BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngơ Thị Hồng Hạnh MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY
HỌC VECTƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG:
VECTƠ HÌNH HỌC VÀ VECTƠ VẬT LÝ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngơ Thị Hồng Hạnh


việc học môn vật lý. Cụ thể là vectơ được sử dụng ở cả ba lớp 10, 11, 12 để biểu diễn và nghiên cứu
các đại lượng vật lý.
Liên quan đến khái niệm vectơ, chúng tôi tìm thấy một số công trình nghiên cứu didactique đề
cập đến phương diện đối tượng cũng như phương điện công cụ của nó: Lê Thị Hoài Châu (Luận án tiến
sĩ, 1997), Đỗ Công Đoán (Luận văn thạc sĩ, 2002), Võ Hoàng (Luận văn thạc sĩ, 2002), Hoàng Hữu
Vinh (Luận văn thạc sĩ, 2002). Kết quả nghiên cứu của các công trình này cho thấy học sinh gặp khó
khăn trong việc chiếm lĩnh khái niệm vectơ cũng như sử dụng công cụ vectơ trong phạm vi hình học.
Cụ thể, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã vạch ra những khó khăn mà học sinh thường gặp khi học tập phần
vectơ:
- Khó khăn trong việc vượt ra khỏi mô hình mêtric để xem xét các đặc trưng định hướng của
vectơ.
- Khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng của vectơ.
- Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của phép toán vectơ.
Hơn thế, tác giả còn chứng tỏ được rằng ngoài nguồn gốc khoa học luận, những khó khăn trên còn có
thể bị làm cho trầm trọng thêm bởi một sự lựa chọn chuyển đổi sư phạm.
Các công trình mà chúng tôi đã kể ra ở trên chỉ nghiên cứu vectơ trong phạm vi hình học mà chưa đề
cập đến khái niệm vectơ trong phạm vi vật lí. Mặc khác những công trình này nghiên cứu về khái niệm
vectơ trong các chương trình: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp
nhất năm 2000. Trong khi chương trình hiện hành là chương trình phân ban được áp dụng từ năm 2006
trên toàn quốc.
Thực tế này dẫn chúng tôi đến những câu hỏi sau:
Khái niệm vectơ được đưa vào chương trình hình học lớp 10 hiện hành có gì thay đổi so với các
chương trình trước đó: chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý hợp nhất
năm 2000?
Trong dạy học vật lý ở trường phổ thông, vectơ được đưa vào và sử dụng như thế nào? Học sinh
gặp vectơ trong vật lý trước hay sau khi đối tượng này được nghiên cứu trong dạy học toán? Khi sử
dụng công cụ vectơ trong vật lí học sinh gặp phải thuận lợi hay khó khăn gì? Việc nghiên cứu vectơ
trong hình học có ảnh hưởng gì đến việc học tập các khái niệm có liên quan đến vectơ trong vật lí
không?


mối quan hệ thể chế đối với đối tượng vectơ trong thể chế I1. Trên cơ sở tham khảo kết quả nghiên cứu
về vectơ trong các chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất của tác giả : Lê
Thị Hoài Châu, Đỗ Công Đoán và Hoàng Hữu Vinh. Chúng tôi sẽ chỉ ra có sự thay đổi hay không về
đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1 với các thể chế dạy học vectơ theo các chương trình hình
học: chương trình cải cách giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất. Kết quả thu được cho phép
chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q1.
- Tiếp đến chúng tôi sẽ phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên vật lý phổ thông
hiện hành, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các tổ chức vật lý gắn với đối
tượng vectơ. Nghiên cứu này cũng cho phép chúng tôi trả lời cho câu hỏi Q2 và Q3.
- Từ những kết quả đạt được ở trên chúng tôi sẽ nghiên cứu và thiết lập một hệ thống câu hỏi thực
nghiệm để kiểm chứng những giả thuyết mà chúng tôi đưa ra về những khó khăn của học sinh khi sử
dụng vectơ trong vật lý.
5. Tổ chức của luận văn:
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau :
Chương 1- Vectơ trong dạy học hình học ở trường phổ thông.
Chương 2- Vectơ trong dạy học vật lý ở trường phổ thông
Chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm
CHƯƠNG 1 : NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI VECTƠ HÌNH HỌC

