Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận
tình của thầy giáo, Thạc sỹ Phùng Đức Thắng khóa luận của em đến nay đã
được hoàn thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Phùng
Đức Thắng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo cho em nhiều kinh nghiệm
quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này. Em cũng xin chân thành
cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhất
cho em trong thời gian em làm khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố
gắng song bản khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên để
khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Lê Mai Oanh

SVTH: Lê Mai Oanh

1

K33C - Toán



MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu ..................................................................................................... 4
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị ........................................................ 7
1.1. Không gian metric ................................................................................... 7
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach ......................................... 10
1.3. Không gian Hilbert, không gian phản xạ ............................................... 11
1.4. Tập hợp lồi ............................................................................................ 12
1.5. Nửa nhóm .............................................................................................. 13
1.6. Ánh xạ Lipschitz và một số khái niệm khác .......................................... 14
1.7. Nguyên lý ánh xạ co Banach.................................................................. 15
Chương 2. Không gian lồi đều. Định lý Browder-Gohde ......................... 17
2.1. Không gian lồi đều. Môđun lồi .............................................................. 17
2.2. Cấu trúc chuẩn và cấu trúc chuẩn đều ................................................... 22
2.3. Ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz đều .............................................. 26
Chương 3. Mở rộng định lý Goebel-Kirk và định lý Lipschitz ra
nửa nhóm ..................................................................................................... 30
3.1. Định nghĩa và kí hiệu ............................................................................. 30
3.2. Các định lí điểm bất động và cận trên

............................................... 31

3.3. Mở rộng định lí Lipschitz ra nửa nhóm ................................................ 48
Kết luận ......................................................................................................... 52
Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 53

SVTH: Lê Mai Oanh

3

giải tích hàm phi tuyến. Ngay từ đầu thế kỷ XX các nhà Toán học trên thế
giới đã quan tâm đến vấn đề này và có thể khẳng định cho đến nay lý thuyết
điểm bất động đã phát triển hết sức sâu, rộng và trở thành công cụ quan
trọng để giải quyết nhiều bài toán do thực tế đặt ra. Sự phát triển của lý
thuyết điểm bất động đã gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà Toán học trên
thế giới như: Banach, Browder, Lipschitz, Goebel, Kirk, Lim-Xu…
Những kết quả kinh điển đồng thời cũng là kết quả đầu tiên của lý
thuyết điểm bất động như: nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất
động của Brouwer đã được áp dụng vào các lĩnh vực toán học hiện đại như:
Phương trình vi phân, Phương trình tích phân, Giải tích hàm, Giải tích số…
Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên đây, lý thuyết điểm bất động đã
được phát triển theo hai hướng chính:
- Hướng thứ nhất: nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ co trong
không gian metric.

SVTH: Lê Mai Oanh

4

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Hướng thứ hai: nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ compact trong
không gian vectơ Tôpô.
Vào những năm 60 của thế kỷ trước, một hướng có thể được xem là
hướng trung gian của hai hướng trên đã xuất hiện trong lý thuyết điểm bất



Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Sinh viên đại học và sinh viên sau đại học.
+ Phạm vi nghiên cứu: Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ Lipschitz.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian Banach, không gian Hilbert,
Giúp sinh viên nắm chắc định lí điểm bất động của ánh xạ Lipschitz.
Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm cơ bản, tính chất cơ bản của một số
không gian, tập hợp là công cụ cho nội dung nghiên cứu của những chương
sau như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach,
không gian Hilbert, không gian phản xạ, tập hợp lồi, nửa nhóm, ánh xạ
Lipschitz và nguyên lý ánh xạ co Banach.
Chương 2: Trình bày một số khái niệm về cấu trúc hình học của không gian
Banach và những khái niệm về ánh xạ không giãn, Lipschitz, Lipschitz đều.
Chương 3: Giới thiệu và mở rộng kết quả của Goebel-Kirk và trình bày chi
tiết định lí Goebel-Kirk và Thele cho nửa nhóm ánh xạ. Ngoài ra còn đưa ra
một cách chứng minh trực tiếp định lí trên cho nửa nhóm ánh xạ Lipschitz.
Tiếp theo giới thiệu định lí Lipschitz (1975) và một số kết quả mở rộng định lí
này ra nửa nhóm của Đỗ Hồng Tân (2000).

