BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Tấn Phú

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẠY HỌC
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
TRONG MÔI TRƯỜNG CASYOPÉE
Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Tấn Phú

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẠY HỌC
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
TRONG MÔI TRƯỜNG CASYOPÉE
Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành

: Lý luận và phương pháp dạy học Toán

Mã số




MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục

MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Đặt vấn đề và câu hỏi xuất phát ................................................................. 1
2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết ................. 3
3. Cấu trúc luận văn ....................................................................................... 6
Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG
ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ............ 7
1. Điều tra khoa học luận kí hiệu chữ trong Đại số ....................................... 7
2. Điều tra khoa học luận về tham số, phương trình chứa tham số.............. 11
3. Hàm số ..................................................................................................... 16
4. Kết luận chương 1.................................................................................... 17
Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI

ĐỐI

TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG
BIỂU THỨC CHỨA THAM SỐ ........................................................... 19
1. Hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số trong SGK ............................. 20
2. Các tổ chức toán học liên quan đến phương trình chứa tham số và hàm
số cho bằng biểu thức chứa tham số ........................................................ 21
2.1. Các KNV T1 “ Giải và biện luận” .................................................... 22
2.2. Các KNV T 2: “Tìm các giá trị tham số” trong phương trình hoặc trong
hàm số thỏa điều kiện nào đó .................................................................. 36
3.3. Các KNV T 3 : “Chứng minh”........................................................... 46

KNV: Kiểu nhiệm vụ
MT: Môi trường
ĐS: Đại số
HH: Hình học


1

MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề và câu hỏi xuất phát
Trong quá trình phát triển toán học, Đại số kí hiệu được hình thành và phát triển
trong quá trình tìm kiếm những biện pháp tổng quát để giải các bài toán cùng kiểu.
Những biện pháp đó thường là lập và giải phương trình. Với việc hình thành các kí hiệu,
đặc biệt là kí hiệu chữ trong Đại số và hình thành lí thuyết tập hợp sau đó, đã làm cho
cách diễn đạt trong toán học hết sức tiện lợi, rõ ràng. Việc tính toán trên số cụ thể chuyển
sang tính toán hình thức trên chữ đã giúp Đại số nghiên cứu các tính chất tổng quát của
hệ thống số và những phương pháp tổng quát các bài toán bằng phương trình. Các
phương pháp giải thường được trình bày theo một quy trình mang tính thuật toán. Chính
việc sử dụng kí hiệu chữ trình bày nội dung toán học theo phương diện cú pháp 1 nên có
lúc phương diện ngữ nghĩa2 bị xem nhẹ. Đồng thời, một kí hiệu chữ trong Đại số có thể
có nhiều nghĩa và vai trò khác nhau. Ví dụ như trong một phương trình, chữ đóng vai trò
ẩn, chữ đóng vai trò tham số; a + b chỉ vai trò là một quy trình (cộng a với b) cùng lúc
chỉ một kết quả (tổng của a và b); dấu đẳng thức có vai trò chỉ một kết quả, hoặc một
quan hệ tương đương. Vậy câu hỏi đặt ra là:
Chữ trong Đại số có những vai trò nào?
Theo Phan Thị Hằng (2002), “ […] vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất
phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ
vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể
gây nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong
đó có sự tham giá của các kí hiệu chữ.” ([8], tr 61). Dựa trên kết quả đó chúng tôi tự đặt

số và hình học.
- Trong môđun đại số: Các hàm số với biến số thực là trung tâm nghiên cứu của
Casyopée. Casyopée cung cấp phương tiện để tạo ra các tập số thực có điều kiện (mô
hình hóa tham số bằng thanh trượt thay đổi giá trị) mà các hàm, biểu thức xác định trên
nó. Casyopée cho phép tính toán, biến đổi hình thức chứa kí hiệu chữ là tham số. Cần
nhấn mạnh thêm các kĩ năng tính toán, khảo sát hàm số… đều được chương trình tự
động thực hiện. Và đồ thị hàm số sẽ tự thay đổi theo sự thay đổi giá trị của tham số.
- Trong mô đun hình học: Có các công cụ dựng các đối tượng mới dựa trên cơ sở
đối tượng đã có (như trung điểm của đoạn thẳng, giao điểm của hai đường thẳng, của
đường thẳng và đường tròn). Khi thay đổi vị trí của điểm di động, các đối tượng trên
vẫn bảo toàn cấu trúc của nó. Nhờ khả năng này mà HS có thể phát hiện ra một số tính
chất của hình, quỹ tích của điểm… khi dịch chuyển điểm.
Xác định được miền xác định và công thức tính các đại lượng như diện tích, độ dài
…, và tuỳ theo giá trị biến do người dùng tự chọn (theo quy ước riêng của
Casyopée), nó chuyển các biểu thức này thành các hàm số trên môđun đại số. Nhờ khả
năng này, nó kiểm tra mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên có là quan hệ hàm hay
không ?
Qua một số tính năng của Casyopée mà chúng tôi trình bày ở trên, chúng tôi nhận


