Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô * yếu . . . . . . 5
1.2 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Một số tính chất hình học của không gian Banach . . . . 7
1.4 Bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev . . . . . . . . . . 9
1.5 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 12
1.6 Nửa nhóm ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm
cận trong không gian CAT(0) 21
2.1 Không gian CAT(0) và các tính chất cơ bản . . . . . . . 21
2.2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận
trong không gian CAT(0) đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Tính chất điểm bất động của tập L-nhúng 34
3.1 Tập L-nhúng và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Các định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
2
Lời nói đầu
Lý thuyết điểm bất động được hình thành theo hai hướng nghiên cứu
chính: điểm bất động của ánh xạ dạng co (khởi đầu là nguyên lý ánh
xạ co Banach (1922)) và điểm bất động của ánh xạ dạng liên tục (khởi
đầu là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912)). Luận văn đề cập một
phần theo hướng nghiên cứu thứ nhất.
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ dạng co được xem xét dưới ba
loại ánh xạ chính: ánh xạ co, ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều.
Phải sau hơn bốn thập kỷ (đến năm 1965), kết quả khởi đầu sự tồn tại

bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ em
để em có thể hoàn thành khoá luận của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn
chế nên bản khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Em
rất mong các thầy cô và các bạn học viên nhận xét, đóng góp ý kiến để
bản khoá luận này được hoàn thiện và phát triển hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 06 năm 2013
4
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày về không gian đối ngẫu, tôpô yếu
và tôpô * yếu; không gian lồi địa phương; một số tính chất hình học của
không gian Banach; bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev, nửa nhóm
ánh xạ và điểm bất động của ánh xạ không giãn.
1.1 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô * yếu
Giả sử E, F là hai không gian tuyến tính định chuẩn và L(E, F ) là không
gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào F . Chuẩn ∥ A ∥ của toán
tử A ∈ L(E, F) được cho bởi
∥ A ∥= inf { M :∥ Ax ∥≤ M ∥ x ∥, ∀x ∈ E}
= sup { ∥ Ax ∥: x ∈ E, ∥ x ∥≤ 1}
= sup { ∥ Ax ∥: x ∈ E, ∥ x ∥= 1}
= sup { ∥ Ax ∥ / ∥ x ∥: x ∈ E, x ̸= θ}
Nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) với chuẩn xác định như trên
cũng là một không gian Banach. Ký hiệu K = C hoặc R.
Định nghĩa 1.1.1. Ta kí hiệu E
∗
= L(E, K) và gọi là không gian đối
5
ngẫu (hay liên hợp) của E. Các phần tử x

n
} hội tụ đến x đối với tôpô yếu σ(E, E
∗
). Kí hiệu x
n
wk
→
x.
Định nghĩa 1.1.4. Ta gọi tôpô * yếu trên E
∗
là tôpô yếu nhất trên E
∗
sao cho mọi x ∈ E ⊂ E
∗∗
đều liên tục và kí hiệu là σ(E
∗
, E).
Sau đây ta sẽ nêu một số tính chất cơ bản và quen biết của tôpô yếu
và tôpô * yếu.
Định lý 1.1.5. Dãy {x
n
} hội tụ yếu đến x khi và chỉ khi
lim
n→∞
x
∗
(x
n
) = x
∗

trong đó coH = co(H): bao lồi của H.
Bởi tính Q - bị chặn của H, ta có: với mỗi p ∈ Q, tồn tại d > 0 sao cho
p(x) ≤ d, ∀x ∈ H. Mọi tập con lồi Q - compact có cấu trúc chuẩn tắc.
Trong không gian Banach lồi đều (ví dụ: không gian L
p
với 1 < p < ∞),
tập lồi bị chặn luôn có cấu trúc chuẩn tắc.
1.3 Một số tính chất hình học của không gian Ba-
nach
Định nghĩa 1.3.1. Không gian Banach (X, ∥.∥) được gọi là lồi chặt
nếu: ∀x, y ∈ X
7
∥x∥ ≤ 1
∥y∥ ≤ 1
∥x − y∥ > 0