SVTH: Lê Mai Oanh

6


x
d ( y, x)
d ( x, z ) d ( z , y )

x, y

X,

y;
x, y X ;
x, y , z X .

Ánh xạ d như vậy được gọi là một mêtric trên X . Khi đó ( X , d ) được
gọi là một không gian mêtric (ta có thể gọi là không gian mêtric X ).
Ví dụ 1.1.1.
Xét tập C a, b

{ x (t ) là ánh xạ liên tục trên [a,b]} và ánh xạ:

d : C[a, b] C[a, b]
( x, y )

¡

a d ( x, y ) max x(t )
t [ a ,b ]

y (t )

Ta dễ thấy:



Khóa luận tốt nghiệp đại học

iii)

x

x(t ),

x(t )

y

y (t ),

y (t )

Trường ĐHSP Hà Nội 2

z

z (t ) C[a, b]

x(t ) z (t ) z (t )

y (t )

max x( ) z ( )


xác định ánh xạ d : ¡

y1 , y2 ..., yn

¡

n

¡

¡ với mọi x

n

x1, x2 ..., xn ,

n

2

n

d ( x, y )

xi

yi

1
2


X : d ( x, y) r .

8

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 1.1.3.
Giả sử A là một tập con của không gian metric X , d . Điểm x0 của
X gọi là điểm trong của tập hợp họp A nếu tồn tại hình cầu mở B x0 , r

A.

Định nghĩa 1.1.4.
Tập hợp G gọi là mở nếu mỗi điểm của G đều là điểm trong của nó.
Quy ước

là tập hợp mở.

Định nghĩa 1.1.5.
Cho A là một tập con trong không gian mêtric X , d . Điểm x X
được gọi là điểm dính của tập hợp A nếu mọi hình cầu mở tâm x , bán kính

r 0 giao với A đều khác rỗng.
Nghĩa là :


K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b, Hợp của một họ hữu hạn những tập hợp bị chặn là một tập hợp bị chặn.
Định nghĩa 1.1.8.
Không gian metric X , d được gọi là đóng và bị chặn nếu X là tập
hợp đóng và bị chặn.
Định nghĩa 1.1.9.
Tập hợp K trong không gian metric X gọi là compact nếu mọi dãy
điểm xn trong K đều có một dãy con xnk hội tụ đến một điểm thuộc K .
1.2. Không gian định chuẩn. Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1.
Cho X là không gian tuyến tính trên K , ánh xạ

:X

¡ thỏa mãn

các điều kiện sau:

i)

x

0


K;
X.

được gọi là một chuẩn trên X . Khi đó X ,

được gọi là một

không gian định chuẩn.
Chú ý: Với mỗi chuẩn

có thể được xem là sinh bởi mêtric d hay ngược lại,

với sự xác định d ( x, y)

x

y

x, y

X.

Như vậy một không gian định chuẩn X ,

X , d với mêtric d sinh bởi chuẩn

là một không gian mêtric

. Do đó một số khái niệm: dãy hội tụ,

p

x

n

sao cho

, là không gian Banach với chuẩn

n
n 1

p

x

p

1
p

.

n
n 1

Ví dụ 1.2.2.
Không gian vectơ k chiều



x, y

ii) x
iii)

y, x
y, z

x, y

iv) x, x

0

SVTH: Lê Mai Oanh

x, y
x, z

y, z

x, y

x, y

x

X;


x, x với x H .

Định nghĩa 1.3.3.
Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ
nếu phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào không gian liên hợp thứ
hai X ** của nó là một toàn ánh.
Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn X là một không gian phản
xạ khi và chỉ khi với một phần tử bất kỳ x**
sao cho x** ( x* )

x* ( x)

x*

X ** tồn tại một phần tử x X

X*.

1.4. Tập hợp lồi
Định nghĩa 1.4.1.
Giả sử X là một không gian tuyến tính, ¡ là tập các số thực. Tập
A

X được gọi là lồi nếu

x1, x2

A,

¡ : 0

SVTH: Lê Mai Oanh

12

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

x1 (1

) x2

A

x1 (1

) x2

A.

[0,1]

Vậy A cũng là tập lồi.
Mệnh đề 1.4.2.
Giả sử Ai

X lồi,


Y lồi

Nghịch ảnh T 1 ( B) của ảnh B là tập lồi.