Bắt đầu từ năm 2006, chương trình phân ban được áp dụng trên cả nước. Qua đó chương trình
toán THPT gồm có: chương trình chuẩn và chương trình nâng cao; tương ứng có hai bộ sách giáo khoa.
Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng các công cụ của thuyết nhân học để phân tích chương trình chuẩn
nhằm làm rõ đặc trưng và vai trò của vectơ trong thể chế I1. Chúng tôi sẽ so sánh với vai trò của vectơ
trong thể chế dạy học hình học theo chương trình cải cách giáo dục năm 1990 và chương trình chỉnh lý
hợp nhất năm 2000 (mà chúng tôi sẽ gọi tắt là các chương trình trước năm 2006).
1.1. Vectơ trong các chương trình hình học THPT trước năm 2006
Trước hết vectơ được nghiên cứu với tư cách là đối tượng toán học trong chương trình hình học
10. Cụ thể, chương trình đưa vào khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, tọa độ của vectơ. Tiếp đến,
vectơ được sử dụng làm công cụ để xây dựng định nghĩa tọa độ của điểm. Sau đó, công cụ vectơ được
dùng để nghiên cứu các hệ thức lượng, các phép dời hình và đồng dạng. Các kiến thức vectơ trong mặt

hai vectơ cùng phương, mô tả hai vectơ cùng hướng, định nghĩa độ dài (hay môđun) của vectơ, cuối
cùng định nghĩa hai vectơ bằng nhau. Trong đó khái niệm vectơ tự do có thể được đưa vào một cách
tường minh hay ngầm ẩn . Khi nghiên cứu SGK hiện hành chúng tôi thấy rằng về cơ bản không có sự
thay đổi trong việc đưa vào khái niệm vectơ so với các SGK trước năm 2006.
Đầu tiên SGK định nghĩa:
“Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.” (SGK hình học 10 trang.4)
Tiếp đến, các tác giả đưa vào khái niệm giá của vectơ:
“Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.” (SGK
hình học 10 trang 5)
Từ đó các tác giả định nghĩa hai vectơ cùng phương, mô tả khái niệm hai vectơ cùng hướng, ngược
hướng
“Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau”. (SGK hình học
10 trang 5)
“Trên hình 1.3, hai vectơ
AB
uuur
,
CD
uuur
cùng phương, và có hướng đi từ trái sang phải. Ta nói
AB

a
r
và
b
r
được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu
a
r
=
b
r
”(SGK hình học 10 trang 6)
Khái niệm vectơ tự do được đưa vào ngầm ẩn:
“Vectơ còn được kí hiệu là
a
r
,
b
r
,
x
r
,
y
r
,…khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của
nó”(SGK hình học 10, tr.4)
“… mọi vectơ–không đều bằng nhau. Ta kí hiệu vectơ-không là
0
r

phân tích một vectơ qua cơ sở:
“Cho hai vectơ
a
r
và
b
r
không cùng phương. Khi đó mọi vectơ
x
r
đều phân tích một cách duy nhất
theo hai vectơ
a
r
và
b
r
, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho
x ha kb= +
rrr
.”(SGK hình học 10
trang 16)
Mệnh đề này chính là cơ sở để xây dựng khái niệm tọa độ của vectơ trong hệ trục tọa độ vuông góc.
1.2. Vectơ với tư cách là công cụ trong sách giáo khoa hiện hành
1.2.1. Công cụ vectơ trong SGK hình học 10:
Công cụ vectơ được dùng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, đồng thời xây dựng
phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Để đưa vào các hệ thức lượng trong tam giác, trước hết SGK đưa
vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của tích vô hướng để tính độ dài của vectơ, góc
giữa hai vectơ, khoảng cách giữa hai điểm. Nhờ đó, các tác giả chứng minh định lí côsin, công thức độ
dài đường trung tuyến trong tam giác…Trong các ứng dụng của tích vô hướng, SGK có đề cập đến ứng