⇒


x+y
2


= |x
1
| + |x
2
| và ∥x∥
∞
= max (|x
1
| , |x
2
|)
là các không gian không lồi đều (ở đây x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
).
- Các không gian l
p
và L
p
[a, b] với 1 < p < ∞ là lồi đều, còn p = 1 và
p = ∞ là không lồi đều.
- Mọi không gian Hilbert là lồi đều.
- Không gian C[a, b] là không lồi đều.
Để đo "mức độ" lồi của hình cầu đơn vị trong không gian, người ta
đưa ra khái niệm môđun lồi.
Định nghĩa 1.3.4. Môđun lồi của không gian Banach X là hàm δ
X

ε
0
là độ dài đoạn thẳng lớn nhất nằm trên mặt cầu đơn vị.
Nhận xét 1.3.6. - Không gian X là lồi đều khi và chỉ khi δ
X
(ε) > 0
với mọi ε > 0.
- Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi ε
0
(X) = 0.
Mệnh đề 1.3.7. Không gian Banach X là lồi chặt khi và chỉ khi δ
X
(2) =
1
Chứng minh. Giả sử X là lồi chặt và ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1, ∥x − y∥ ≥ 2.
Do ∥x − y∥ ≤ ∥x∥ + ∥−y∥ ≤ 2 nên ∥x − y∥ = 2 và ∥x∥ = ∥−y∥ = 1.
Khi đó, vì



x+(−y)
2



= 1 và X là lồi chặt nên ta có x = −y. Suy ra


x+y
2




≤ 1 − δ
X
(∥x − (−y)∥) = 1 − δ
X
(2).
Vậy x = y hay X lồi chặt.
1.4 Bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev
Trước hết ta định nghĩa bán kính Chebyshev và tâm Chebyshev cho một
tập hợp.
Cho C và B là hai tập con khác rỗng của không gian Banach X và B bị
chặn.
9
Định nghĩa 1.4.1. Bán kính Chebyshev của B đối với C được xác định
bởi:
r (C, B) = inf

r ≥ 0 : ∃x ∈ C, sup
b∈B
∥x − b∥ ≤ r

.
Hiển nhiên ta có 0 ≤ r (C, B) < ∞.
Định nghĩa 1.4.2. Tâm Chebyshev của B đối với C được xác định bởi:
A (C, B) =

x ∈ C : sup
b∈B

A (C, {x
α
}) = {x ∈ C : r (x, {x
α
}) = r (C, {x
α
})} .
Mệnh đề 1.4.4. Hàm r (., {x
α
}) và r (., B) là các hàm lồi, không giãn.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ X, đặt f(x) = r (x, {x
α
}). Khi đó f là một
hàm lồi. Thật vậy, với mọi x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1), mọi α ta có
∥x
α
− [λx + (1 − λ) y]∥ = ∥λ (x
α
− x) + (1 − λ) (x
α
− y)∥
≤ λ ∥x
α
− x∥ + (1 − λ) ∥x
α
− y∥ .
10
Suy ra
lim sup
α

|f (x) − f (y) | ≤ ∥x − y∥ .
Vậy r (., {x
α
}) là hàm lồi, không giãn.
Chứng minh tương tự r (., B) cũng là hàm lồi, không giãn.
Từ mệnh đề này ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.4.5. Hàm r (., {x
α
}) và r (., B) là các hàm nửa liên tục
dưới yếu.
Mệnh đề 1.4.6. Nếu C là tập lồi, compact yếu thì các tập A (C, {x
α
}) và
A (C, B) khác rỗng. Hơn nữa, nếu X là không gian lồi đều thì A (C, {x
α
})
và A (C, B) là các tập chỉ gồm đúng một điểm.
11
Chứng minh. Vì hàm r (., {x
α
}) và r (., B) là các hàm nửa liên tục dưới
yếu trên tập compact yếu C nên đạt min. Do đó các tập A (C, {x
α
}) và
A (C, B) khác rỗng.
Ta chứng minh tập A (C, {x
α
}) chỉ gồm đúng một điểm. Giả sử u, v ∈
A (C, {x
α

∗
∥ =
∥u−v∥
r+ε
, ∥u∥ ≤ 1 và ∥v∥ ≤ 1.
Do X là không gian Banach lồi đều nên ta có




u
∗
+ v
∗
2




≤ 1 − δ
X

∥u − v∥
r + ε

.
Hay
∥
x
α

ta được
r

u + v
2
, {x
α
}

≤ r

1 −
∥u − v∥
r

< r.
Do C lồi nên
u+v
2
∈ C (vô lý vì r = inf {r (x, {x
α
}) : x ∈ C}).
Vì vậy, tập A (C, {x
α
}) chỉ gồm đúng một điểm. Tương tự tập A (C, B)
cũng chỉ gồm đúng một điểm.
1.5 Điểm bất động của ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử E là không gian Banach với chuẩn ∥.∥ và C
là tập con khác rỗng của E, ánh xạ T : C → E là không giãn nếu
12