1.5. Nửa nhóm
Định nghĩa 1.5.1.
Cho A là tập hợp khác rỗng,
đó A, . là một nửa nhóm nếu
Nghĩa là : a.b .c a. b.c

là một phép toán hai ngôi trên A . Khi

có tính chất kết hợp.

a.b.c

a, b, c A .

Định nghĩa 1.5.2.
Cho nửa nhóm A, . với

A ) là tập hợp được xác định: A

A , ta gọi iđêal phải sinh bởi
{ . :

(ký hiệu

A} .


a, b A thì a.b b.a .

Định lí 1.5.1.
Một nửa nhóm giao hoán là một nửa nhóm khả nghịch trái.
Chứng minh
Thật vậy, giả sử A, . là một nửa nhóm giao hoán

A thì .

,
Mặt khác, ta có:

.

.

.

.

A và
A

.

A

A


k-Lipschitz đều ( uniformly k - lipschitzian mapping) nếu

k

0 sao cho d T n x,T n y

k.d x, y

x, y

X,

n 1,2...

Định nghĩa 1.6.3.
Cho không gian mêtric X , d , ánh xạ T : X

X được gọi là ánh xạ

không giãn (nonexpansive mapping) nếu

d Tx,Ty
SVTH: Lê Mai Oanh

d x, y
14

x, y

X.


X sao cho Tz

X là một ánh xạ

z (Nghĩa là T có điểm

bất động duy nhất trên X ).
Chứng minh
Vì T là ánh xạ co trên X nên c [0,1) sao cho

d Tx,Ty
Lấy x1

x, y

X ta có

c.d x, y .

X ta xây dựng dãy xn như sau:

Đặt x1

x và xm 1 Txm

m 2,3,4,...

Từ cách xây dựng dãy xn ta có:


K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vì 0 c 1

cm

Trường ĐHSP Hà Nội 2

.

0 khi m

Ta có:

d xn p , xn

d xn p , xn
cn

p 2

c n 1.

p 1

d xn
cn


d Txn0 .Tz
d Tz , z

0, n0 ¥ * sao cho
2
d Tz ,T 2 xn0

d T 2 xn0 , z
d T 2 xn0 , z

c.d z, Txn0
Suy ra d Tz, z

0

Tz

(c 1) .
2

z.

* Ta chứng minh z là duy nhất
Giả sử z

X sao cho Tz

z . Khi đó, ta có



Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 2

KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU.
ĐỊNH LÍ BROWDER-GOHDE
2.1. Không gian lồi đều, mô đun lồi
Trong giáo trình giải tích hàm, ta đã biết: không gian Hilbert là trường
hợp riêng của không gian Banach với hai tính chất quan trọng:
- Mọi không gian Hilbert đều phản xạ.
- Mọi tập hợp lồi đóng trong không gian Hilbert đều chứa một điểm gần
nhất đối với một điểm bất kỳ của không gian.
Trong số các không gian Banach, có một lớp đặc biệt chứa lớp các
không gian Hilbert mà vẫn giữ được hai tính chất trên đó là không gian
Banach lồi đều do Clarkson đề xướng năm 1936.
Đinh nghĩa 2.1.1.
Không gian Banach X ,

được gọi là lồi đều nếu với mọi

tại ( ) 0 sao cho với mọi x, y

X: x
x

y
2

SVTH: Lê Mai Oanh

17

d, y

d và x

y

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

x

Trường ĐHSP Hà Nội 2

y

d 1

2

với d

d

0 tùy ý.

x1, x2 ).

Ví dụ 2.1.2.
Mọi không gian Hilbert là lồi đều.
Thật vậy, cho x
hành ta có x

2

y

1 và x

1, y
2

2 x

x

2 y

2

x

y

. Từ đẳng thức hình bình



2

1

0 , ta có

Do vậy với mọi

1

4

.

Tổng quát hơn, không gian l p và Lp [a, b] với 1 p

là lồi đều

là không lồi đều.

còn với p 1, p
Đinh nghĩa 2.1.2.

Môđun lồi của không gian Banach X là hàm

X

:[0,2]


1, x

y

1, x

y

( ).

18

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nhận xét:
là hàm không giảm;

X

Không gian X lồi đều khi và chỉ khi

0 với mọi

X


1
xn
2
nên nếu limsup xn
Vậy limsup xn

n

Với mọi x, y, p

1
x
2

p

yn

yn

yn

1

X

( ) 1 (vô lý).

