BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Saysopha Vatthana

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở
BẬC TIỂU HỌC LÀO

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Saysopha Vatthana

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở
BẬC TIỂU HỌC LÀO
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người Hướng Dẫn Khoa Học
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1

II. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................... 2
III. Khung lý thuyết tham chiếu ........................................................................................ 2
IV. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 2

CHƯƠNG I ................................................................................................................ 3
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC VIỆT
NAM 3
I.

Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam ..................................... 3

II. Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học......................................... 5
1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học ................................ 5
2. Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng ............. 20
III. Kết luận chương I ...................................................................................................... 25

CHƯƠNG 2. ............................................................................................................ 26
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ ........................................................................................ 26
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC LÀO .................................................... 26
I.

Nội dung sách giáo khoa Lào .................................................................................... 26

II. Kết luận chương II ..................................................................................................... 44

CHƯƠNG III ........................................................................................................... 45
THỰC NGHIỆM ..................................................................................................... 45
I. Mục đích của thực nghiệm ........................................................................................... 45


5 3
2 1 3
khi cộng hai phân số thì sai lầm kiểu này hay xuất hiện  
5 3 8

khi so sánh hai phân số thì sai lầm kiểu này hay xuất hiện

Như vậy, việc nghiên cứu về dạy học phân số ở trường tiểu học trở nên thực
sự cần thiết, vì nó cho phép hiểu rõ hơn những điều kiện và ràng buộc của quá
trình truyện thụ tri thức gắn liền với phân số, phép tính các loại phân số, và như
vậy những khó khăn của học sinh trong việc học tập khái niệm này.
Ở nước Lào dã có những chiến lược đổi mới chương trình, nội dung giáo
dục và phương pháp giảng dạy cho giáo viên. Nhưng trong chương trình hiện
tại thì chương trình SGK vẫn đang trong giai đoạn triển khai biên soạn và thử
nghiệm.
Chúng tôi nghĩ rằng việc nghiên cứu về đối tượng phân số đặc biệt là
phép tính và so sánh phân số sẽ cho hiểu rõ hơn điều kiện và ràng buộc trên đối
tượng này trong thể chế dạy học tiểu học Lào.
Vì vậy, việc nghiên cứu những khó khăn của học sinh khi học về phân số
là điều cần thiết. không những giải thích được thực tế dạy học các phân số và
cải thiện việc dạy này mà cung cấp những hiểu biết sư phạm về đối tượng này
cho nhà soạn chương trình và viết sách, nhất là trong bối cảnh đổi mới sách
giáo khoa Lào hiện nay.

1


II. Mục đích nghiên cứu


2


CHƯƠNG I
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU
HỌC VIỆT NAM
Trong chương này chúng tôi tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu của
Dương Hữu Tòng (2012)

I. Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam
Giáo trình Đỗ Đình Hoan đề cập các nội dung sau :
* Hình thành khái niệm phân số
Ở Tiểu học, khái niệm phân số được xây dựng theo hướng sau: số biểu
thị một cặp số tự nhiên(a, b), trong đó b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị
và a chỉ số phần bằng nhau lấy ra, được rồi là phân số. Số đó được biểu diễn
dưới dạng
Ở SGK Toán 4 còn giới thiệu còn nêu lên mối quan hệ giữa khái niệm
phân số với phép chia hai số tự nhiên. Như vậy, bao giờ cũng có thể dùng phân
số để ghi lại kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0.
Điều này cho phép coi một số tự nhiên là phân số có mẫu số là 1.
a
b

Việc xây dựng số mới có dạng = (b ≠ 0 ) như trên làm cho các phương
trình có dạng b × x= a ( b≠ 0) luôn luôn có nghiệm.
* Tính chất cơ bản của phân số
Giáo trình đề cập hai tính chất cơ bản của phân số:
- “Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một
số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho”
- “Nếu ta nhân hay chia số bị chia và số chia của một phép chia với cùng