∈ c
0
. Đặt D = {x ∈ c
0
: ∥x∥ ≤ 1} là hình cầu đơn
vị đóng trong c
0
. Xét ánh xạ T : D → D xác định như sau: với mỗi
x = (x
1
, x
2
, , x
n
, ) ∈ D, T x = (1, x
1
, x
2
, , x
n
, )
Rõ ràng, T x ∈ D. Hơn nữa, T là ánh xạ không giãn, thậm chí là phép
đẳng cự, vì
13
∥T x − T y∥ = sup
n
|x
n
− y
n

= 1, ∀n ∈ N. Hiển nhiên x
∗
/∈ c
0
. Vậy T không có điểm
bất động trong D.
Mệnh đề 1.5.6. Cho C là tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của không
gian Banach E và T là ánh xạ không giãn từ C vào C. Khi đó
inf {∥x − T x∥ : x ∈ C} = 0.
Chứng minh. Cố định x
0
∈ C. Với mỗi n ∈ N
∗
, xét ánh xạ T
n
: C → C
xác định bởi
T
n
(x) =
1
n
x
0
+

1 −
1
n


= T
n
x
n
=
1
n
x
0
+

1 −
1
n

T x
n
.
Suy ra ∥x
n
− Tx
n
∥ =
1
n
∥x
0
− Tx
n
∥ ≤

cho ánh xạ đa trị, và tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ.
Phần tiếp theo chúng tôi đề cập đến khái niệm nửa nhóm ánh xạ.
1.6 Nửa nhóm ánh xạ
Định nghĩa 1.6.1. Tập S được gọi là nửa nhóm tôpô nếu S là không
gian với tôpô Hausdorff và là nửa nhóm với phép toán · : S × S →
S, (s, t) → s.t và các ánh xạ s → t.s và s → s.t từ S vào S là liên tục.
Định nghĩa 1.6.2. Nửa nhóm S là khả nghịch trái (phải) nếu bao đóng
của hai ideal phải (trái) bất kỳ của S có giao khác rỗng, nghĩa là sS∩tS ̸=
∅ (Ss ∩ St ̸= ∅) với s, t ∈ S. Nửa nhóm S được gọi là khả nghịch nếu S
vừa là nửa nhóm khả nghịch trái vừa là nửa nhóm khả nghịch phải.
15
Bây giờ ta có thể đưa vào S một quan hệ thứ tự như sau:
s ≤ t ⇔ { s} ∪ sS ⊃ {t} ∪ tS.
Khi đó s ≤ t nếu t = s hoặc tồn tại u ∈ S sao cho t = su.
Nếu S khả nghịch trái thì với mọi cặp s, t ∈ S luôn tồn tại u ∈ S để
cho s ≤ u và t ≤ u, nói khác đi (S, ≤) trở thành một tập định hướng.
Trong trường hợp này ta có thể định nghĩa giới hạn của dãy {k
s
: s ∈ S}
lim sup
s
k
s
= inf
s
sup {k
t
: t ≥ s} ,
lim inf
s

: s ∈ S} = inf {a
s
: s ∈ S} .
Chứng minh. Đặt m
1
= inf {a
t
: t ∈ S
1
}, m
2
= inf {a
s
: s ∈ S}, ta có
m
2
≤ m
1
. Với mọi ε > 0, tồn tại i ∈ S sao cho a
i
≤ m
2
+ ε. Khi đó,
với mọi t ≥ i, ta có a
t
≤ a
i
≤ m
2
+ ε. Chọn t ∈ S

: α ∈ I} sao cho:
16
(1) S =
∪
α∈I
S
α
,
(2) aS
α
∩ bS
α
̸= ∅ với mỗi α ∈ I và a, b ∈ S
α
,
(3) Với mỗi cặp α
1
, α
2
∈ I, ∃α
3
∈ I sao cho S
α
1
∪ S
α
2
⊂ S
α
3