0.


r
R

1

p

R, x

y

r

R.

Định nghĩa 2.1.3.
Đặc trưng lồi (hay hệ số) của không gian Banach X là số
định nghĩa bởi
0

0

( X ) sup

0:

X

0


v
: x

1, ta định nghĩa
1, y

1, x y

19

,x y

u, x

y

v, ,

0 .

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khi đó

X

( ) inf

x
x

v

X, x
y
y

X

1, y

1.

1, ta có

v

u ,v

( )

X

( ) nên

( ).

1, x


u ,v

( ) : u, v

( )

X, u

1 .

v

là hàm lồi.

u ,v

1

y

,

(0,1) . Khi đó với mọi

0,

2

0 tồn tại


và thỏa mãn:

1

x1

1

x2

y1
u ,v

2

( 1)

;

( 2)

.

y2
u ,v

2

Suy ra

2
1
2
(1

y1 (1

2

)

2

) y2
20

1

1

u ,v

2

u ,v

1

1



Khóa luận tốt nghiệp đại học

0+:

Cho

1

(1

Với a (0,2) :

1

u ,v

( 2)

u ,v

,

)
2

Vậy

X


1

u ,v

( 2)

u ,v

X

( 2)

X

2

1

( 1)

1

u ,v

2

1

2 a
2

đặc trưng lồi cũng không bất biến với các chuẩn tương đương. Ví dụ sau cho
thấy tính chất đó.
Ví dụ 2.1.3.
Xét không gian Hilbert H l 2 ,

, theo ví dụ 2.1.2 ta có

2
H( ) 1

Với

1 ta đặt, X

Khi đó tất cả

1

, ở đó x

l 2,

là tương đương với
1

Tuy nhiên, với

nên

4


1)1/2

2

21

víi

2

víi

2.

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ví dụ 2.1.4.
Clarkson (1936) đã chỉ ra rằng tất cả các lớp không gian Lp
với 1 p

Lp (d )

là lồi đều bằng cách chỉ ra hai bất đẳng thức sau:


y

q

2( x

p

p

y )1/ p , ở đây

1
p

1
1.
q

Hanner (1956) đã chỉ ra cận dưới của môđun lồi trong Lp , p 2
p 1/ p
p

( ) 1

1

2

.


( D) , với mọi D

SVTH: Lê Mai Oanh

X lồi, đóng, bị chặn và ( D) 0.

22

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 2.2.2.
Một tập con lồi, đóng, bị chặn khác rỗng D

X được gọi là có cấu

trúc chuẩn đều nếu tồn tại hằng số k (0,1) sao cho r ( D1 ) k ( D1 ) với mọi
tập con lồi, đóng D1 của D .
Một không gian Banach X được gọi là có cấu trúc chuẩn đều nếu tồn
tại hằng số k

0,1 sao cho r ( D) k. ( D), với mọi tập con lồi, đóng, bị

chặn D.
Định nghĩa 2.2.3.

X có cấu trúc chuẩn đều và N

X

(1) 0 thì

X

(1) .

Chứng minh
Lấy K là tập con lồi, bị chặn của X với ( K ) d
suy ra

0

( X ) 1, nên ta chọn

0 sao cho d

0

u v
2

K , khi đó với mọi x K : x u

SVTH: Lê Mai Oanh

23


r ( K ) rz ( K )
0 :

Cho

r(K )

1

d

1

X

d

1
X

d

d

X

(1) .d

d.

(0,1) ta có

x (1

)y u

x u

(1

) y u

u C.

Suy ra

sup

x (1

)y u

sup x u

u C

(1

u C


y

y u
r ( y)

y.

Đổi vai trò x, y ta nhận được

r ( x) r ( y )

x

y .

(1)

Từ (1) kéo theo tính liên tục của hàm r ( x) rx (C) .

SVTH: Lê Mai Oanh

24

K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường ĐHSP Hà Nội 2


C và

µ( X ) nên A(C ) bị chặn, khác rỗng.
N
Với n ¥ * đặt K n1

Conv

U A( K

0
i

) . Khi đó K n1 là dãy giảm các

i n

tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và K n1
Mặt khác K n1 có tính chất
Thật vậy, x, y

UA

Kno với mọi n 1 .

Kn1

K io thì tồn tại n

K n0 , n 1.


K n0 .
n ,i

sao cho:

K33C - Toán