BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH



Nguyễn Thị Cẩm Trinh




NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ x
TRONG TỐN HỌC VÀ TRONG VẬT LÝ





Chunngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mãsố: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC


 NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC:
 TS. TRẦN LƯƠNG CƠNG KHANH


Kháiniệmviphânlàmộtkháiniệmcơbảncủagiảitích.Sựrađờicủaphéptínhvi
phânđãđưatoánhọcsangmộtgiaiđoạnmới,chuyểntừnghiêncứuphạmvibấtbiến,hữu
hạnsanglĩnhvựcvậnđộng,vôhạn,liêntụcvàcónhiềuứngdụngquantrọngtrongvậtlý.
Viphânđượcđịnhnghĩatrongchươngtrìnhtoánphổthôngthôngquakíhiệu

x,kíhiệu
nàycũngđượcsửdụngtrongvậtlý.Nhưvậytrongvậtlývàtrongtoánhọc,xxuấthiện
nhưthếnào,cóýnghĩavàchứcnănggiốnghaykhácnhau?Mặcdùviphâncóýnghĩaquan
trọngtrong toánhọc vàtrong vậtlýnhưngtrong chươngtrìnhtrung học phổthông,khái
niệmnàyđãthựcsựđượcchútrọng?HơnnữaởViệtNamchúngtôicũngchưabiếtmột
côngtrìnhdidacticnàonghiêncứuvềx.Đólànhữngcâuhỏimàchúngtôiđặtravàcũnglà
lýdomàchúngtôichọnđềtài“Nghiên cứu didactic về x trong toán học và trong vật lý”
đểtrảlờicáccâuhỏitrên.
2. Mục đích nghiên cứu của luận văn
Quamộtsốghinhậnđượctrìnhbàynhưtrên,chúngtôidẫnđếncáccâuhỏidướiđây
màviệctìmkiếmcâutrảlờilàmụcđíchcủaluậnvăn.
-xxuấthiệnnhưthếnàotrongtoánhọcvàtrongvậtlý,

xđượcđưavàonhằmmục
đíchgì?
-Trongchươngtrìnhphổthông,xđượctrìnhbàytronglĩnhvựcnàotrước,toánhọc
hayvậtlý?Cósựkhácbiệtnàokhông?Điềuđótạothuậnlợihaygâykhókhăngìchohọc
sinhkhitiếpthucùngmộtkháiniệmtronghaimônhọckhácnhau?
-Nhữnghợpđồngdidacticliênquanđến

xtrongvậtlývàtrongtoánhọc?
-Kháiniệmvôcùngbéxuấthiệnnhưthếnào,tiếntriểnrasao?Họcsinhcóđồngnhất
xvàkháiniệmvôcùngbévớinhaukhông?
-Nghĩacủavôcùngbétrongtoánhọcvàtrongvậtlýkhácnhaunhưthếnào?
3. Khung lý thuyết tham chiếu

TRITHỨCBÁCHỌC
TRITHỨCCẦNGIẢNGDẠY
TRITHỨCSOẠNGIẢNG
TRITHỨCĐƯỢCDẠY
3.2 Hợp đồng didactic
Hợpđồngdidacticlàmộtsựmôhìnhhoácácquyềnlợivànghĩavụngầmẩncủagiáo
viênvàhọcsinhđốivớicácđốitượngtrithứctoánhọcđemgiảngdạy.Nólàtậphợpnhững
quytắcphânchiavàhạnchếtráchnhiệmcủamỗibên,họcsinhvàgiáoviên,đốivớimộttri
thứctoánđượcgiảngdạy.Hợpđồngchiphốiquanhệgiữathầyvàtròvềcáckếhoạch,các
mụctiêu,cácquyếtđịnh,cáchoạtđộngvàđánhgiásưphạm.Chínhhợpđồngchỉraởtừng
lúcvịtrítươnghỗcủacácđốitácđốivớinhiệmvụphảihoànthànhvàchỉrõýnghĩasâusắc
củahoạtđộngđangđượctiếnhành,củacácphátbiểuhoặcnhữnglờigiảithích.Nólàquy
tắcgiảimãchohoạtđộngsưphạmmàmọisựhọctậptrongnhàtrườngphảitrảiqua.Tachỉ
cóthểnắmđượcýnghĩacủanhữnglốichỉđạocáchứngxửcủagiáoviênvàhọcsinh,rất
cầnchophântíchdidactic,nếubiếtgắnnhữngsựkiệnđượcquansátvàotrongkhuônkhổ
hợpđồngdidacticđểgiảithích.
Đểthấyđượchiệulựccủahợpđồngtacóthểtheomộttrongnhữngcáchtiếnhành
nhưsau:
D1:tạomộtsựbiếnloạntronghệthốnggiảngdạy,saochocóthểđặtnhữngthành
viênchủchốt(giáoviên,họcsinh)trongmộttìnhhuốngkháclạ(tasẽgọitìnhhuốngđólà
tìnhhuốngphávỡhợpđồng)bằngcách:
-Thayđổinhữngđiềukiệnsửdụngtrithức.
-Lợidụngkhihọcsinhchưabiếtcáchvậndụngmộtsốtrithứcnàođó.
-Tựđặtmìnhrangoàilĩnhvựctrithứcđangxéthoặcsửdụngnhữngtìnhhuốngmà