3
thấy Casyopée tỏ ra thích hợp thiết kế môi trường dạy-học có tích hợp Casyopée thể
hiện sự thay đổi giá trị của tham số. Môi trường đó nhằm tạo điều kiện thuận lợi để giải
quyết KNV chứa tham số trong môi trường Casyopée hoặc hỗ trợ kĩ thuật giải quyết KNV
chứa tham số trong môi trường truyền thống. Điều đó sẽ khắc phục khó khăn khi học sinh
giải quyết KVN chứa tham số trong chủ đề phương trình và hàm số bậc THPT.
Câu hỏi chúng tôi đặt ra là:
Những KNVchứa tham số nào giải được trong môi trường Casyopée? Và môi trường
Casyopée khắc phục khó khăn nào khi học sinh giải bài toán chứa tham số trong môi
trườngtruyền thống?

Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một praxéologie,
khối [T/ t] thuộc về thực hành và khối [θ/Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận. Nếu T là một kiểu
nhiệm vụ toán học thì praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức toán học.
Việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O (đối tượng toán
học) có thể thực hiện qua việc phân tích các tổ chức toán học gắn liền với O.

2.3. Hợp đồng didactic
Hợp đồng didactic là sự mô hình hóa của nhà nghiên cứu về quyền lợi và nghĩa vụ
ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với tri thức toán học được giảng dạy, là tập hợp
các quy tắc (thường là ngầm ẩn) phân chia và giới hạn trách nhiệm của giáo viên và
học sinh đối với tri thức toán học này.
Chúng tôi sử dụng hợp đồng dạy học trong nghiên cứu của mình bởi vì hợp đồng dạy
học là một công cụ để nghiên cứu một số sai lầm của học sinh mà nguồn gốc của những
sai lầm đó là do những quan hệ ngầm ẩn giữa các thành phần trong hệ thống dạy học.
Đặc biệt hơn, trong điều kiện có một bộ SGK như nước ta hiện nay thì hợp đồng dạy học
còn có thể cho thấy một phần ảnh hưởng của SGK lên quan niệm của học sinh về đối
tượng tri thức O nào đó.

2.4. Cách đặt vấn đề sinh thái học
Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho phép
sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng, cũng như của mối liên hệ giữa chúng, bởi vì
như Chevallard (1989b) đã nói : “[… ] một đối tượng tri thức O không tồn tại độc lập
trong một thể chế mà nó có mối quan hệ tương hỗ và thứ bậc với các đối tượng khác
trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của
nó trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng này hợp thành điều kiện sinh thái cho
cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể chế đang xét.”
Chúng tôi phát biểu lại các vấn đề đặt ra ban đầu bằng thuật ngữ của các công cụ lý
thyết đã lựa chọn như sau:



5
Kiến thức sai là cần thịết cho học tập: con đường đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số
kiến thức sai, bởi vì việc ý thức được đăc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của kiến thức mà ta
muốn xây dựng cho học sinh. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chướng ngại khoa học luận,
nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức. ( [2], tr 59 )
6
Học thuyết hành vi coi sai lầm chỉ là phản ánh của sự thịếu hiểu biết hay sự vô ý.
Học thuyết kiến thịết gán cho sai lầm và nhận ra sai lầm một vai trò có tính xây dựng trong hoạt động nhận thức.
Didactic đã liên kết được quan điểm kiến thịết và định đề của phái Bachelar – định đề khẳng định trong lịch sử các
bộ môn khoa học, sai lầm không phải là một sự kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó không nằm ngoài
kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức.” ([2], tr 57)
4


6
tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 10, 12 hiện hành.
Thực nghiệm, chúng tôi tiến hành ở lớp 10 và 12.

