Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

L

.

ThS.
.

.

.
.
!
5 năm 2011
Sinh viên

Hoàng Ngọc Điệp

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

:
.


trị nhỏ nhất của hàm số ............................................................................... 54
KẾT LUẬN ................................................................................................. 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Hoàng Ngọc Điệp

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

1.

.

.

.

.
Phùng Đức Thắng,
:

.

2.

tr

.
Chương 2:
thông
:
2.1.

.

2.2.
.
2.3.

.

2.4.

.

2.5.
.
:
-

.

-

.

-

y

y0

f ( x x0 )

f ( x0 )

x0 (

xo (a; b) ).

1.1.
y

lim

x

x0

f ( x)

(a; b)

y
(
x

lim

x

x0

f x
f x0
.
x x0

1.2.
y

f ( x)

f ' x0

lim

y

f ( x)

x

0

x0

f ' x0


y

f ( x)

(a; b)

.
1.5.
y

f ( x)

a; b n
a

b.

1.1.2.
1.1.
y

f ( x)

(a; b)

(a; b)

lim
x



f '(c)(b a) .

1.1.3.
1.3.1. (
f ( x)
f (a)

f (b)

Hoàng Ngọc Điệp

)

a; b

(a; b)

(a; b) sao cho f '(c) 0 .

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

.
f ( x)
f '( x)


(a; b)

x

a; b c
f ( x) k

x (a; b)

k

)

a; b .
.
Ta sẽ

f ( x0 )

bất kì x0 , y0

a; b

x0

y0

f ( y0 ) .
y0 suy ra xo ; y0


f ( y0 )

f ( x0 ) .

) (đpcm) .

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

1.3.3.
f ( x)

a; b
f '( x) 0

(a; b)

n

f ( x) 0

(a; b)

n 1



1.3.2

2

a; b sao cho

( xi ; xi 1 )
f xi 1
xi 1

f xi
xi

0

f '( x) 0

ng

a; b

, a; b
. V

f ( x) 0

a; b (đpcm).

n 1

,t

X sao cho f(x) = x.

f ( x)

, c

Hoàng Ngọc Điệp

, y sao cho f ( x)

f ( y)

f '(c) x

y

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

f '( x)

.

f ( x)

)

xn 1 sao cho:

xn

n

f xn

f xn 1

c xn

xn

1

f'

n

xn

... c n 1 x2

x1

xn 1


n

m 2

n 1

xn

m

x2

x1

1 cm

x2

1 c
¡
xn 1

xn

m 1

cn

m 3


x1

.

f (lim xn )

f ( x* ) (đpcm)

a; b

.

Hoàng Ngọc Điệp

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng
Chương2

2.1. Ứng dụng của định lý Lagrange và hệ quả trong bài toán chứng
minh bất đẳng thức

B

f x

(f x

tg a tg b

b a
.
a

(1)

.

0 a b 1
1
cos 2 a

(1)
f ( x) tg x ,

Hoàng Ngọc Điệp

x

tg a tg b
b a

1
.
cos 2b

a; b .


cos 2 a

:

1
cos 2 a

1
cos 2c

1
.
cos 2b

tg a tg b
b a

(3)

1
cos 2b

( 0 a b 1).

0 a b 1
b a
b

tg a tg b



f '( x )

1
.
x

a; b sao cho:

f (a)

f '(c)(b a)

ln b ln a (b a)
ln

Do 0 a c b nên
hay

b a
b

ln

b
a

Hoàng Ngọc Điệp

b a

a b

f ( x) e x trên đoạn

e ea

eb b a

f ( x)

a; b

(a; b) : f '( x) e x
c (a; b) sao cho:
f (b)

f (a)
eb

f '(c)(b a)

ea

ec b a

Do a c b
ea
ea b a

ec

n 1

.

L

1
n 1

f ( x) ln x

1
n

ln(n 1) ln n

n, n 1 . Do n 0 nên f ( x)
(n, n 1) .

n, n 1
c (n, n 1) sao cho f (n 1)

f ( n)

ln(n 1) ln n

,

f '(c)(n 1 n)
1


1
1
n

e

1
c

5.

n 1

n 1

(đpcm).
x>

ln(x+1) < x.

f(x):
ln( x 1) 0 ( x 1) 1

ln x 1
x 1
f (t ) ln t

ln1
1.

1 c x 1
ln( x 1)

Hoàng Ngọc Điệp

x
c

x

x
1

ln1
1

x
.
c

x.
ln( x 1)

x (đpcm).

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp


x)

sin y sin x cos c(y x) .