∞
(S)
thì m là hàm nhân nếu m(fg) = m(f)m(g) với mọi f, g ∈ X.
Ta kí hiệu C
b
(S) là không gian các hàm nhận giá trị phức, liên tục và
bị chặn trên S với chuẩn sup, LUC(S) là không gian các hàm liên tục
đều trái trên S, nghĩa là bao gồm các hàm f ∈ C
b
(S) sao cho ánh xạ
s → ℓ
s
f từ S vào C
b
(S) là liên tục. Khi đó LUC(S) là C
∗
- đại số con
của C
b
(S) bất biến dưới sự dịch chuyển và chứa các hàm hằng.
Kí hiệu W AP(S) là không gian các hàm f ∈ C
b
(S) sao cho LO(f) =
{ℓ
s
f : s ∈ S} là compact tương đối trong tôpô yếu của C
b
(S).
Định nghĩa 1.6.6. Cho C là tập con của không gian véc tơ tôpô lồi địa
phương (E,Q) và S là nửa nhóm tôpô. Ta nói S = {T

s
y với mọi hằng số
a, b ≥ 0, a + b = 1, s ∈ S, x, y ∈ C.
Nửa nhóm ánh xạ S được gọi là Q - không giãn nếu
p(T
s
x − T
s
y) ≤ p(x − y), ∀s ∈ S, p ∈ Q, x, y ∈ C
Sau đây chúng tôi đề cập một số tính chất của nửa nhóm ánh xạ:
Mệnh đề 1.6.8. Cho S là nửa nhóm khả nghịch trái, {T
s
: s ∈ S} là một
nửa nhóm ánh xạ trong không gian Banach X. Khi đó với mỗi x, y ∈ X
và t ∈ S ta có
lim sup
s
∥T
s
x − y∥ = lim sup
s
∥T
ts
x − y∥
Chứng minh. Đặt a
s
= sup {∥T
i
x − y∥ : i ≥ s} và theo bổ đề 1.5.3 ta
có lim sup

s∈S
{x ∈ C : T
s
x = x}.
18
Cho C là tập con đóng, khác rỗng của không gian mêtric (X, d).
Nhận xét 1.6.10. Nếu S = {T
s
: s ∈ S} là nửa nhóm các ánh xạ liên
tục từ C vào C và d (T
s
x, y) → 0 khi s → ∞, với x, y ∈ C thì y ∈ F(S).
Chứng minh. Lấy ε > 0. Cố định t ∈ S. Bởi tính liên tục của T
t
tại y,
tồn tại δ > 0 sao cho d(x, y) < δ suy ra d(T
t
x, T
t
y) <
ε
2
với x ∈ C.
Do d (T
s
x, y) → 0 khi s → ∞, ∃w ∈ S sao cho d (T
aw
x, y) < min

ε

Vì ε tùy ý nên T
t
y = y với mỗi t ∈ S. Vậy y ∈ F(S).
Định nghĩa 1.6.11. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái. Nửa nhóm
S = {T
s
: s ∈ S} các ánh xạ của C vào C được gọi là:
(i) Không giãn nếu d(T
s
x, T
s
y) ≤ d (x, y) với mọi x, y ∈ C và s ∈ S.
(ii) Không giãn tiệm cận nếu tồn tại số thực không âm k
s
≥ 0 với
lim
s
k
s
= 0 sao cho d (T
s
x, T
s
y) ≤ (1 + k
s
) d (x, y) với mọi x, y ∈ C và
s ∈ S.
Nếu S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái và S là nửa nhóm các ánh
xạ Q - không giãn của S trên C ⊂ (E, Q) thì mỗi điều kiện sau suy ra
F (S) ̸= ∅:

1
− t
2
| với mọi t
1
, t
2
∈ [0, l]. Đặc biệt c là phép đẳng
cự và d(x, y) = l. Ảnh α của c được gọi là đoạn trắc địa (đoạn mêtric nối
x và y), kí hiệu [x, y]. Không gian (X, d) được gọi là không gian mêtric
trắc địa nếu hai điểm của X được nối bởi đường trắc địa và X được gọi
21
là không gian mêtric trắc địa duy nhất nếu tồn tại một đường trắc địa
nối x và y với mỗi x, y ∈ X. Tập con C của X được gọi là lồi nếu C
chứa mọi đoạn trắc địa nối hai điểm bất kỳ của nó.
Tam giác trắc địa ∆(x
1
, x
2
, x
3
) trong không gian mêtric trắc địa (X, d)
bao gồm ba điểm x
1
, x
2
, x
3
trong X (đỉnh của ∆) và đoạn trắc địa nối
mỗi cặp đỉnh (cạnh của ∆). Tam giác so sánh đối với tam giác trắc địa