3. Cấu trúc luận văn
Chương 1: ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KÍ HIỆU CHỮ TRONG
ĐẠI SỐ, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG BIỂU THỨC CHỨA
THAM SỐ
Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


7


Đại số là một trong các nhánh lâu đời của Toán học. Hiện nay lĩnh vực Đại số rất rộng lớn. Ở đây, chúng
tôi chỉ đề cập đến Đại số phổ thông


8
của bài toán bằng lời và chỉ cho những thí dụ cụ thể bằng số.
Các nhà nhà toán học phương Đông thời trung cổ trình bày tất cả các phép toán bằng
lời. Sự tiến bộ sau này của Đại số bắt đầu có được chỉ sau khi kí hiệu thuận tiện được sử
dụng phổ cập để biểu thị các phép toán. Quá trình tiến bộ đó diễn ra rất chậm chạp và
quanh co.” ([24], tr 243-244)
Diophante đã dùng i ( chữ cái đứng đầu từ Hi Lạp ϊδus (izos) có nghĩa là “ bằng
nhau”) để chỉ sự bằng nhau. Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu
−

−

sau: s’ để chỉ ẩn số, δ v chỉ bình phương của ẩn số, x v chỉ lập phương của ẩn số. Bên
−

phải ẩn số hay lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x được viết là δ x v β
5

(trong đó β =2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu
gạch ngang trên đầu, chẳng hạn α =1, β =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa
biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần
thành x.
Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ
bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x. Theo cách viết của BrakhmaguPTa (thế kỉ thứ 7) có
dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương).

Sự phát triển của Đại số kí hiệu, đặc biệt là kí hiệu chữ và các phép toán trên những
kí hiệu đó đã thúc đẩy sự ra đời quan điểm coi đại lượng toán học là đại lượng biến thiên
( thế kỉ 16-17), trong đó biến thiên liên tục của một đại lượng nào đó thường tương ứng
với sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nó, đó là nét đặc trưng của
giải tích toán học. Vậy, sự phát triển kí hiệu nói chung và kí hiệu chữ nói riêng và đưa
vào sử dụng kí hiệu ấy đã thúc đẩy sự phát triển các lĩnh vực mới của toán học, đặc biệt
là sự chuẩn bị ra đời của Giải tích.
“Việc đưa vào kí hiệu và thực hiện các phép toán trên chữ thay thế cho bất kì những
số cụ thể nào có ý nghĩa cực kì quan trọng. Không có công cụ đó- ngôn ngữ các công
thức-không thể có được sự phát triển của toán học.”([24], tr 245).

1.2. Vai trò của chữ trong Đại số
Theo Booth (1984), Kieran (1991), “ […] Trong số học chữ dùng để chỉ các đơn vị
đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi chuyển sang đại số
các chữ dùng để chỉ các số, và biểu thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một
số.”(dẫn theo Nguyễn Ái Quốc, 2006)
Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó ông phân
biệt:


10
“ - Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số
- Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán
- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn
- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm
- Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị
- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” ([18], tr.6).
Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002), “ Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa của
các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng: Trong số học, các chữ đã hiện diện,
chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12

hiệu chữ biểu thị biến số.
- Bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác trên cùng một kí hiệu chữ có
thể hình thành chướng ngại đối với học sinh.
- Về mặt khoa học luận, việc chuyển từ quan niệm đại lượng không đổi  quan niệm
đại lượng biến thiên là một chướng ngại.
Tiếp theo chúng tôi sẽ hiểu xem tham số được hiểu như thế nào?

2. Điều tra khoa học luận về tham số, phương trình chứa tham số
2.1. Tham số
Trong chương trình toán phổ thông, có hai loại tham số:
Tham số trong phương trình chứa tham số, nó có bản chất là hằng số bất kì cho trước
hay tham số có bản chất là “số cố định tạm thời”. Sự thay đổi của tham số làm biến đổi
đến sự tồn tại và giá trị nghiệm của phương trình.
Tham số trong phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, Elips, mặt
phẳng… . Nó có bản chất là biến trung gian. Sự thay đổi tham số dẫn tới sự thay đổi tọa
độ của điểm, có sự tương ứng một một giữa tọa độ điểm với giá trị tham số. Tham số
thay đổi nhưng điểm vẫn thuộc đường,mặt…
Ở đây chúng tôi nghiên cứu tham số theo quan điểm thứ nhất.
Tham số (tham biến hay thông số) là một khái niệm“paramathématique8” : có tên
nhưng chưa được định nghĩa chính xác về mặt toán học.
Sau đây là một số mô tả về tham số:
Trong cuốn Dictionnaire des mathématiques đã viết: “Tham số (danh từ) là thuật ngữ

8

“Chevallard (1985) phân biệt ba loại khái niệm toán học: khái niệm toán học (notion mathématique) là khái
niệm có tên, có định nghĩa; khái niệm cận toán học (notion paramathématique) là khái niệm có tên nhưng không
được định nghĩa); khái niệm tiền toán học (notion protomathématique) là khái niệm không có tên, không có định
nghĩa nhưng được dùng một cách ngầm ẩn. ([2], tr 59)



Phân biệt tham số với biến số và ẩn số có thể dựa vào:

o Quy ước phô bày kí hiệu chữ (x, y, ..là ẩn, m, n.. là tham số)
o Ngữ nghĩa
o

Quy ước phô bài kết hợp với ngữ nghĩa.