Do 1 cos c 1
(y

h

x) cos c( y

x) ( y

cos c( y x)

y x

cos c( y x)

y x

sin x sin y

y x

sin x sin y

x

x)

2 ne
1
.
e

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng
:

2n 1 x x

2n

2n 2nx 2nx
2n 1

2n 2nx {
x.x...x
2n

2n
2n 1

2n 1

2n

e
1
.
2n 1

(2)

2n;2n 1
2n;2n 1 sao cho
f c

0 2n c 2n 1

ln 2n 1
2n 1

1
c

ln 2n 1

1
c

1
2n 1

ln 2n
2n
ln 2n .


K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

f’(x)

a; b nên f’(x)

a; b .
t M

x

max f ( x)

x a ;b

a; b

c (a; x) sao cho
f ( x)

v

x



và

a b
2

b

f x dx
a

b

f x dx

f x dx
a b
2

a

a b
2

b

M x a dx

M b x dx
a b

b

4
b a

2

a
b

4
b a

f x dx

2

(đpcm).

a

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng
u thay max f ( x)

:

abc abd

acd bcd

ab ac ad bc bd cd
.
6

4

(1)

như nhau,
0
f x

:

4 y1 y2 y3
y1 y2 y3
x

x2

f x

Hoàng Ngọc Điệp

f x

(abc abd
abc abd

acd bcd )
acd bcd

4

4( y1 y2

2(ab ac ad

y2 y3


y1 y2

y2 y3
3

y1 y2

y1 y3

y2 y3
3

( y1 y2 y3 ) 2

3

y1 y3

3

( y1 y2 y3 ) .

(3)

:
3

abc abd

acd bcd

1
,
x 1 1 x2

x

x

0.

0.
x

,

x > 0.

x 1.
( x 1)cos

x

y
2

f c

Hoàng Ngọc Điệp

2

n 1 .

1

2:
3:

n

1

x 1

x cos

x

1.

x y
.
ln x ln y

f b
f a
.
b a
f b
f a
b a

f x

y0

z0 ; x0 , y0 , z0 (a; b)

x1 ( x0 , y0 ) sao cho f c1

f y0
y0

f x0
.
x0

x2 ( x0 , y0 ) sao cho f c2

f z0
z0

f y0
.
y0

c2

f c2

c1


f x z
f

y

y
x

f

x

0

x (a; b)

z ta luôn
f y x z

0

f z y x

0.

(1)

x (a; b)

).

x

y

f z y x
y

f y

y z

f z

0
f z y x

0

y x

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

f x
x



,

f (c1 )

.
10. Cho x

y

z
x2 z

y2z

z2 y

x2 y

y 2z

f ( x) x 2

¡

¡

1

z 2x .

Hoàng Ngọc Điệp

x2 y

y2 z z2 x .

z

x ln

(1)

y2x y2z z 2 y z 2x 0

z
x

z ln

x
y

0.

y (ln z ln x) z (ln x ln y ) 0 .

x>0

1
; f ( x)

y
x

z t
(e z

e y )ln

ez

ey

z
y

(e t

e Z )ln

t
z

t
e x )ln .
x

(e t

9: Cho 1



y0

f ( z0 )
z0

f ( y0 )
y0

f ( z0 )
z0

f ( y0 )
y0

f '( y0 )

(vì f ( y0 )

f ( y0 )

lim
z0

y0

lim
z0

y0

f '( y0 ),( z0

y0 )

f ( y0 ) ).

(2) suy ra f ( x)

f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ),

x, x0 (a; b) .

.
2(
1.

f x

Hoàng Ngọc Điệp

)

a; b

f

x

0


f

x

x

a; b

x, x0

a; b

x x0 f x0 .

f x0
x

0

x0 .

.
12.

v

ABC

sin A sin B sin C



3
3
3

)cos

)cos
)cos

sin x 0

x

0;

.

3
3
3

.

3

Hoàng Ngọc Điệp

K33 cử nhân toán


13. Cho a, b 0

0

1
a

b

a b
2

2

.

.
f x

Do đó

f

x ,x 0

f ( x)

(0;

x


1

a

a b
2

b

a b
2

1

a b
2

hay

a

b

a b
2

2

(đpcm).

Hoàng Ngọc Điệp

A
2
sin A

sin

cos

A

2
sin A

K33 cử nhân toán


Khóa luận tốt nghiệp

ThS.Phùng Đức Thắng

A

cos

2

A


VP

3A
2

cot A

A
2cos
2

A sin A

2

cot B

2

3B
2

.

,

.

cot C


A
B
C
cos
cos .
2
2
2

12.
a)

a
b

b) a
Bài

b
1

c

b

c

13.

Hoàng Ngọc Điệp