là giới hạn của xn) và viết xn
cho trước của x đều tồn tại n0 sao cho xn

X hội

x nếu với mọi lân cận V

V với mọi n

n0 .


P;

2) Nếu (x,y) và (y,x) đều thuộc S thì x = y ;
3) Nếu (x,y)

S và (y,z)

S thì (x,z)

S.

Định nghĩa 1.5.1.15. Một tập được định hướng (A directed set) là một tập sắp
thứ tự bộ phận I, với thứ tự bộ phận
I đều tồn tại một vài

I sao cho

thỏa mãn với bất kì cặp phần tử ,
và

.

Định nghĩa 1.5.1.16. Một lưới trong không gian tôpô (X, t ) là một ánh xạ từ
tập được định hướng I vào X. Ký hiệu là: (x )
Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí

I

.

véctơ đồng thời là một không gian tôpô thỏa mãn phép cộng và phép nhân vô
hướng liên tục.
Hệ quả 1.5.2.1. Một không gian véctơ là Hausdorff khi và chỉ khi mỗi tập
một điểm là đóng.
Ví dụ 1.5.2.1. Bất kỳ một không gian định chuẩn thực hoặc phức nào đều là
không gian véctơ tôpô khi được trang bị tôpô cảm sinh bởi chuẩn.
Ví dụ 1.5.2.2. Bất kỳ một không gian véctơ đều là không gian véctơ tôpô với
tôpô rời rạc.
Định lý 1.5.2.1. Cho X là một không gian véctơ tôpô. Với a

X cho trước và

s

K, với s ¹ 0, ánh xạ tịnh tiến Ta: x a x + a và ánh xạ nhân Ms : x

x

X, là một phép đồng phôi từ X lên chính nó.

a

sx,

Định lý 1.5.2.3. Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian tuyến tính tôpô
X. Không gian X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi với mỗi x ¹ 0 đều
có một V

B không chứa x tức là :


CÁCH XÁC ĐỊNH TÔPÔ QUA NỬA CHUẨN
Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra khái niệm nửa chuẩn và chỉ ra rằng một
họ nửa chuẩn trên một không gian véctơ sinh ra một tôpô tương hợp với cấu
trúc không gian véctơ đó, và ta đi tìm hiểu một số tính chất của tôpô sinh bởi
họ nửa chuẩn. Các khái niệm và kết quả trình bày ở đây được tham khảo ở tài
liệu [6].

2.1. Nửa chuẩn.
Định nghĩa 2.1.1. (Nửa chuẩn) Cho một không gian véctơ X trên trường K.
Một ánh xạ p: X ® ¡ được gọi là một nửa chuẩn nếu thỏa mãn :
(1) p(x)

0 với mọi x

(2) p(x + y)

X;

p(x) + p(y) với mọi x, y

(3) p( x) = | |p(x) với mọi x

X;

X và mọi

K.

Chú ý 2.1.1.Từ định nghĩa ta thấy có thể xảy ra trường hợp p(x) = 0 với x ¹ 0.
Nếu ta bổ sung thêm điều kiện cho nửa chuẩn là p(x) = 0 Û x = 0. Thì lúc này

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

chuẩn. Thật vậy, nếu họ nửa chuẩn chỉ gồm một nửa chuẩn thì nửa chuẩn đó
có thể trở thành một chuẩn. Lúc đó, việc xây dựng của chúng ta sẽ đem lại
chính xác một tôpô chuẩn thông thường trên X. Chú ý rằng
V(x0, p1, p2, … ; r) = x0 + V(0, p1, p2, … ; r) .
Điều này được sử dụng để định nghĩa cơ sở lân cận địa phương tại mỗi
điểm x

X thông qua các tập như trên. Để xây dựng một tôpô qua một họ nửa

chuẩn ta đi xét định lý sau :
Định lý 2.2.1. Cho X là một không gian véctơ trên trường K và p là một họ
các nửa chuẩn trên X. Với mỗi x X, ta ký hiệu Nx là tập hợp tất cả các tập
con của X có dạng V(x, p1, p2, …, pn; r), với n ¥ , p1, …, pn p và r > 0.
Đặt

t

là tập hợp tất cả các tập con của X bao gồm tập

tập con G của X thỏa mãn với bất kỳ x

cùng với tất cả các

G, tồn tại một vài U

Nx sao cho U

A và V

A

t
B

thì A

t

B. Thì x

B

t

t

cũng thuộc

.

.
A và x

B vì vậy tồn tại U, V

B. Giả sử rằng U = V(x, p1, …, pm ; r) và V =


Đỗ Thị Lan – K33C SP Toán

U = V(x, p1, …, pn ; r) và z
Thì pi(z

x) < r với 1

Với bất kỳ 1
pi (y

n. Lấy > 0 sao cho < r

i

n và bất kỳ y X thỏa mãn pi(y

i

x)

U.

pi(y

z) + pi(z

x) < + pi (z

Do đó V(z, p1, …, pn ; )


r
v0 : (xv, yv) V(x, p1, …, pn ; )
2
Đối với bất kỳ 1
pi(x + y

i

(xv + yv))

n và v
pi (x

r
V(y, p1, …, pn ; ) khi v
2

(x, y)

v0.

v0 thì
xv) + pi(y

r r
yv) < +
2 2

V(x + y, p1, …, pn ; r). Do đó xv + yv ® x + y.


tv| pi(x) + |tv| pi(x

xv)

< pi(x) + (|t| + )s
0: pi(x) < , 1
2

i

r
k , thì s > 0 thỏa mãn (|t| + ) s < .
2

Vì vậy tvxv V(tx, p1, …, pk ; r) khi v
tục và do đó

t

v0. Ta kết luận rằng (t,x)

a

tx là liên

là một không gian véctơ tôpô trên X.

Giảng viên hướng dẫn: TS. Tạ Ngọc Trí


P thỏa mãn = p(x y) > 0. Khi đó tập V(x, p; 2) và V(y, p; 2) là

các lân cận tương ứng của x và y và giao của hai lân cận này là tập

. Vì vậy

(X, t ) là Hausdorff .
Ngược lại, giả sử rằng (X, t ) là Hausdorff. Đối với bất kì x X với x ¹
0, tồn tại một lân cận của 0 không chứa x. Đặc biệt, tồn tại p1, …, pn
r > 0 sao cho x
với 1

i

V(0, p1, …, pm ; r). Điều đó cho thấy pi(x

P và

0) = pi(x)

r,

m và vì vậy hiển nhiên pi(x) > 0 và ta thấy rằng P là một họ tách

được các nửa chuẩn trên X.
Định nghĩa 2.2.1.(Tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn) Tôpô

t


Do đó xv

v0 , 1

V(0, p1, …, pm ; r) khi v

i

p và r >

m.

v0. Suy ra xv ® 0 .

Chú ý 2.2.1. Sự hội tụ của một lưới (xv) đến x thì chưa chắc đã được suy ra từ
sự hội tụ của p(xv) ® p(x) trong ¡ với mỗi p
và p

p .Thật vậy, với x ¹ 0 bất kỳ

p bất kỳ , p(( 1)nx) ® p(x), khi n ® , nhưng ( 1)nx ® x là không

đúng nếu (X, t ) tách được.
Định lý 2.2.3. Tôpô trong một không gian véctơ X trên trường K xác định bởi
một họ nửa chuẩn p là tôpô tương hợp yếu nhất trên X làm cho mỗi phần tử
của p liên tục tại 0.
Chứng minh.
Đặt

t

’,1

Ta biết, phép tịnh tiến là một phép đồng phôi vì vậy
tập có dạng V(x, p1, …, pn ; r) với mọi x
Do đó ta có
Hệ quả 2.2.1.

t ’.
Tôpô t xác
t

X. Suy ra

t

t

t

t

’
i

n.

’ chứa tất cả các

’.