Trong thể chế Việt Nam, do tham số là một khái niệm “paramathématique” nên
không là đối tượng nghiên cứu của toán học. Để hiểu rõ hơn bản chất của tham số, ta có
thể nghiên cứu những đối tượng mà trong đó tham số xuất hiện thường xuyên. Đối tượng
được xem là mảnh đất thuật lợi cho tham số xuất hiện là phương trình, hàm số. Tiếp
theo, ta tìm hiểu tham số trong phương trình chứa tham số và hàm số cho bằng biểu thức
chứa tham số.


13
2.2. Khái niệm phương trình
Trong nhà trường phổ thông, khái niệm phương trình được nhìn ở cả hai phương
diện: phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa.

a. Phương diện cú pháp
Theo quan điểm“cú pháp”, phương trình được xem như một dãy kí hiệu có một
dạng nhất định, và từ đó có khả năng nghiên cứu được cấu trúc của dãy kí hiệu trừu
xuất khỏi những nội dung cụ thể.
“Phương trình là hai biểu thức nối với nhau bởi dấu = ; trong các biểu thức đó có
một hoặc nhiều biến, gọi là ẩn.” ( [24], tr.295.)
Theo Dương Quốc Việt (2007), “Ta kí hiệu x = ( x1 ,...xn ). Khi đó biểu thức
f ( x1 ,..., xn ) được viết gọn là f ( x) . Hai biểu thức toán học chứa biến x được nối với nhau

Xét các hàm số f, g 1 , g -2 , g -1 xác định bởi f(x) = x2 ,g 1 (x)=2x+1 ,
g -2 (x) = 2x – 2 và g -1 (x) = 2x – 1. Đồ thị của f, g 1 , g -2 và g -1 lần lượt là parabol (P)
và các đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 . Nghiệm của mỗi phương trình (1), (2), (3) tương ứng là
hoành độ giao điểm của (P) với d 1 , d 2 , d 3 .
Do đó, số nghiệm của mỗi phương trình cũng là số giao điểm của (P) và các đường
thẳng d 1 , d 2 , d 3 .
Dựa vào đồ thị ta thấy: (P) cắt d 1 nên (1) có hai nghiệm phân biệt; (P) không có
điểm chung với d 2 nên (2) vô nghiệm; (P) tiếp xúc với d 3 nên (3) có nghiệm kép.
Việc giải ba phương trình trên đưa chúng ta đến phương trình tham số hóa tổng quát
2
x=
2 x + a với a là một số thực cho trước bất kỳ. Ba phương trình đã xét tương ứng với

ba trường hợp đặc biệt là a=1, a=-2 và a=-1
Như vậy, về mặt khoa học luận, phương trình chứa tham số là sự tổng quát hóa (hay
tham số hóa – theo cách gọi của F.Viète) một họ những phương trình cụ thể mà việc
giải và biện luận phương trình chứa tham số này cho phép suy ra nghiệm của
những phương trình cụ thể đang xét bằng cách gán cho tham số những giá trị tương
ứng. Theo nghĩa đó, tham số là một hằng số cho trước có thể nhận những giá trị tùy ý
thuộc một tập E ⊂  cho trước.” ([13],tr 6).
Tiếp theo, ta tìm hiểu khái niệm phương trình chứa tham số được trình bày như thế
nào trong một số giáo trình Đại học?
Theo Nguyễn Bá Kim (1994), khái niệm phương trình chứa tham số (hay tham biến)
được hiểu thông qua việc chỉ ra các đặc trưng của phương trình nhiều biến như sau :
“Một phương trình nhiều biến có thể được xét dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng
hạn :
–Tìm tất cả các bộ số là nghiệm của phương trình đó.
–Dùng như một công thức để biểu thị sự tương quan giữa nhiều đại lượng, ví dụ
như S = vt. Khi ấy, vấn đề không phải ở chỗ tìm những bộ ba số thỏa mãn phương
trình trên mà là ở chỗ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và

x∈Cn và các tham số a, b, ..., c được gọi là phương trình chứa tham số. Khi có một hệ
thống giá trị thừa nhận được của tham số, phương trình trở thành phương trình cụ thể :
f(x, α , β , ..., γ ) = 0 với ẩn số x∈Cn và không chứa tham số nữa, và tập nghiệm của nó
hoàn toàn xác định (có thể rỗng). Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả
các nghiệm của nó với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận được của tham số.” ([12], tr9495)