khácnhau.”
MộtđốitượngOđượccoilàtồntạiđốivớimộtthểchếInếucómộtmốiquanhệR(I,
O)củaIđốivớiO.QuanhệnàychobiếtOxuấthiệnnhưthếnàovàởđâutrongI,Ogiữvai
trògìtrongIvàmốiquanhệgiữaOvớicácđốitượngkháccủaIrasao.
Cũngtươngtựnhưvậy,mộtđốitượngtrithứcOtồntạiđốivớimộtcánhânXnếucó
mốiquanhệR(X,O)củaXđốivớiO.Quanhệnàybaogồmtấtcảcáctácđộngqualạicủa
XđốivớiOnhưXcóthểsửdụngOnhưthếnào,hiểuvềOrasao…
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
Vớikhunglýthuyếtthamchiếu,chúngtôitrìnhbàylạidướiđâynhữngcâuhỏimà
việctìmhiểucâutrảlờichínhlàmụcđíchnghiêncứucủaluậnvăn.
-Đặctrưngkhoahọcluậncủax?
-Mốiquanhệthểchếvớiđốitượngtrithức

xtrongthểchếdạyhọcToánhọcvà
trongthểchếdạyhọcVậtlý?
-Mốiquanhệgiữaxvàkháiniệmvôcùngbé.
-Kháiniệmvôcùngbétrongtoánhọcvàtrongvậtlý.Sựkhácnhaugiữachúng.
-Cácquytắccủahợpđồngdidacticđượchìnhthànhgiữagiáoviênvàhọcsinhkhi
tiếpcậnkháiniệm

xtrongtoánhọcvàtrongvậtlý?Sựgiốngvàkhácnhaugiữachúng?
Nhữngkhókhănvàthuậnlợicủahọcsinhkhitiếpthukháiniệmnàytronghaimônhọckhác
nhau.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trongphạmvilýthuyếtđãtrìnhbày,đểtìmcáchtrảlờicáccâuhỏitrên,chúngtôisẽ
thựchiệnnghiêncứusauđây:
 Sơlượcquátrìnhhìnhthànhvàpháttriểncủaxcùngcáckháiniệmliênquan.
 Phântíchxvànhữngkháiniệmcóliênquantrongmộtsốgiáotrìnhgiảngdạyở
đạihọcvàmộtsốtàiliệuvềlịchsửtoán.
 Nghiêncứutàiliệuhướngdẫngiáoviên,bộsáchgiáokhoagiảitích11,12(cơbản