ur
, còn công A
được tính bằng Jun (viết tắt là J).
Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của
hai vectơ
F
ur
và
'OO
uuuur
.”(SGK hình học 10 trang 41)
Điều này cho thấy ý nghĩa vật lý của tích vô hướng của hai vectơ.
Để xây dựng phương pháp tọa độ trên mặt phẳng, ngay từ chương I các tác giả đưa vào các kiến thức
cơ sở của phương pháp tọa độ: khái niệm trục tọa độ và hệ trục tọa độ vuông góc, tọa độ của điểm và
tọa độ của vectơ đối với trục và hệ trục.
Về khái niệm tọa độ của vectơ SGK trình bày như sau:
O
(; )Mxy
1
M
2
M
i
r
j
r
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ
u
r
tùy ý. Vẽ

thứ hai gọi là tung độ của vectơ
u
r
” (SGK hình học 10 trang 23)
Ở đây sự duy nhất của cặp số (x; y) là do sự phân tích duy nhất của một vectơ qua cơ sở.
Sau khi đã đưa khái niệm tọa độ của vectơ thì vectơ được biểu diễn thông qua tọa độ của nó và các
phép toán vectơ cũng được thực hiện trên tọa độ các vectơ.
Tọa độ của điểm được định nghĩa như sau:
“Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của
vectơ
OM
uuuur
đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với
hệ trục đó” (SGK hình học 10 trang 23)
Việc đưa vào các khái niệm tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm là cơ sở để
xây dựng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương III. Từ đó, người ta nghiên cứu đường thẳng,
đường tròn và đường elip. Công thức tính độ dài đoạn thẳng và góc giữa hai đường thẳng được suy ra
từ tích vô hướng của hai vectơ. Phương trình đường thẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng được xây dựng dựa vào khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của
đường thẳng. Phương trình đường tròn và đường elip được thiết lập mà không cần có sự can thiệp trực
tiếp của vectơ (gián tiếp thì người ta đã sử dụng vectơ thông qua công thức tính độ dài một đoạn thẳng)
1.2.2. Công cụ vectơ trong SGK hình học 11
Công cụ vectơ được dùng để định nghĩa phép tịnh tiến, phép vị tự, chứng minh tính chất của phép tịnh
tiến, phép đối xứng tâm và phép vị tự.
Để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian, SGK đưa vào các khái niệm về vectơ trong không
gian. Trong đó các khái niệm vectơ, các phép toán vectơ được định nghĩa tương tự như trong mặt
phẳng. Tiếp theo, các tác giả đưa vào khái niệm ba vectơ đồng phẳng và sự phân tích duy nhất của một
vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. Sau đó, SGK xây dựng khái niệm tích vô hướng của hai vectơ
trong không gian. Từ đó, công cụ vectơ được dùng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc và điều
kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

T2 Xác định tọa độ của vectơ
T3 Chứng minh một đẳng thức vectơ
T4 Tính tích vô hướng
T5 Phân tích (biểu thị) một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
T6 Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ thức vectơ
T7 Chứng minh hai điểm trùng nhau
T8 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
T9 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
So với các SGK trước năm 2006, trong SGK hiện hành đã bỏ đi các kiểu nhiệm vụ:
Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng
Chứng minh một đường thẳng di động đi qua một điểm cố định
Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Dưới đây chúng tôi sẽ làm rõ những tổ chức toán học được thiết lập trong SGK từ các kiểu nhiệm vụ
này. Khi phân tích, chúng tôi sẽ dừng ở thành phần công nghệ, vì chúng là các tổ chức toán học bộ
phận đều có chung Θ là lý thuyết vectơ và tập số thực R với các phép toán đại số.
Tổ chức toán học gắn với T1 - Xác định vectơ (Xác định phương, hướng, độ dài của vectơ)
T1 gồm các kiểu nhiệm vụ con sau đây :
• TR
11
R : Tìm vectơ cùng phương hoặc cùng hướng với một vectơ hoặc bằng một vectơ cho trước.
Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
a) Tìm các vectơ khác vectơ
0
r
và cùng phương với
OA
u u ur