3. Hàm số
Hàm số có ba đặc trưng cở bản: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên.
Ta xét định nghĩa hàm số trong Từ điển toán học – Bản dịch tiếng Việt của Hoàng
Hữu Như và Lê Đình Thịnh – NXB khoa học và kĩ thuật, 1977, tr 238 như sau:
“Phần tử của một tập hợp E y (bản chất bất kì) được gọi là hàm của phần tử x xác định
trên một tập hợp E x (bản chất bất kì), nếu mỗi phần tử x của tập hợp E x được đặt tương


17
ứng với một phần tử duy nhất y ∈ E y . Phần tử x được gọi là biến độc lập hay đối số [….]
Tùy theo bản chất các tập hợp E x và E y ta có các loại hàm khác nhau. Nếu E x và E y
là những tập hợp số thực nào đó, nghĩa là x và y nhận các giá trị là những số thực, thì ta
có hàm số biến số thực hay đơn giản là hàm số. […] ”
Hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số
Theo Hoàng Kì (2002), Đại số sơ cấp, tr 94, “Cho hàm số f(x), ngoài các đối số ra
còn có các chữ a, b, c… Nếu trong việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c….
như là đã biết thì chúng gọi là tham số, hay thông số hay tham biến”

4. Kết luận chương 1
Chúng tôi tổng hợp lại các kết quả đã nghiên cứu được ở chương 1.
- Sự diễn đạt trong Đại số đã xảy ra sự chuyển biến:
bằng lời  viết tắt các từ đưa ra các kí hiệu hoàn thiện các kí hiệu
- Kí hiệu chữ giữ nhiều vai trò khác nhau: Chữ được gán giá trị, chữ là một nhãn, chữ
chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số …

Chương 2: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI
TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ HÀM SỐ CHO BẰNG
BIỂU THỨC CHỨA THAM SỐ
Mục đích chương này nhằm trả lời câu hỏi
Q2. Tham số gây ra những khó khăn nào khi học sinh giải quyết kiểu nhiệm vụ chứa
tham số trong chủ đề phương trình và hàm số ở bậc THPT?
Q3. Trong chủ đề phương trình và chủ để hàm số ở bậc THPT, môi trường Casyopée
giải quyết được những KNV chứa tham số nào, Casyopée khắc phục những khó khăn
nào của học sinh khi giải quyết KNV chứa tham số trong môi trường truyền thống?

Tham số và phương trình chứa tham trong SGK
Trong bài Đại cương về phương trình ở chương 3 của SGK ĐS 10 NC, sau khi nêu
khái niệm phương trình một ẩn, phương trình tương đương, phương trình hệ quả, phương
trình nhiều ẩn, tiếp theo SGK mô tả phương trình tham số ở trang 71 như sau:
“Chúng ta còn xét cả những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những
chữ khác. Các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số.
Chẳng hạn, phương trình m(x + 2) = 3mx – 1 (với ẩn x) là một phương trình chứa
tham số m.
H4 Tìm tập nghiệm của phương trình mx + 2 = 1 – m (với m là tham số) trong mỗi
trường hợp:
a) m = 0; b) m ≠ 0.
Rõ ràng nghiệm và tập nghiệm của một phương trình chứa tham số phụ thuộc vào
tham số đó. Khi giải phương trình chứa tham số, ta phải chỉ ra tập nghiệm của phương
trình tùy theo các giá trị có thể của tham số. Để nhấn mạnh ý đó, khi giải phương trình
chứa tham số, ta thường nói là giải và biện luận phương trình.”
Nói rõ hơn, biện luận chính là quá trình lập luận về số nghiệm của phương trình
theo giá trị nhận được của tham số. Phần lớn các bài toán biện luận đều liên quan chặt
chẽ đến việc phân chia các trường hợp riêng đối với tham số. Từ đó dẫn đến sự phân
lớp các tập nghiệm, nghĩa là ứng với trường hợp này của tham số thì ta có tập nghiệm