hiện,cầncónhữngphươngphápchungđểgiảicácbàitoáncùngloại,thiếtlậpmốiquanhệ
giữanhữngbàitoánthuộcloạikhácnhau TừnhữngýtưởngbanđầucủaArchimedes,một
sốnhàkhoahọccủathếkỷthứ17nhưFermat,Roberval,Descartes,Cavalieri,  tiếptục
pháttriển,nghiêncứuvàđãđạtđượcmộtsốkếtquảliênquanđếntínhdiệntích,tínhthể
tích,độdàicung,xácđịnhtrọngtâm,tínhđượcmộtsốtíchphânđơngiảnnhất,tìmđược
nhữnghệthứckhácnhauđểbiếnđổitíchphânnàythànhtíchphânkhác, Tuynhiên,các
kếtquảnàychỉgiảiquyếtchonhữngbàitoánriênglẻ,chưathiếtlậpdướidạngtổngquátcác
kháiniệmcơbảncủaphéptínhtoánmớivàsựtươngquancủachúng.Vàvấnđềđãđược
giảiquyếtkhiphéptínhvitíchphânđượchainhàkhoahọcNewtonvàLeibniztìmra.
Sựrađờicủaphéptínhvitíchphâncũngđãgiảiquyếtđượcbốnbàitoánlớncủakhoa
họcthếkỷ17đặtra:
1.Tìmtiếptuyếncủamộtđườngcong.Bàitoánnàythuộcvềhìnhhọc,nhưngnócó
nhữngứngdụngquantrọngtrongkhoahọc.Nghềhànghảipháttriểnởthếkỷthứ17khiến
nhiềunhàkhoahọcquantâmđếnquanghọc,thiếtkếcácthấukính.Đểnghiêncứuđườngđi
củaánhsángquathấukính,ngườitaphảibiếtgócmàởđótiasángđậpvàothấukínhđểáp
dụngđịnhluậtkhúcxạ.Góccầnchúýlàgócgiữatiasángvàpháptuyếncủađườngcong,
pháptuyếnthìvuônggócvớitiếptuyến.Đểxácđịnhpháptuyến,ngườitaphảixácđịnhtiếp
tuyến.Mộtvấnđềcótínhkhoahọckhácnữaliênquanđếntiếptuyếncủamộtđườngconglà
nghiêncứuchuyểnđộng.Hướngchuyểnđộngcủavậtthểchuyểnđộngởbấtkỳđiểmnào
củaquỹđạochínhlàhướngcủatiếptuyếnquỹđạo.
2.Tìmđộdàicủamộtđườngcong.Chẳnghạnnhưkhoảngcáchđiđượccủamộthành
tinhtrongmộtthờigiannàođó;diệntíchcủahìnhgiớihạnbởicácđườngcong;thểtíchcủa
nhữngkhốigiớihạnbởinhữngmặt,…CácnhàtoánhọccổHyLạpđãdùngphươngpháp
vétcạnmộtcáchrấtkhéoléo,cácnhàtoánhọcthếkỷXVIIđãcảitiếndần,vàhọnhanh
chóngphátminhraphéptínhvitíchphân.
3.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủamộtđạilượng.Nghiêncứuđườngđicủaviên
đạnđểphụcvụchonhucầuquânsự.Khiđạnbắntừsúngthầncông,khoảngcáchđiđượcsẽ
phụthuộcvàogóccủasúngtạovớimặtđất.Vấnđềđặtralàtìmgócsaochoviênđạnđixa
nhất.Nghiêncứusựchuyểnđộngcủahànhtinhliênquanđếncácbàitoáncựctrị,vídụtìm
khoảngcáchngắnnhấtvàdàinhấtcủamộthànhtinhvàmặttrời.

f(x)vàcácđườngkhácbằngcáchchiadiệntíchđórathànhnhữnghìnhchữnhậtvôcùngbé
cóchiềurộng dxvàcóchiềudàif(x),sauđócộngtấtcảcácdiệntíchhìnhchữnhậtnhỏđó
lạivớinhautađượcdiệntíchcủahìnhcầntính.
Nhưvậydùkhôngđượcđịnhnghĩatườngminhnhưngtrongquátrìnhxâydựngphép
tínhvitíchphân,cáckháiniệmmômăng,sốgiavôcùngbécũngđãxuấthiện.Kíhiệu dx
chỉlượngvôcùngbécủaxcũngđượcLeibnizsửdụngtrongquátrìnhxâydựngphépcầu
phương.ĐốivớiLeibniz dxlàthừasốchỉmộtkíchthướccủahìnhchữ nhậtvôcùngbé,
trongphépbiếnđổihình dxchỉsựtươngđươnggiữacáchìnhtươngtựvớiviệcchỉbiếnsố
lấytíchphânngày nay,nó khôngphảilàthừasốviphân.Còn kíhiệu xchỉsố giacủa
những đại lượngbiếnthiêndo nhà toánhọcLeonhardEuler(1707-1783) sángtạoravào
năm1775.
Trongchươngtrìnhtrunghọcphổthôngphéptínhvitíchphânđượctrìnhbàycóthể
hiệnđượcvaitròtolớncủanótrongtoánhọcvàtrongvậtlýkhông?Cáckíhiệux, dxcóý
nghĩagiốngvàkhácnhưthếnàosovớilịchsửcủanó?Chúngtôisẽtiếnhànhphântíchmối
quanhệthểchếvớiđốitượngxđểlàmrõcácvấnđềnêutrên.
2. Phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức x
Cácmônhọckhôngpháttriểnmộtcáchđộclậpmàthườngcómốiquanhệtácđộng
qualạihỗtrợlẫnnhau.Trongđócóthểnóitoánhọcvàvậtlýlàhaimônhọccónhiềuảnh
hưởngđếnnhau.Nhiềukháiniệmtrongtoánhọcđượcđịnhnghĩa,nghiêncứuvàpháttriển
từnhữngquansáthayhiệntượngxảyratrongvậtlý.Ngượclại,trongvậtlýcũngsửdụng
nhiềukháiniệm,côngthức,kíhiệu…trongtoánhọcvìnóđãđượcđịnhnghĩasẵn,dễhiểu
vàngắngọn.x, dxcùngcáckháiniệmđạohàm,viphânxuấthiệntrongcảtoánhọclẫnvật
lý.Trongchươngtrìnhphổthông,mặcdùcáckíhiệuvàkháiniệmtrênđượcxâydựngvà
địnhnghĩachínhthứctrongtoánhọcnhưngchúnglạixuấthiệntrongvậtlýsớmhơn.Vậy
trongchươngnàychúngtôinghiêncứumốiquanhệthểchếcủaxtrongchươngtrìnhvậtlý
phổthôngxemtrongvậtlýxcùngcáckháiniệmliênquanđượcxâydựngvàđịnhnghĩa
nhưthếnào?Bộsáchmàchúngtôichọnđểnghiêncứutrongchươngnàylàbộsáchgiáo
khoavậtlýhiệnhànhbancơbảnvàbannângcao.Sauđótrongchươngsauchúngtôisẽtiến
hànhnghiêncứumốiquanhệthểchếcủaxtrongchươngtrìnhtoánhọcvàsosánhchúng
vớinhau.Việctìmhiểuvàsosánhxtrongtoánvàtrongvậtlýnóiriênghaycáckháiniệm

o
.Đếnkhinóivềgiatốcthìsáchgiáokhoachỉxétgiatốccủachuyểnđộngthẳngbiếnđổi
đềulàđạilượngkhôngthayđổivà
v
a
t



,lúcnàykhôngnóirõgiátrịv,tnhưthếnào.
Chúngtôigiảđịnhrằngtrongtrườnghợpnày,sáchgiáokhoavẫnngầmxemv,tlànhững
đạilượngcógiátrịrấtbémặcdùv,tcóthểnhậngiátrịtùyývềmặttoánhọc.
GiảđịnhcủachúngtôiđượckhẳngđịnhtrongbàiChuyển động tròn đều.Khiđềcập
đếntốcđộdàivàtốcđộgóc,giatốchướngtâms,v vàtđượcxemxétcũngmanggiátrị
rấtbé:
“Gọi s là độ dài của cung tròn mà vật đi được từ điểm M đến điểm M’ trong khoảng
thời gian rất ngắn

t. Khoảng thời gian này ngắn đến mức có thể coi cung tròn như
một đoạn thẳng”.
Nhưvậytrongsáchvậtlý10bancơbản,kháiniệmsố giathôngquacáckýhiệuhình
thứcs,t,vvớigiátrịrấtbé,chophépđịnhnghĩatạmthờicáckháiniệmvận tốc tức
thời,gia tốcmàkhôngcầnđếnkháiniệmgiới hạnnhưngvẫnđảmbảo,trongmộtchừng
mựcnhấtđịnh,độphùhợpvớithựctế.
Bâygiờtaxemxétquanđiểmxcógiátrịrấtbénàycóđượcthốngnhấttrongtoàn
bộsáchcủa[C]haykhông.TrongbàiSuất điện động cảm ứng sáchgiáokhoaVậtlý11
trongphầntrìnhbàyvềđịnhluậtFa-ra-đây
“Giả sử trong mạch kín (C) đặt trong một từ trường, từ thông qua mạch biến thiên
một lượng 


 

(24.3)”
A, 

lúcnàytuykhôngđượcđịnhnghĩacụthể nhưngnódùngđểchỉlượngcông
vàtừthôngsinhratrongkhoảngthờigian

tnêntacũngngầmhiểunólàhiệucủahaiđại
lượngA =A
1
- A
2
, 

=


1
-

2
. RõràngtrongphầnnàycácđạilượngchỉsốgiaA,,
tkhônghàmýlàrấtbénữamàcógiátrịtùyý.Nhưvậyquanđiểmxcógiátrịrấtbé
khôngđượcthốngnhấttrongtoànbộsách[C].Lúcđầuxđượcđưavàonhưmộtgiảipháp
đểgiảiquyếtcácvấnđềtứcthờikhimàgiớihạnchưađượcgiớithiệudođónócógiátrịrất
bé.Sauđókhikhônggặpcácvấnđềtứcthờinữavàcôngcụgiớihạnđãđượcgiớithiệuthì
xlạicógiátrịtùyý.
TrongbàiPhóng xạ sáchgiáokhoavậtlýlớp12 cụthểtrongphầnđịnhluậtphóngxạ
trang190

” 
ThôngthườngsáchgiáokhoadùngtđểchỉkhoảngthờigianvàNđểchỉsốhạt
nhânphânrãtrongkhoảngthờigiant nhưngtrongphầntrìnhbàytrênsáchgiáokhoadùng
kíhiệudt đểchỉkhoảngthờigianvà-dNđểchỉsốhạtnhânphânrãtrongkhoảngthờigian
đó.BàiPhóng xạ xuấthiệntrongchươngtrìnhlớp12lúcnàykíhiệu dx đãđượcgiớithiệu
trongtoánhọcởbàiVi phânlớp11.Trongtoánhọcthìx= dxcòntrongvậtlýtaxemthử
xvà dxcómốiquanhệnhưthếnào?Khoảngthờigiantrongphầntrìnhbàytrênkhôngyêu
cầurấtbémàcóthểnhậngiátrịtùyý.Tạisaosáchgiáokhoakhôngsửdụngcáckíhiệut,
Nphảichăngởđâyđãcósựđồngnhấtdtvớit,dNvớiN.Mặtkhácviệcsửdụngkíhiệu
dt, dN thaychot,N vàdùngtíchphânđểtínhsốhạtnhân cũngđãchuyểnphạmvinghiên
cứutừhữuhạnrờirạcsangliêntục.
Tacũngbắtgặpkíhiệu dxtrongchươngIII:Dòng điện xoay chiềusáchgiáokhoa
vậtlýlớp12cụthểkíhiệu dxxuấthiệntrongbàiĐạicươngvềdòngđiệnxoaychiềutrang
63 “Lúc t > 0, từ thông qua cuộn dây cho bởi

= NBScos

= NBScos

t với N là số vòng
dây và S là diện tích mỗi vòng Vì từ thông

qua cuộn dây biến thiên theo t nên trong cuộn
dây xuất hiện suất điện động cảm ứng được tính theo định luật Fa-ra-đây
   
d
e NBS sin t
dt
 


  

(khikhoảngthờigiant
rấtbé)tathấyởđâysáchgiáokhoađãđồngnhấtvớid,t vớidt khitrấtbé.
Vềgiátrịdươngâmcủacácđạilượngcódạngx thìcónhữngđạilượngluônmang
giátrịdươngnhưkhoảngthờigiant, quãngđườngđiđượcs,cònv>0nếuvậtchuyển
độngnhanhdầnđềuvàv<0nếuvậtchuyểnđộngchậmdầnđềuhaytrongđịnhluậtphóng
xạnêutrênN = dN < 0.Nhưvậyxcógiátrịdươngâmtùyý.
2.2. x trong bộ sách giáo khoa vật lý THPT nâng cao [N]
Trongchươngtrìnhvậtlýlớp10bannângcao,xđượcđưavàongaykhihọcbàiVận
tốc trong chuyển động thẳng, chuyển động thẳng đều vàđược“địnhnghĩa”làx = x
2
–x
1
:
giátrịđạisốcủavectơđộdời,t = t
2
– t
1
làthờigianthựchiệnđộdời.Mặcdùx = x
2
–x
1
:
giátrịđạisốcủavectơđộdờinêncóthểmanggiátrịdươnghoặcâmnhưngvídụminhhọa
x = x
2
– x
1
= 6cm manggiátrịdươngvàbàitập4trang17saubàihọcyêucầutínhvậntốc

2 1
2 1
tb
x x
x
v
t t t


 
 
thìx,tcũngmang
giátrịtùyý.
Trong thực tế, phụthuộc vào nhiều điềukiện khác nhau, chấtđiểmkhôngbao giờ
chuyển độngthẳngđều vàtalạimuốnbiếtđộ nhanh chậm củachuyểnđộngtạimộtthời
điểmcụthể.Khiđótaxétvậntốctrungbìnhcủachấtđiểmchuyểnđộngthẳngtrongkhoảng
thờigiantừtđếnt +

t vớitrấtnhỏ,“nhỏđếnmứcgầnbằng0”.Lúcnàyvậntốctrung
bìnhđóđặctrưngchođộnhanhchậmvàchiềucủachuyểnđộngvàđượcgọitênlàvậntốc
tứcthờitạithờiđiểmt:
x
v
t



(khi

trấtnhỏ,“nhỏđếnmứcgầnbằng0”).“Vậntốctứcthời

đạohàmchưađượcgiớithiệu.Đếnchươngtrìnhlớp12,talạibắtgặpkíhiệux trongbài
Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định. Lúc này, x không được định
nghĩalàx
2
– x
1
nhưtrênmàđượcgiớithiệunhưmộtđạilượngtùyý,khôngphụthuộcvào
biếnsố.
“Ở thời điểm t, tọa độ góc của vật là

. Ở thời điểm t +

t tọa độ góc của vật là

+

. Như vậy, trong khoảng thời gian

t, góc quay của vật là


Tốc độ góc trung bình của vật rắn trong khoảng thời gian

t :
tb
t






(t) kíhiệulà

’(t), kíhiệuđạohàm
d
dt

chỉđạohàmcủahàmsố

theobiếntkhôngđượcđưavào.Dođó
vớicáchtrìnhbày
0
lim
t
d
t dt
 

 

 

hay

=

’(t)”tangầmhiểud

=


”
TrongbàiPhóng xạ trang271:
Số hạt nhân tại thời điểm t: N(t) = N
o
e
-

t

Độ phóng xạ đặc trưng cho tốc độ phóng xạ, được xác định bằng số hạt nhân phân rã
trong một giây.
Độ phóng xạ của một lượng chất phóng xạ: H = -
N
t


=

N
o
e
-

t
”
ttrongphầntrìnhbàytrênkhônghàmýcógiátrịvôcùngbé.Tuynhiên
N
t



s
t


,
v
t


khimàgiátrịcủatvôcùng
bé.Nhưvậyởđâytathấyxuấthiệnkháiniệm“vôcùngbé”,“vôcùngbé”trongvậtlýđược
hiểutheonghĩathôngthườngtứclàgiátrịđórấtbé,békhôngđángkể,béđếnmứcgầnbằng
0,cáchhiểunàykhácvới“vôcùngbé”đượcđịnhnghĩachínhxáctrongtoánhọcmàchúng
tôiđãtừngđềcập.
Mặcdùcảhaibộsáchđềuxemxétcáctỉsố
,
s v
t t
 
 
khimàgiátrịcủatvôcùngbé
nhưngtanhậnthấycósựkhácnhaugiữahaibộsách:trong[C]cáckíhiệus,v, t được
đưavàođểphụcvụchocácvấnđềtứcthờinhưvậntốctứcthời,giatốctứcthời dođó
ngaytừđầucácđạilượngđãđượchiểulàcógiátrịvôcùngbé.Tuynhiên,vềsauthìcácđại
lượngnàylạimanggiátrịtùyý.Trongkhiđótrong[N]cácđạilượngs,v, ttừđầuđãcó
giátrịtùyývànóchỉcógiátrịvôcùngbékhiđượcchỉrõmàthôi.
Trongvậtlýthườngdùngcáckí
, ,
dx dv ds
dt dt dt


o
] với t

o
= 3, t = 2; t = 2,5; t = 2,9;
t = 2,99. Nêu những nhận xét về kết quả thu được khi t càng gần t

o
= 3”(SGK11CB).Vấn
đềđặtra vậtchỉchuyểnđộng thẳng đều trongnhữngđiềukiệnlýtưởngcủa thí nghiệm,
trongthựctếvậtthườngkhôngchuyểnđộngthẳngđều,màtalạiquantâmđếnvậntốccủa
vậttạimộtthờiđiểmt

o
nàođó,vậylàmsaođểtínhđượcvậntốccủavậttạithờiđiểmt

o
cần
khảosát.Quahoạtđộng1đượcnêurađầubài,họcsinhsẽnhậnthấyvậntốctrungbìnhcủa
đoàntàu
( ) ( )
o
o
s t s t
t t


cànggầnvớivậntốccủađoàntàuởthờiđiểmt


“Cho hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x

o


khoảng (a;b). 
Nếutồntạigiới hạn (hữu hạn)
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x



thìgiớihạnđó được gọi là đạo hàm của
hàm số y =f(x) tại điểm x

o
, kí hiệu là f’(x

o
) (hoặcy’(x
o
)),tức là:
( ) ( )
'( ) lim

. Nhưvậy :
0
'( ) lim
o
x
y
f x
x
 



.(2)
Nêuquytắctínhđạohàmbằngđịnhnghĩatheocôngthức(2)
ĐiểmkhácbiệtgiữahaibộsáchCBvàNCtrongphầnnàylàbộsáchnângcaocó
thêmphầnchúývềx:
“Sốxkhôngnhấtthiếtchỉmangdấudương
xvàylànhữngkíhiệukhôngnênnhầmlẫnrằng:xlàtíchcủavớix,ylàtích
củavớiy”
Trongđịnhnghĩahàmsốy= f (x)xácđịnhtrênkhoảng(a;b),x

o
(a;b)nhưvậyxlà
mộtđạilượngbấtkìnằmtrongkhoảng(a;b).Từđókhiđặtx = x - x

o
thìxphảilàmộtđại
lượngcó giátrị tùy ýmiễnsaochox

o

 
  

Vậyf’(2)=4.

Đ
ặt
f(x)
=
2
x

y=f(x

o
+x)-f(x

o
)
=(2+x)
2

-2
2

=x(4+x)
0 0
lim lim(4 ) 4
x x
y

o
f x f x
x x



,đâylàbàitoángiớihạnquenthuộcđãđượchọcsinhtiếpxúcvàtínhtoán
thườngxuyêntrongbàiGiới hạn hàm số đãđượchọctrướcđó.Cònviệctínhđạohàmbằng
cáchsửdụngcôngthức
0
'( ) lim
o
x
y
f x
x
 



làmộtcôngviệckhôngđơngiảnđốivớihọcsinh.Vì
cáckíhiệux,ylàcáckíhiệutươngđốilạđốivớihọcsinh,sửdụngcôngthứcnàyđểtính
đạohàmhọcsinhkhóhìnhdungrasựdichuyểncủaxđến x
o
khix0.Hơnnữa,tínhđạo
hàmbằngđịnhnghĩachỉđượcápdụngtrongbàiđầutiêncủachươngĐạohàm,sauđócác
emchủyếuvậndụngcáccôngthứcvàquitắcđểtínhđạohàm.Dođótrongchươngtrình
phổthôngkhidạycáchtínhđạohàmbằngđịnhnghĩanhiềugiáoviênhướngdẫnhọcsinh
tínhtheocôngthức
( ) ( )

o
và được “định nghĩa” bằng cách qui ước:
x = x – x
0
; y = f(x
0
+ x) – f(x
0
)
Cáchđịnhnghĩaxnàycũngthốngnhấtvớixđãđượcgiớithiệutrướcđótrongvật
lý.
Nhưđãphântíchởtrên,việcđưavàocáckíhiệux,yítnhiềugâykhókhăncho
họcsinhvàhoàntoàncóthểtínhđạohàmbằngđịnhnghĩamàkhôngphảisửdụngcáckí
hiệunày.Vậyngoài việc thu gọn cách viết, x được đưa vào còn nhằm vào mục đích nào
khác nữa không?Saukhihọcxongđạohàm,họcsinhđượchọckháiniệmviphânlàmột
kháiniệmquantrọngtrongtoánhọc.Địnhnghĩaviphâncósửdụngkíhiệusốgiax,dođó
việcgiớithiệuxtrướcđólàcầnthiết.Hơnnữa,vídụmởđầuđượcgiớithiệutrướckhihọc
khái niệmđạohàmchothấytaquantâmđếnvậntốccủavậttạimộtthờiđiểmx

o
cụthể.Bài
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàmcũngđặtravàyêucầutínhtoántạimộtđiểmx

o
cụthể.
Dođó,khi đặt x = x – x

o
suy ra x = x


x) – f(x) mà không cần đặt thêm đại lượng mớihọcsinhvẫncóthểtiếp
nhậnđượcmộtcáchdễdàng. Hơn nữa, từ những bài toán thực tế và vật lý dẫn đến khái niệm
đạo hàm của hàm số tại một điểm x
o
ta thường quan tâm đến những giá trị x mà
o
x x

rất nhỏ
nên việc sử dụng kí hiệu x với
x

rất bé cho phép ta biểu diễn x

o
+

x là đại lượng rất gần
với x

o
, nằm trong lân cận của điểm x

o
hay mở rộng ra x +

x là đại lượng rất gần với x. Với
cáchđịnhnghĩax = x – x

o

– x
3
. Và ta cũng nhận thấy, từ lúc này
trở đi, sách giáo khoa luôn theo cách viết này để xây dựng công thức tính đạo hàm của một
số hàm số thường gặp. Về mặt bản chất, y trong cách viết sau chính là số gia của hàm số tại
điểm x ứng với số gia x; x đã thay thế vai trò của x
0
và do đó x không còn là x – x
0
nữa. Ở
đây đã có một bước chuyển trong yêu cầu nhận thức, từ x là số gia củabiến số tại một điểm
x

o
cụ thể sang x là số gia củabiếnsố tại một điểm x tùy ý. Khi đó x được hiểu là x’ – x và
tương ứng y sẽ là f(x’) –f(x), tức là khibiếnsố x biến thiên một lượng x’ – x thì ta sẽ xem
xét hàm số y = f(x) sẽ biến thiên một lượng f(x’) –f(x) như thế nào so với lượng biến thiên
của x.Nhưvậyviệcsửdụngkíhiệuxgiúpchoviệcchuyểntừtínhđạohàmcủahàmsốtại
điểmx
o
đãbiếtgiátrịsangxâydựngcôngthứctínhđạohàmcủahàmsốtạimộtđiểmxtùy
ýdễhiểuvàgọngàng.Thậtvậy,saubàikháiniệmđạohàm,họcsinhhọccácquitắctính
đạohàm,côngthứctínhđạohàmcủamộtsốhàmsố.Chúngtôinhậnthấytấtcảcáccông
thứcvàquytắctínhđạohàmđượcxâydựngvàchứngminhtrongsáchgiáokhoađềusử
dụngcôngthức
0
'( ) lim
x
y
f x

o
= 4vàx=
0,01.Tínhf’ (x

o
)

x”.Sauhoạtđộng1sáchgiáokhoanêuđịnhnghĩaviphâncủahàmsố“
Chohàmsốy = f (x)xácđịnhtrênkhoảng(a;b)vàcóđạohàmtạix(a;b).Giảsửxlàsố
giacủax.Tagọitíchf’ (x)

x làviphâncủahàmsốy = f (x)tạixứngvớisốgiax,kíhiệu
làdf (x)hoặcdy
dy=df (x) = f’ (x) x
Ápdụngđịnhnghĩatrênvàohàmsốy=x,tacó
dx=(x’)x=x
Dođódy=df (x) = f’ (x) dx”
Sauđólàứngdụngviphânvàophéptínhgầnđúng
0
'( ) lim
o
x
y
f x
x
 





Nêubàitoándẫndắt:Với
x

đủnhỏthì
'( )
o
y
f x
x



hay
'( )
o
y f x x
  

Địnhnghĩaviphâncủahàmsốtạimộtđiểm:df(x

o
) = f’(x

o
)x
Ứngdụngviphânvàophéptínhgầnđúng
Địnhnghĩaviphâncủahàmsố
Quacáchtrìnhbàycủahaibộsáchchúngtôirútramộtsốnhậnxétnhưsau:
 Sáchgiáokhoa11chuẩnđưavàokháiniệmviphântươngđốinhẹnhàng.Học
sinhchưathấyđượcmốiliênhệgiữaphéptínhgầnđúngvàviphân.

o o o
f x x f x f x x
    
(*)nhưmộtcôngcụđểlậpcácbảngtínhgầnđúng.Ngàynay,với
côngcụmáytínhbỏtúiđãphổbiếnđốivớihọcsinh,việcsửdụngmáytínhđểtínhgần
đúngsẽhiệuquảhơnrấtnhiều.Vídụ:Tìmgiátrịgầnđúngcủa
0,996
.Vớicôngcụmáy
tínhbỏtúi,họcsinhdễdàngcóđượckếtquả
0,996 0,998

.Nếusửdụngcôngthứctínhgần
đúng(*)họcsinhsẽlàmnhưsau:

1
( ) '( )
2
f x x f x
x
  
đặt x

o
=1vàx=-0,004
1 0,004
0,996 1 .( 0,004) 1 0,998
2
2 1
     
Cácbướctínhtoándàihơn,trongquátrình

niệmnàykhihọcchươngNGUYÊNHÀM–TÍCHPHÂNVÀỨNGDỤNG.Lúcnày,vi
phânchỉxuấthiệnnhưmộtkíhiệuvàhọcsinhchủyếulàmviệcvớicácphươngpháptính
tíchphân.Dođócóthểnói,viphânđượcđưavào“chủyếuđểcókíhiệusửdụngsaunày”
(sáchhướngdẫngiáoviên), chứ họcsinh chưathấyđượcvaitrò,ýnghĩa thực sựcủavi
phân.Bốnbàitoándẫnđếnsựrađờicủaphéptínhvitíchphâncũngđượckhaithácnhưtìm
vậntốctứcthời,giatốctứcthờicủachuyểnđộngtrongvậtlýlớp10,tiếptuyếncủađường
cong,độdàiđườngcong,diệntíchhìnhphẳng,…haytìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủamột
hàmsốđượctrìnhbàytrongphầnỨngdụngđạohàmtrongchươngtrìnhtoánlớp12.Tuy
nhiênnhữngphầnnàyhọcsinhthiênvềvậndụngcáccôngthức,quitắcđãđượcnêuthành
phươngphápchứkhôngquantâmđếnýnghĩacủanó,dođóxcũngkhôngxuấthiện.
1.1.2. Phần bài tập
CáctổchứctoánhọcliênquanđếnxtrongSGKC11,SGKNC11
 Kiểu nhiệm vụ T
1
:“Tìmsốgiacủahàmsốkhibiếtsốgiacủađốisố”
Kĩ thuật 

1
:
- Chox

o
vàxlàsốgiacủađốisốtạix

o
,tínhf(x

o
+x),f(x


o
=1;x=1
b) x
o
=1;x=-0,1
Bài tập 1[SGKNC11 trang 192]
Tìmsốgiacủahàmsốy = x
2
- 1tạiđiểmx
o
= 1ứngvớisốgiax,biết
a) x=1
b) x=-0,1
Nhận xét:
Với hàm số f(x) đã biết, x
o
và

x đã được cho trước việc tìm số gia của hàm số là bài
toán khá đơn giản. Sách giáo khoa 11 cơ bản còn có bài tập yêu cầu tính y,
y
x


theo x và

x
biết phương trình của hàm số f(x). Đây là các bài toán dẫn dắt để học sinh có thể tính đạo
hàm của hàm số tại điểm x
o

t,trongcáctrườnghợpt=0,1s;t=0,05s;;t=0,001s
 Kiểu nhiệm vụ T

2
: “Tínhđạohàmcủahàmsốy = f(x)tạiđiểmx

o
bằngđịnh
nghĩa” 
Kĩ thuật 
2
:
- Chox

o
,giảsửxlàsốgiacủađốisốtạix

o
,tínhy= f(x

o
+x)-f(x

o
)