b)Tìm các vectơ bằng vectơ
AB

uuur
và
AB
uuur
-
BC
uuur
.
Kỹ thuật t
R
12
R: dựa vào định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ để vẽ vectơ tổng và vectơ hiệu. Dựa
vào tính chất hình học của hình để tính độ dài của các vectơ này.
Công nghệ
θ
R
12
R: định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ.
Tổ chức toán học gắn với T2 - Xác định tọa độ của vectơ
T2 cũng gồm hai kiểu nhiệm vụ con.
• TR
21
R: Tìm tọa độ của một vectơ biểu thị theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ Đề-cac vuông góc.
Ví dụ: Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a)
2ai=
rr
b)
3bj= −
rr

R : Tìm tọa độ của một vectơ thỏa mãn một hệ thức vectơ cho trước
Ví dụ: Cho
(2;1), (3; 4), ( 7;2).ab c= =−=−
rr r

a) Tìm tọa độ của vectơ
324uabc=+−
rrrr

b) Tìm tọa độ vectơ
x
r
sao cho
xabc+=−
rr rr

Kỹ thuật
τ
R
22
R: Tính tọa độ của vectơ bằng cách dùng công thức tọa độ của các vectơ
,,u v u v ku+−
r rr r r
.
Công nghệ θR
22
R: định nghĩa tọa độ của vectơ, tọa độ của các vectơ
,,u v u v ku+−
r rr r r
.

Hệ thức 1: Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
0IA IB+=
uur uur
r

Hệ thức 2:Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có:
2MA MB MI+=
uuur uuur uuur

Hệ thức trọng tâm:
Hệ thức 1: Điểm G là trung điểm của tam giác ABC khi và chỉ khi
0GA GB GC++=
uuur uuur uuur
r

Hệ thức 2:Nếu G là trung điểm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:
3GA GB GC MG++=
uuur uuur uuur uuuur

Ví dụ:
(Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật
τ
R
31
R) Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D, ta có:
AB CD AD CB+=+
uuur uuur uuur uuur

(Kiểu nhiệm vụ T3, kỹ thuật
τ

R:
Định nghĩa tích vô hướng
Các tính chất của tích vô hướng
d)Ví dụ:
(Kiểu nhiệm vụ T
R
41
R, kỹ thuật τR
41
R) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô
hướng
.,.AB AC AC CB
uuur uuur uuur uuur

(Kiểu nhiệm vụ T
R
42
R, kỹ thuật τR
42
R) Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ
a
r
= (-3;1) và
b
r
=(2;2), hãy
tính tích vô hướng
a
r
.

r
ta tìm các số h và k sao cho
c ha kb= +
rr
r
theo
a
r
và
b
r

c) Công nghệ
θ
R
5
R :
Mệnh đề: “Cho hai vectơ
a
r
và
b
r
không cùng phương. Khi đó mọi vectơ
x
r
đều phân tích
một cách duy nhất theo hai vectơ
a
r


0MA MB+=
uuur uuur
r
. Vậy M là trung điểm AB
0AM =
uuuur
r
. Vậy M ≡ A
Công nghệ
θ
R
6
R:
Định nghĩa: vectơ-không, vectơ bằng nhau,
Quy tắc ba điểm
Hệ thức trung điểm: I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
0IA IB+=
uur uur
r

Tích của vectơ với một số và các tính chất
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:”Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k
khác 0 để
AB k AC=
uuur uuur

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho
20MA MB MC++ =
uuur uuur uuuur

R:
Định nghĩa vectơ-không
Quy tắc ba điểm
Hệ thức trung điểm
Hệ thức trọng
Điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là:
' ' '0AA BB CC++ =
uuur uuur uuuur
r