= . Các phân số được qui đồng là và
b d
p
p

a m
c n
= mà a < m và b < p;
= mà c < n và d < p.
d p
b p

Chú ý: Việc qui đồng mẫu số các phân số chỉ tiến hành trên các phân số
có mẫu số bé hơn hoặc bằng 10.
• So sánh các phân số
• So sánh hai phân số cùng mẫu số
Nhờ phương tiện trực quan, việc so sánh hai phân số được quy về việc
so sánh hai tử số như cách so sánh hai số tự nhiên.
* So sánh phân số với 1
Viết số 1 thành phân số có tử số và mẫu số đều bằng mẫu số của phân
số, rồi so sánh hai phân số có cùng mẫu số. Nhưng ì tử số của phân số biểu thị
số 1 bằng mẫu số của phân số đã cho, nên việc so sánh phân số với 1 được quy
về so sánh tử số với mẫu số của phân số đã cho.
* So sánh hai phân số khác mẫu số
- Hướng giải quyết:
+ Qui đồng mẫu số hai phân số đã cho.
+ So sánh hai phân số cùng mẫu số đã qui đồng (so sánh hai tử số).
Từ đó rút ra kết luận về so sánh hai phân số đã cho.
Cộng trừ hai phân số
Giáo trình đề cập như sau:


Bằng phương tiện trực quan, HS nhận thấy rằng:
hóa:

1
÷3
2

1
1
÷ 3 = . Hình thức
2
6

1
1 1 1
÷ 3 = × = Sau đó, nêu quy tắc tổng quát.
2
2 3 6

* Các tính chất của phép toán trên phân số
Vì tập hợp phân số là sự mở rộng tập hợp số tự nhiên nên mọi tính chất
phép toán trên số tự nhiên đều áp dụng được trên phân số. Trong SGK, các tính
chất này được đưa vào phần luyện tập thực hành. Chẳng hạn:
- Tính chất giao hoán của phép cộng, của phép nhân.
- Tính chất kết hợp của phép cộng, của phép nhân.
- Một tổng nhân một số, một số nhân một tổng
II. Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học
1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học
5


phương pháp dạy học Toán.
Ngoài ra, SGK còn nêu lên cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của mẫu
số thông qua nhận xét sau: “Mỗi phân số có tử số và mẫu số”. Tử số là số tự
nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch
ngang”. Chúng ta thấy xuất hiện ở đây một quy tắc (R1) của hợp đồng didactic:
Khi tính toán với các phân số, HS không có trách nhiệm kiểm tra mẫu số khác
0, nhưng HS có nhiệm vụ phải đưa ra một kết quả theo yêu cầu của bài toán.
Có lẽ cũng vì ảnh hưởng của hợp đồng này mà SG 2006 đưa ra chú ý như sau:
“GV chỉ nên cho HS nhận biết phân số có tử số và mẫu số đều là số tự nhiên,
mẫu số phải khác không. Chưa nên giải thích gì thêm”.
Ngoài ra, SGK còn tiếp cận phân số như là kết quả của phép chia của hai
số tự nhiên mà số chia khác 0 thông qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ
TỰ NHIÊN”:
“Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần
của cái bánh”.
6


3
4

SGK trình bày: 3 ÷ 4 = .
Đến đây, ta thấy được cách giới thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách
mà đã được đề cập trước đó: xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ
toán học.
Nhu cầu thực tế ở chỗ: SGK đưa ra tình huống như trên có từ thực tiễn
cuộc sống. Đó là kết quả của những phép chia không hết. Chứng tở, trong thực
tế có những tình huống cho phép làm nảy sinh khái niệm số mới – phân số.
Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: Khái niệm phân số ra đời cho phép thực

4 8
4 8
4× 2 8 8 ÷ 2 4

Và SGK cũng giới thiệu nhận xét: “Nếu nhân hay chia tử số à mẫu số
của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được phân số bằng phân
số đó”. Kết luận này cho HS một quy tắc (R3) ngầm ẩn của hợp đồng didactic:
Để tìm một phân số bằng một phân số đã cho, có thể nhân hay chia tử số à mẫu
số của một phân số đó với cùng một số tự nhiên khác 0. Điều này được thấy rõ
qua việc phân bố bài tập trong SGK. Có tới 3 bài tập gồm nhiều câu có liên
quan đến kết luận trên. Có thể nói rằng, nhờ quy tắc này mà HS có được điều
kiện thuận lợi để giải quyết các bài tập có liên quan đến dạng toán này.
Khác với SGK 2003, SGK hiện hành đưa thêm hai nội dung có liên
quan đến phân số là rút gọn và quy đồng mẫu số các phân số.
Bên cạnh được học so sánh hai phân số cùng mẫu số, HS cũng được học
so sánh hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số các phân số. Vì ở
tiểu học, HS chưa được học ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất nên để
tìm mẫu số chung ta chỉ việc nhân hai mẫu số với nhau.
Nhận xét:
Phân số được nghiên cứu ở lớp 2, lớp 3 ở góc độ ẩn tàng. Khi đó nó chỉ
được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải quyết các tình huống. Trong khi
đó, ở lớp 4 phân số được nghiên cứu như là một “đối tượng” tường minh. HS
chính thức được tìm hiểu nó qua các hình thành, nghiên cứu các tính chất cơ
bản. Từ đó, phân số trở thành “công cụ tường minh” để giải quyết các kiểu
nhiệm vụ bên dưới đây.
b. Tổ chức toán học liên quan đến khai niệm phân số
Kiểu nhiệm ụ T 1 : “Tìm phân số bằng phân số đã cho”
SGK đề cập nhiều bài tập có liên quan T. Chẳn hạn, câu B bài tập 1 như
sau:
2

tường minh trong SGK ở trang 111:
* Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự
nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
* Nếu chia hết tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự
nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Rút gọn phân số”
Một ví dụ cho kiểu nhiệm vụ được tình bày trong SGK:
Ví dụ 2: Rút gọn phân số

18
54

Ta thấy: 18 à 54 đều chia hết cho 2, nên
18 18 ÷ 2 9
= =
54 54 ÷ 2 27

9 và 27 đều chia hết cho 9, nên:
9 9 ÷9 1
= =
27 27 ÷ 9 3

1 và 3 không cùng chia hết cho số nào lớn hơn 1, nên

1
là phân số tối
3

giản.
Vậy:

1
2
nhân với mẫu số của phân số
3
5

* Ta lấy tử số và mẫu số của phân số

1
2
nhân với mẫu số của phân số
3
5

* Đặc trưng của kiểu nhiệm ụ: hai mẫu số không chia hết cho nhau hoặc
một trong hai mẫu số có mẫu số này chia hết cho mẫu số kia.
Kĩ thuật τ 3a : đặc trưng cho hai phân số có mẫu số không chia hết cho
nhau, được trình bày tường minh trong SGK:
Khi quy đồng mẫu số hai phân số ta có thể làm như sau:
* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số
thứ hai.
* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ
nhất.
Khi một trong hai mẫu số chia hết cho mẫu số còn lại, ta có một kĩ thuật
τ 3b như sau:

Giả sử phân số thứ hai có mẫu số chia hết cho mẫu số của phân số thứ
nhất.
* Tìm số sao cho mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số đó bằng mẫu
số của phân số thứ hai

6 12
6 6 × 2 12

6).

phân số

5
12

Công nghệ θ3 : Mẫu số chung của hai phân số, hai phân số bằng nhau.
Lý thuyết O 3 : Phép nhân hai số tự nhiên, tính chất cơ bản của phân số.
Kiểu nhiệm vụ T 4 : “So sánh hai phân số”
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số có cùng mẫu số, hai phân số
có cùng tử, hai phân số khác mẫu số.
Dựa trên đặc trưng trên, chúng tôi chia thành 3 kiểu nhiệm vụ nhỏ như
sau: So sánh hai phân số cũng mẫu số, so sánh hai phân số khác mẫu số, so
sánh hai phân số cùng tử số.
Kiểu nhiệm ụ T 4a : “So sánh hai phân số cùng mẫu số”
Chúng tôi đưa ra một ví dụ trong SGK đại diện cho kiểu nhiệm vụ:
Ví dụ: So sánh hai phân số

2 3
và
5 5

Kĩ thuật τ 4a được trình bày tường minh trong SGK như sau:
Muốn so sánh hai phân số có cùng mẫu số, ta chỉ cần so sánh hai tử số: phân số
nào có tử số bé hơn thì bé hơn; phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn; nếu tử
số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

3 3 × 4 12
4 4 × 3 12

* So sánh hai phân số cùng mẫu số:
* Kết luận:

8 9
< ( vì 8 < 9 )
12 12

2 3


phân số đó, rồi so sánh tử số của hai phân số mới.
Công nghệ

4b :

Quy đồng mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng

mẫu số
Lý thuyết O 4b : Hai phân số bằng nhau, cách hình thành khái niệm phân
số, so sánh số tự nhiên.
* Nhận xét:
- Kĩ thuật

qđm

cho phép HS giải quyết chung bài toán đối với mọi cặp

phân số khác mẫu số. Đây cũng là cách giải mà SGK mong muốn HS cần nắm
vững. Kĩ thuật này đòi hỏi phải liên hệ kiến thức đã học trước đó: quy đồng
mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng mẫu số.
- Quá trình HS huy động các kiến thức đã học và có liên quan đến vấn
đề cần giải quyết không chỉ giúp HS làm quen với cách giải quyết một vấn đề
của bài học mà còn giúp HS nhận ra sự cần thiết phải chuẩn bị các kiến thức
trước đó. Đó chính là logic của chương trình SGK Toán 4. Chẳng hạn, để dạy
bài: “So sánh hai phân số khác mẫu số” thì phải chuẩn bị trước “Quy đồng mẫu
số hai phân số” và “So sánh hai phân số cùng mẫu số”. Đây cũng là
Từ

8
7

b d
b d

thông qua một bài tập trong SGK mà không được dạy qua phần hình thành kiến
thức mới của bài học.
Kiểu nhiệm vụ T 4c : “So sánh hai phân số cùng tử số”
Nói chung, kiểu nhiệm vụ này không được trình bày trong phần hình
thành kiến thức mới như hai kiểu nhiệm vụ trên. Nó chỉ được nhắc đến thông
qua bài tập 3

Bài tập 3: So sánh hai phân số có cùng tử số:
b) So sánh hai phân số

Kỹ thuật

8
9 8
9
và ; và
11 14 9 11

-

So sánh hai mẫu số của hai phân số

-

Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn.

SGK:

b) ; ;
3 6 4

6 4 5
a) ; ;
7 7 7

* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: các phân số được cho có cùng mẫu số
hoặc không cùng mẫu số.
* Kỹ thuật τ 5 :
- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không
- Nếu các phân số có cùng mẫu số thì sắp xếp các phân số được quy về
như là sắp xếp các tử số.
-Nếu các phân số không cùng mẫu số thì phải quy đồng mẫu số. Sau đó
tiếp tục thực hiện như bước 2.
* Công nghệ θ 5 : So sánh hai phân số cùng mẫu số, so sánh hai phân số
không cùng mẫu số.
* Lý thuyết Θ 5 : Quan hệ thứ tự của cấp số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 6 : “Cộng hai phân số”

Bài tập 1: SGK: Tính
2 3
a) +
3 5

3 5
b) +
4 4

3 7

3

3
b) + 5
4

c)

12
+2
21

*Kỹ thuật τ 7 :
- Đưa số tự nhiên về phân số có mẫu số bằng 1
- Sau đó, quy về cộng hai phân số không cùng mẫu số.
* Công nghệ θ 7 : Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số
là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1, cộng hai phân số không cùng mẫu số.
* Lý thuyết Θ 7 : Mối quan hệ giữa 1 phân tử thuộc tập N và tập Q*, định
nghĩa phép cộng trên tập số Q*.
Kiểu nhiệm vụ T 8 : “Trừ hai phân số”

Bài tập 1: SGK: Tính
a)

15 7
−
16 16

9 3
c) −

hoặc không cùng mẫu số, số bị trừ bao giờ cũng lớn hơn số trừ.
*Kỹ thuật τ 8 :
- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không
- Nếu các phân số có cùng mẫu số thì ta trừ các tử số với nhau và giữ
nguyên mấu số.
16


- Nếu các phân số không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số hai phân
số, rồi trừ hai phân số đó.
Kỹ thuật τ 8 được trình bày dưới dạng hai quy tắc trong SGK ở trang 129,
130.
*Công nghệ θ 6 : trừ hai số tự nhiên, quy đồng mẫu số hai phân số.
* Lý thuyết Θ 6 : Định nghĩa phép trừ trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 9 : “ Trừ một số tự nhiên cho một phân số” hoặc “ trừ
một phân số cho số tự nhiên”

Bài tập 3: SGK. Tính
a)2 −

3
2

b)5 −

14
3

c


*Công nghệ θ10 : được trình bày thông qua gợi ý cách giảng dạy cho GV
thông qua đoạn trích sau trong SGK:
- GV gợi ý để HS: Từ phần trên, ta có diện tích hình chữ nhật là:
4 2 8
× = (m 2 ) (GV ghi lên bảng).
5 3 15

17


Giúp HS quan sát hình vẽ và phép tính trên, nhận xét:
8 (số ô vuông của hình chữ nhật) bằng 4 x2
15 ( số ô vuông của hình vuông) bằng 5 x3.
Từ đó, dẫn dắt đến cách nhân:

4 2 4× 2 8
× =
=
5 3 5 × 3 15

* Lý thuyết Θ10 : Định nghĩa phép nhân trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 11 : “Nhân một số tự nhiên với một phân số”
Bài toán:
Một rổ cam có 12 quả. Hỏi 2/3 số cam trong rổ là bao nhiêu quả cam?
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: số cho ban đầu là một số tự nhiên,
không là một phân số.
*Kĩ thuật τ 12 được phát biểu tường minh trong SGK: muốn tìm 2/3 của
số 12 ta lấy số 12 nhân với 2/3.
Qua nghiên cứu kỹ thuật τ 12 ta thấy kiểu nhiệm vụ T 12 liên hệ mật thiết
với T 11 .



3 3 8 3 8
×
3 5 7 7 5 7 5 3 8
Có thể giải thích rõ hơn như sau: : = = × =
= ×
7 8 5 5 8 5x8 7 5
8 8 5 8 5

Rõ ràng công nghệ trên khá phức tạp và trừu tượng. Do đó nó sẽ rất khó
hiểu đối với đa số HS.
* Lý thuyết Θ13 : Định nghĩa phép chia trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 14 “Chia một số tự nhiên cho một phân số” hoặc
“chia một phân sô cho một số tự nhiên”
Bài tập 2: (Luyện tập) SGK. Tính
a )3 :

5
7

b)4 :

1
3

c)5 :

1
6


-

Tìm hai số.

Qua phân tích SGK và SGV, chúng tôi nhận thấy các lời giải liên quan
đến dạng toán này đều được bắt đầu và đây cũng là một quy tắc (R5) ngầm ẩn
của hợp đồng didactic: Khi giải các bài toán: “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu)
19


và tỉ số của hai số đó” thì sơ đồ vẽ “số phần bằng nhau của hai số cần tìm” là
một phần của lời giải.
2. Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng

HS khi có bước chuyển dạy học số tự nhiên sang dạy học khái niệm
phân số.
Các khó khăn, sai lầm liên quan đến các kiểu nhiệm vụ của phân số và
những nguyên nhân có thể.
a) Kiểu nhiệm vụ T 1 : “Tìm phân số bằng phân số đã cho”
Ví dụ:

2 Ο
= . HS có thể đưa ra lời giải là 4. HS thường tìm số soa cho
3 6

số đó cộng với 3 sẽ bằng 6. (3+□=6) và sau đó cộng tử số với phân số vằ tìm
được để có số cần tìm. (3+2=5). Hay nói khác đi, để tìm một phân số mà bằng
với phân số đã cho các em thường suy luận “cộng” hơn là suy luận “nhân”.
b) Kiểu nhiệm vụ T 4 “So sánh hai phân số” và Kiểu nhiệm vụ T 5 :


cho: < x