, x
j
) với i, j ∈ {1, 2, 3}.
Định nghĩa 2.1.1. Không gian mêtric trắc địa được gọi là không gian
CAT(0) nếu mọi tam giác trắc địa thỏa mãn tiên đề so sánh sau: ∆ là
tam giác trắc địa trên X và ∆ là tam giác so sánh đối với ∆. Khi đó ∆
được gọi là thỏa mãn bất đẳng thức CAT(0) nếu mọi x, y ∈ ∆, x, y ∈ ∆
là điểm so sánh của x, y thì d (x, y) ≤ d
E
2
(x, y).
Nếu z, x, y là các điểm trong không gian CAT(0) và nếu m là trung
điểm của đoạn [x, y] thì từ bất đẳng thức đường trung tuyến trong E
2
và bất đẳng thức CAT(0) suy ra
d(z, m)
2
≤
1
2
d(z, x)
2
+
1
2
d(z, y)
2
−
1
4

con {u
α
} của {x
α
}. Trong trường hợp này ta viết ∆ - lim
α
x
α
= x và gọi
x là ∆ - giới hạn của {x
α
}.
Bổ đề 2.1.3. ([5]) Mọi dãy bị chặn trong không gian CAT(0) đầy đủ X
có dãy con ∆ - hội tụ.
2.2 Điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không
giãn tiệm cận trong không gian CAT(0) đầy đủ
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu các định lý tồn tại điểm bất động
chung đối với nửa nhóm các ánh xạ không giãn tiệm cận trong không
gian CAT(0) đầy đủ.
Định lý 2.2.1. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của không gian CAT(0) đầy đủ X, và S = {T
s
: s ∈ S}
là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận của C vào C. Nếu tồn tại
x ∈ C sao cho {T
s
x : s ∈ S} bị chặn thì F(S) ̸= ∅ và z ∈ F(S), với mọi
z ∈ A (C, {T
s
x}).

s
α
≥ α và d (z, T
sα
z) > ε với mỗi α ∈ S. (2.2.1)
Ta chọn số dương η sao cho:
(R + η)
2
−
ε
2
4
< (R − η)
2
.
Vì S là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận, nên tồn tại s
0
∈ S sao
cho:
d (T
s
z, T
s
y) ≤ lim sup
a
d (T
a
z, T
a
y) +

s
d (z, T
ts
x) = R. Vì vậy, tồn tại t
0
∈ S sao cho với mọi
t ∈ S, t ≥ t
0
, d (z, T
st
x) < R +
η
2
, với mỗi s ∈ S. (2.2.3)
Vì S khả nghịch trái nên tồn tại γ ∈ S với γ ≥ s
0
và γ ≥ t
0
.
Theo (2.2.1), s
γ
≥ γ và d

z, T
s
γ
z

> ε. (2.2.4)
Lấy t ≥ s

≤ d

z, T
γt
β
x

+
η
2
≤ R + η, với mỗi β.
Do (2.2.3) và s
γ
γt
β
→ t, ta có:
24
d

T
s
γ
z, T
t
x

≤ R +
η
2
, với mọi t ≥ s

d
2

z⊕T
s
γ
z
2
, T
t
x

≤
1
2
d
2
(z, T
t
x) +
1
2
d
2

T
s
γ
z, T
t

, T
t
x

< R − η.
Suy ra r

z⊕T
s
γ
z
2
, {T
t
x}

< r (C, {T
t
x}).
Điều này mâu thuẫn. Vậy z ∈ F(S).
Hệ quả 2.2.2. Cho S là nửa nhóm tôpô khả nghịch trái, C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của không gian CAT(0) đầy đủ X, và S = {T
s
: s ∈ S}
là nửa nhóm ánh xạ không giãn tiệm cận của C vào C. Khi đó F(S) ̸= ∅
nếu và chỉ nếu tồn tại x ∈ C sao cho {T
s
x : s ∈ S} bị chặn.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên.
Ngược lại, giả sử x ∈ C sao cho {T