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G(
;
33
A B CA B C
xxxyyy++ ++
)
d)Ví dụ:
(Kiểu nhiệm vụ T
R
72
R, kỹ thuật
τ
R
71
R) Chứng minh rằng
AB CD=
uuur uuur
khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn
thẳng AD và BC trùng nhau.
(Kiểu nhiệm vụ t

uuur uuur

-Kết luận A, B, C thẳng hàng
Công nghệ
θ
R
8
R:
Định nghĩa tích của một vectơ với một số
Tính chất của phép nhân vectơ với một số
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k sao cho
AB k AC=
uuur uuur

Ví dụ: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên
cạch AB sao cho AK =
1
5
AB
a) Hãy phân tích
, ,,AI AK CI CK
uur uuur uur uuur
theo
,a CA b CB= =
u u ur u u ur
r
r

b) Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng
Tổ chức toán học gắn với T9: chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1
6
7
T2

2
2
T3
2
10
12
T4
1
4
5
T5
2
5
7
T6

3
3
T7

3
3
T8
1


F MC=
ur uuuur
cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng
yên. Cho biết cường độ của
1
F
ur
,
2
F
ur
đều là 100N và
0
60AMB
∧
=
. Tìm cường độ và hướng của lực
3
F
ur
”
(Bài tập 10 SGK Hình học trang 12)
- Kiểu nhiệm vụ T2 nhằm mục đích củng cố định nghĩa tọa độ của vectơ và các công thức về tọa độ của
các vectơ
,,u v u v ku+−
r rr r r
. Trong các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này các vectơ được cho dưới dạng phân
tích theo hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ vuông góc hoặc cho trước tọa độ. Không có bài tập nào
cho bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp. Kỹ thuật để giải quyết đơn giản chỉ áp dụng trực tiếp định nghĩa
và các công thức.

toán không được xem là mục đích quan trọng.
- Kiểu nhiệm vụ T3 (chứng minh một đẳng thức vectơ) có số bài tập nhiều nhất. Điều này cho thấy
trong SGK hiện hành việc rèn luyện kỹ năng biến đổi các biểu thức vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ
vẫn là yêu cầu trọng tâm.
III. Kết luận:
Trong thể chế I1, vectơ vừa đóng vai trò là đối tượng vừa là công cụ để nghiên cứu hình học.
Trong đó công cụ vectơ được sử dụng chủ yếu để xây dựng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam
giác, phép biến hình, quan hệ vuông góc trong không gian và các kiến thức cơ sở của phương pháp tọa
độ. Việc sử dụng công cụ vectơ để giải toán hình học không được chú trọng, điều này thể hiện qua số
lượng bài tập tương ứng với các kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương diện công cụ của vectơ rất ít.
Trong SGK hình học hiện hành, vectơ mang hai nghĩa: vectơ buộc, vectơ tự do. Khái niệm vectơ
buộc được trình bày tường minh còn khái niệm vectơ tự do chỉ được nói đến một cách ngầm ẩn.
CHƯƠNG 2: VECTƠ TRONG DẠY HỌC VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích chương trình, sách giáo khoa và sách giáo viên môn
vật lý. Cụ thể, chúng tôi sẽ tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây: Trong thể chế I2, khái niệm
vectơ được đưa vào ra sao, gắn với những nghĩa gì, được sử dụng như thế nào? Vectơ được đưa vào
trước hay sau khi đối tượng này được nghiên cứu trong toán học? Các đặc trưng định hướng của vectơ
được đề cập đến như thế nào? Có những tổ chức vật lý nào liên quan đến khái niệm vectơ?
Phân tích trên dựa vào các tài liệu sau:
Vật lý 8 – Vũ Quang (Tổng chủ biên), Bùi Gia Thịnh (Chủ biên)
Vật lí 9 – Vũ Quang (Tổng chủ biên), Đoàn Duy Hinh (Chủ biên)
Vật lý 10 (cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên kiêm Chủ biên)
Vật lý 11(cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên), Vũ Quang (Chủ biên)
Vật lí 12 (cơ bản) – Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên), Vũ Quang (Chủ biên)
Sách giáo viên ở các khối lớp tương ứng.
2.1. Phân tích chương trình:
Vectơ bắt đầu xuất hiện lần đầu tiên ở chương trình vật lý 8 trong bài “Biểu diễn lực”với vai trò là
công cụ biểu diễn đại lượng vectơ cụ thể là biểu diễn lực.
“Ngay từ lớp 6 ta đã biết một lực không những có độ lớn mà còn có phương và chiều. Một đại
lượng vừa có độ lớn, vừa có phương và chiều là một đại lượng vectơ”

hướng của chuyển động và có độ dài tỉ lệ với độ lớn của vận tốc tức thời theo một tỉ xích nào đó.”
(SGK Vật lí 10 trang 16-17)
“Vì vận tốc là đại lượng vectơ nên gia tốc cũng là đại lượng vectơ:
0
0
vv
v
a
tt t
−
∆
= =
−∆
r uur
r
r
”( SGK Vật lí 10
trang 18)
Khi vật chuyển động thẳng nhanh dần đều, vectơ gia tốc có gốc ở vật chuyển động, có phương và
chiều trùng với phương và chiều của vectơ vận tốc và có độ dài tỉ lệ với độ lớn của gia tốc theo
một tỉ xích nào đó.”(SGK Vật lí 10 trang 18)
“Vectơ gia tốc của chuyển động thẳng chậm dần đều ngược chiều với vectơ vận tốc” (SGK Vật lí
10 trang 20)
“Trong chuyển động tròn đều, tuy vận tốc có độ lớn không đổi, nhưng có hướng luôn thay đổi, nên
chuyển động này có gia tốc. Gia tốc trong chuyển động tròn đều luôn hướng vào tâm của quỹ đạo
nên gọi là gia tốc hướng tâm” (SGK Vật lí 10 trang 32)
Các vectơ này là vectơ buộc vì nó gắn với vật chuyển động. Khi đó các mối quan hệ về phương, chiều
và độ lớn của các đại lượng vận tốc và gia tốc được thể hiện bằng các hệ thức vectơ thông qua các phép
toán vectơ.
- Lực được nghiên cứu trong các chương “Động lực học chất điểm”, “Cân bằng và chuyển động

(chia trong)” (SGK Vật lí 10 trang 105)
Qua đó, vectơ biểu diễn cho lực tác dụng vào chất điểm là vectơ buộc vì nó gắn với chất điểm và vấn
đề tổng hợp và phân tích lực chỉ đặt ra khi các lực có chung điểm đặt. Trong trường hợp lực tác dụng
lên vật rắn thì tác dụng của lực không thay đổi khi di chuyển vectơ lực trên giá của nó và việc tổng hợp
hay phân tích lực được thực hiện khi các lực có giá đồng quy hoặc có giá song song. Do đó vectơ biểu
diễn cho lực tác dụng lên vật rắn là vectơ trượt.
Các đặc trưng của lực và một số loại lực cụ thể được phát biểu dưới dạng các định luật. Khi đó công cụ
vectơ được dùng để mô tả các định luật này dưới dạng một công thức toán học để có thể tính toán được
và làm cho các phát biểu trở nên gọn gàng hơn.
- Khái niệm động lượng được nghiên cứu trong chương “Các định luật bảo toàn”. Ở đây, công
cụ vectơ được dùng để định nghĩa động lượng và giải thích định luật bảo toàn động lượng. Vectơ biểu
diễn động lượng cũng là vectơ buộc.
Trong chương trình vật lí 11 vectơ được dùng để nghiên cứu các đại lượng vectơ: cường độ
điện trường và cảm ứng từ. Cường độ điện trường được nghiên cứu trong chương “Điện tích –Điện
trường”, còn cảm ứng từ được nghiên cứu trong chương “ Từ trường”. Chương trình đưa vào khái niệm
vectơ cường độ điện trường và vectơ cảm ứng từ:
“Vì lực F là đại lượng vectơ, còn điện tích q là đại lượng vô hướng, nên cường độ điện trường E
cũng là đại lượng vectơ. Cường độ điện trường được biểu diễn bằng một vectơ gọi là vectơ cường
độ điện trường:
F
E
q
=
ur
ur

Vectơ cường độ điện trường
E
ur
có: