BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nhung

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC HỆ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẶC NHẤT HAI ẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nhung

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn toán

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................1
I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.........................................................1
II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu .........................................3
III. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ...............................................6
Chương 1:
MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN .......................................................................................................................7
1.1 Vài kiểu nhiệm vụ :............................................................................................7
1.1.1. Kiểu nhiệm vụ “lập kế hoạch sản xuất” .....................................................8
1.1.2.Kiểu nhiệm vụ “xác định khẩu phần thức ăn”.............................................8
1.1.3. Kiểu nhiệm vụ “phân bổ vốn đầu tư” .........................................................9
1.1.4. Kiểu nhiệm vụ “lập tiến độ sản xuất ” .....................................................10
1.2. Bài toán tối ưu hóa tổng quát ..........................................................................11
1.3. Phương pháp giải bài toán QHTT...................................................................14
1.3.1. Phương pháp hình học ..............................................................................14
1.3.2.Phương pháp đơn hình: .............................................................................17
1.3.2.1. Đường lối chung..............................................................................17
1.3.2.2. Các kiểu nhiệm vụ ...........................................................................18
Kết luận chương 1 ........................................................................................24
Chương 2:
NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN................................................................................................25


2.1. Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình
toán lớp 10 hiện hành.............................................................................................26
2.2. Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK toán lớp 10


:

sách giáo viên

CT

:

chương trình

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh

TCTH

:

tổ chức toán học

KTHH


:

kiểu nhiệm vụ

QHTT

:

Quy hoạch tuyến tính


1

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
• Ghi nhận đầu tiên và nhóm câu hỏi thứ nhất
Trong những năm gần đây, một quan điểm được thừa nhận rộng rãi trong
việc thực hiện mục tiêu của giáo dục là phải chuẩn bị cho học sinh (HS) khả năng
áp dụng kiến thức một cách linh hoạt vào các bối cảnh và các vấn đề mới, hình
thành thói quen tự học và học tập suốt đời. Để góp phần hoàn thành mục tiêu giáo
dục theo quan điểm ấy, chương trình (CT) và sách giáo khoa (SGK) tiến hành nhiều
lần cải cách, sửa đổi cho phù hợp với thời đại. Một trong những vấn đề được thay
đổi đó là: “Các nội dung được sắp xếp lại để tăng cường ứng dụng hoặc hỗ trợ giữa
các môn. Đối với các môn văn hóa, nguyên tắc đảm bảo tính thực tiễn được thực
hiện thông qua việc tăng cường tích hợp, liên hệ nội dung môn học với thực tiễn
cuộc sống, địa phương, đất nước hoặc đưa ra những nội dung ứng dụng thông tin
mới về kinh tế- xã hội vào môn học” [14, tr.6]
Nói riêng cho môn toán, một trong những phương hướng đổi mới CT và
SGK toán là “Tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết thực, những điều gần gũi

 x − y + 1 =0
”
2) Tìm tất cả các cặp số (x,y) thỏa mãn hệ: 
2x − 3y + 5 ≤ 0

Bảng dưới đây trình bày thống kê mà chúng tôi có được khi phân tích
phương pháp giải mà HS đã sử dụng. Trong bảng, chúng tôi xếp vào cột KTHH (kỹ
thuật hình học) những lời giải có sử dụng đồ thị. Cột KTĐS (kỹ thuật đại số) gồm
những lời giải chỉ chịu sự can thiệp của các phép biến đổi đại số.
KTĐS

KTHH

Không làm

Câu 1

100%

0%

0%

Câu 2

14,8%

67%

8,2%

giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?
II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm câu trả lời cho hai nhóm câu hỏi
nêu trên. Để làm điều đó, chúng tôi vận dụng lý thuyết didactic toán, cụ thể là
thuyết nhân học với các khái niệm quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế, tổ chức toán
học, tổ chức didactic và khái niệm hợp đồng didactic. Chúng tôi sẽ giải thích ngắn
gọn dưới đây lý do của sự lựa chọn này.
Nhóm câu hỏi thứ hai liên quan đến việc tìm hiểu ảnh hưởng của sự lựa chọn
thực hiện bởi CT, SGK đại số 10 lên hoạt động dạy của GV và ứng xử của HS khi
làm việc với các bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Điều này
gắn với thuật ngữ “quan hệ cá nhân của X đối với O” mà Chevallard đã đề nghị :
“Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với đối tượng O là tập hợp những tác động
qua lại mà X có thể có đối với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về
nó,…Quan hệ cá nhân với đối với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết về O”
[20, tr.315]. Đối tượng O mà chúng tôi quan tâm là hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn, còn cá nhân X là người ở vị trí GV hay HS.


4

Nhưng một cá nhân luôn phải ở trong ít nhất một thể chế. Điều đó cho thấy,
việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó có
sự tồn tại của X. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký
hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp tất cả các tác động qua lại mà I có đối với O. Điều này
chỉ ra rằng muốn nghiên cứu R(X,O) ta phải đặt nó trong R(I,O). Thể chế I mà
chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế dạy học theo CT đại số 10 hiện hành.
Trong khuôn khổ của Thuyết nhân học do Chevallard đặt nền móng, việc
phân tích các tổ chức toán học (TCTH) liên quan đến đối tượng tri thức O sẽ cho
phép làm rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O. Ngoài ra nghiên
cứu các TCTH cũng là một công cụ để phân tích thực tế dạy học mà chúng tôi sẽ

Tuy nhiên, về bản chất thì chúng giống nhau. Do khuôn khổ có hạn của luận văn,
chúng tôi chỉ nhắc lại ở đây 4 bước cơ bản của quá trình mô hình hóa trình bày theo
sơ đồ dưới đây do Kaiser và Blum đề nghị. Khi phân tích sự tồn tại của đối tượng
“mô hình hóa” trong thể chế được xem xét, chúng tôi sẽ tham khảo mô hình này.
Mô hình thực tế

(b)

(a)
Tình huống thực tế

Mô hình toán học
(c)

(d)

Kết quả toán học

Trong khuôn khổ lý thuyết tham chiếu đã chọn, câu hỏi ban đầu được trình
bày cụ thể bằng 4 câu hỏi cụ thể sau:
CH1: Hệ bất phương trình hai ẩn có thể có những ứng dụng nào ? kỹ thuật giải nào
được nhắc đến thông qua những ứng dụng này?
CH2: Trong CT và SGK toán lớp 10, đối tượng O (hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn) tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn để giải hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó? Vấn đề
mô hình hóa có được thể chế đặt ra ?
CH3: Trong thực tế dạy học, GV đã đưa vào những KNV nào ? Họ có chú ý đến
những kiểu nhiệm vụ ngoài toán học hay không ? Đâu là sự khác biệt cũng như
tương đồng giữa tri thức cần dạy và tri thức được dạy? GV hiểu như thế nào về sự
lựa chọn KTHH để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

-

Vấn đề mô hình hóa được họ tính đến thế nào khi xem xét hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn về phương diện công cụ? Kết quả phân tích thực hành
dạy học của GV được trình bày ở chương 3
Sau những gì quan sát được từ thực tế dạy học của GV, thông qua nghiên

cứu thực nghiệm, chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu thêm quan hệ của GV và hơn nữa là
của HS đối với đối tượng O nhằm kiểm chứng những giả thuyết rút ra từ chương 2.
Nghiên cứu thực nghiệm được trình bày ở chương 4. Kết thúc chương này cũng đồng
nghĩa với việc chúng tôi đã tìm ra yếu tố trả lời cho câu hỏi còn lại là CH4.


7

Chương 1:
MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC
VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Mở đầu
Như đã nói, để tìm hiểu ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn,
chúng tôi giới hạn phạm vi toán học để nghiên cứu là Quy hoạch tuyến tính
(QHTT). Sự lựa chọn này có hai lý do. Thứ nhất, đây là một ngành toán học ứng
dụng, nên trong đó ta có thể gặp những vấn đề ngoài toán học được giải quyết bằng
công cụ toán học. Điều này liên quan trực tiếp đến đề tài nghiên cứu của luận văn.
Thứ hai, trong QHTT ta gặp nhiều bài toán có sự can thiệp của phương trình, bất
phương trình bậc nhất hai ẩn. Những giáo trình đại học được chúng tôi sử dụng cho
việc nghiên cứu này bao gồm:
- Tối ưu hóa tuyến tính, Nguyễn Thành Cả, 2007, Nxb Thống kê.
- Lý thuyết – Bài tập – Bài giải quy hoạch tuyến tính tối ưu hóa, Lê Khánh
Luận, 2009, Nxb Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh.


B

C

Bột gỗ (m3)

1,5

1,8

1,6

Chất hồ keo (kg)

2

3

2,4

Ngoài ra, giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được hết với lợi
nhuận khi sản xuất 1 tấn giấy A, B, C tương ứng là 2,7: 3,6: 3 (triệu đồng). Yêu
cầu lập kế hoạch sản xuất tối ưu.
Vấn đề này dẫn đến bài toán : tìm x j , j = 1, 2, 3 sao cho :
f = 2,7x 1 + 3,6x 2 + 3x 3 → max
với hệ ràng buộc :
1, 5x + 1, 8x + 1, 6x ≤ 5.580
1
2

0,1

0,1

0,7

0,6

Gluxit (g)

Ngoài ra, biết giá của mỗi gam thức ăn A và B tương ứng là 40đ và 60đ. Hãy xác
định khối lượng thức ăn tối ưu cần mua.
Để giải quyết kiểu nhiệm vụ trên người ta có thể đưa về giải bài toán sau:
Tìm x 1 , x 2 sao cho : f = 40x 1 + 60x 2 → min
Với hệ ràng buộc :
0,1x1 + 0, 2x 2 ≥ 70

0,1x1 + 0,1x 2 ≥ 30

0, 7x1 + 0, 6x 2 ≥ 420
 x ≥ 0, x ≥ 0
2
 1

1.1.3. Kiểu nhiệm vụ “phân bổ vốn đầu tư”
Ví dụ: Một nhà đầu tư có 2 tỉ đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực: chứng
khoán, công trái, gửi tiết kiệm và bất động sản. Biết lãi suất hàng năm của lĩnh vực
đầu tư như sau:
Lĩnh vực đầu tư


Với hệ ràng buộc :
1.1.4. Kiểu nhiệm vụ “lập tiến độ sản xuất ”
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm có khối lượng hợp đồng đặt
hàng trong 3 tháng liên tiếp và chi phí sản xuất của mỗi đơn vị sản phẩm trong từng
tháng cho trong bảng sau:
Dữ liệu

Tháng
1

2

3

“Khối lượng hợp đồng đặt hàng (đv)

95

90

120

Chi phí sản xuất trong thời gian thường (1.000 đ/đv)

30

32

34


x + y + z − z =
120
3
2
3
 3
z3 ≥ 5

1, 3
0 ≤ x j ≤ 100, j =

1, 3
0 ≤ y j ≤ 15, j =

1, 3
z j ≥ 0, j =

1.2. Bài toán tối ưu hóa tổng quát
Những kiểu nhiệm vụ nêu trên người ta đều có thể chuyển thành bài toán tìm
cực trị của một hàm số (gọi là hàm mục tiêu) với có hay không có hệ ràng buộc đối
với các biến số. Trong trường hợp có hệ ràng buộc thì bài toán tối ưu hóa được gọi
là bài toán quy hoạch toán học. Tùy theo dạng toán học của hàm mục tiêu và các
ràng buộc là tuyến tính hay phi tuyến tính mà ta có QHTT hay quy hoạch phi tuyến
tính (gọi tắt là quy hoạch phi tuyến). Trong nhiều trường hợp, bài toán quy hoạch
phi tuyến tính có thể chuyển về tuyến tính.
 Bài toán QHTT dạng tổng quát :
Một bài toán QHTT là một mô hình toán tìm cực tiểu (min) hoặc cực đại
(max) của hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là bất đẳng thức và đẳng thức
tuyến tính. Dạng tổng quát của một bài toán QHTT quy ước viết như sau:
Tìm x j , j = 1, 2, …, n sao cho:

x j ≥
1, 2,..., n
 0, j =
 tuy y 


n

(1) được gọi là hàm mục tiêu

( 2)

(3)


12

(2) được gọi là các ràng buộc chung.
(3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến)
A = (a ij ) m×n : Ma trận hệ số ràng buộc.
B = (b 1 , b 2 ,…, b m ): Ma trận hệ số tự do.
X = (x 1 , x 2 ,…, x n )T : Ma trận ẩn.
C = (c 1 , c 2 , …, c n )T : Ma trận chi phí.
Các ẩn ứng với các véc tơ đơn vị trong ma trận ràng buộc A được gọi là các ẩn
cơ sở. Ẩn cơ sở ứng với các vectơ cột thứ i được gọi là ẩn cơ sở thứ i. Các ẩn còn
lại gọi là các ẩn không cơ sở (ẩn tự do).
Véc tơ x = (x 1 , x 2 , …, x n )T được gọi là phương án (PA) hay lời giải chấp
nhận được của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán.
Một PA mà các ẩn không cơ sở đều bằng 0 được gọi là PA cơ bản.
Một PA cơ bản có đủ m thành phần dương gọi là PA cơ bản không suy biến.


ij

j

− x n +i =
bi

 Nếu điều kiện ràng buộc có dạng

n

∑a x
j=1

ij

j

≤ bi thì ta cộng thêm vào vế trái một

ẩn phụ không âm x n+i ≥ 0 với hệ số 1 để biến thành phương trình
n

∑a x
j=1

ij

j

14

1.3. Phương pháp giải bài toán QHTT
Để giải một bài toán QHTT, chúng ta có khá nhiều phương pháp giải, chẳng
hạn như: phương pháp hình học, phương pháp đơn hình, phương pháp điểm trong,
phương pháp ellipsoid, …Tuy nhiên, do mục đích nghiên cứu ở đây là tìm cơ sở
tham chiếu cho việc phân tích CT, SGK sau này, chúng tôi chỉ chọn phân tích
phương pháp hình học và phương pháp đơn hình vì tính dể hiểu, phổ biến và gần
gũi với phổ thông của chúng.
1.3.1. Phương pháp hình học
Phương pháp hình học không có ý nghĩa nhiều đối với các bài toán có nhiều
ràng buộc và ẩn số. Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp hình học cũng là một
cách để chứng minh các tính chất của bài toán QHTT. Lưu ý rằng phương pháp
hình học chỉ dùng cho bài toán QHTT có số biến là 2 hoặc 3, hay những bài toán
QHTT có thể đưa về dạng 2, 3 biến. Do sự tương đồng trong lời giải bài toán 2
biến và 3 biến, chúng tôi sẽ chỉ trình bày cách giải cho trường hợp thứ nhất.
Theo ngôn ngữ của Thuyết nhân học, bài toán được phát biểu thành kiểu
nhiệm vụ sau : Tìm x = (x 1 , x 2 )T sao cho: f = c 1 x 1 + c 2 x 2 →min (max) với hệ
ràng buộc a i1 x 1 + a i2 x 2 ≥ b i , i = 1, 2, …, m. (1)
Lưu ý rằng nếu (1) có dạng a ≤ b thì ta biến đổi thành – a ≥ - b, còn nếu (1)
có dạng a = b thì ta biến đổi thành a ≥ b và –a ≥ -b. Các ràng buộc của biến có thể
xem là các trường hợp riêng của các ràng buộc chung. Do đó, hệ ràng buộc của
bài toán QHTT 2 biến luôn có thể giả thiết có dạng (1).
 Kỹ thuật giải:gồm hai bước cơ bản
Bước 1: Xác định miền phương án
+ Vẽ các đường thẳng có phương trình: a i1 x 1 + a i2 x 2 = b i (i = 1, 2, …, m)
trên hệ trục tọa độ vuông góc x 1 Ox 2 . Mỗi đường thẳng trong số các đường
thẳng này chia mặt phẳng tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng. Một nửa mặt
phẳng (kể cả bờ) bao gồm các điểm (x 1 , x 2 ) thỏa mãn bất phương trình
a i1 x 1 + a i2 x 2 ≥ b i và nửa mặt phẳng kia (kể cả bờ) bao gồm các điểm

- Tịnh tiến (D) theo cùng hướng với véc tơ OC .
- Khi (D) ở mức cao nhất sao cho (D) vẫn còn cắt miền PA X. Khi đó
(D) tiếp xúc X và đặt X về cùng một phía . PATU là tiếp điểm tương
ứng.
• Để tìm PATU với trường hợp f →min:


- Tịnh tiến (D) theo hướng ngược hướng với véc tơ OC .
- Khi (D) ở mức thấp nhất sao cho (D) vẫn còn cắt miền PA X. Khi đó (D)
tiếp xúc X và đặt X về cùng một phía . PATU là tiếp điểm tương ứng.


16

Nếu tịnh tiến (D) mà không tìm được điểm tiếp xúc thì bài toán đó
không có PATU (f→-∞ đối với bài toán cực tiểu và f→ +∞ đối với bài
toán cực đại)
 Cách 2: Xét tại các điểm cực biên (cách này chỉ áp dụng đối với bài
toán QHTT có PATU và có miền PA X là tập lồi đa diện có đỉnh)
+ Tìm các điểm cực biên
+ Tính giá trị của hàm mục tiêu f tại các điểm cực biên.
+ So sánh các giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực biên vừa tìm
được để chọn giá trị cực tiểu hoặc giá trị cực đại của hàm mục tiêu.
Ví dụ: Giải bài toán : f = 8x 1 + 6x 2 →max
4x1 + 2x 2 ≤ 60 (a )

2x1 + 4x 2 ≤ 48 (b)
x , x ≥ 0
 1 2


cách cải tiến hàm mục tiêu bằng cách đi tới điểm cực biên kề tốt hơn. Cứ tiếp tục như
vậy cho đến khi tìm được PATU. Quá trình này bao gồm hữu hạn bước do số điểm cực
biên là hữu hạn. Tư tưởng của cách giải này cũng chính là tư tưởng của phương pháp
đơn hình mà chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sau đây
1.3.2.Phương pháp đơn hình:
1.3.2.1. Đường lối chung
Phương pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau:
-

Nếu bài toán QHTT có PATU thì có ít nhất một đỉnh của X là PATU.

-

Đa diện lồi X có một số hữu hạn đỉnh.
Điều đó có nghĩa là phải tồn tại một thuật toán hữu hạn. Thuật toán này gồm

hai giai đoạn:
Giai đoạn 1: Trước hết phải tìm một PA cực biên (một đỉnh)
Giai đoạn 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với PA đó.
-

Nếu điều kiện tối ưu được thỏa mãn thì PA đó là PATU. Nếu không ta
chuyển sang PA cực biên mới sao cho cải tiến giá trị hàm mục tiêu


18

-

Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với PA mới


j

→ min

 (1) Nếu ∆ k ≤ 0, ∀ k ⇒ PATU.
 (2) Nếu có ∆ k > 0 mà a ik ≤ 0, ∀ i ⇒ không có PATU.
 (3) Nếu mọi ∆ k > 0 đều có a ik > 0, ∃ i ⇒ lập PA mới.
Cách lập PA mới:
=
∆S max {∆ k | ∆ k > 0}

=
b r / a rs min {bi / a is | a is > 0}

a rs gọi là phần tử trục
+ (1/) Trên cột ẩn cơ bản : đưa x s vào thay x r
+ (2/) Trên cột hệ số c j : đưa c s vào thay c r
+ (3/) Chia dòng chứa a rs cho a rs ;
+ (4/) Thay cột chứa a rs bằng véc tơ đơn vị mà tại a rs bằng 1.
+ (5/) Tính a / ij =

a ija rs − a rja is
a rs

+ Tính mới ∆/ k , b/ k cũng theo quy tắc trên.
Khi đã có ∆/ 1 , ∆/ 2 , …, ∆/ n : ta trở lại các bước (1), (2), (3).
 Chú ý: Nguyên tắc chọn phần tử trục:



j

→ m ax

Tương tự bài toán min, thuật toán có ba trường hợp:
+ (1) Nếu ∆ k ≥ 0, ∀ k ⇒ PATU.
+(2) Nếu có ∆ k < 0 mà a ik ≤ 0, ∀ i ⇒ không có PATU.
+ (3)Nếu mọi ∆ k > 0 đều có a ik > 0, ∃ i ⇒ lập PA mới.
• Cách lập PA mới:
∆=
min {∆ k | ∆ k > 0}
S

=
b r / a rs min {bi / a is | a is > 0}

a rs gọi là phần tử trục
Các tính toán còn lại giống như ở bài toán min.
b) Dựa vào bảng đơn hình kết luận PATU.
Ví dụ 1: Giải bài toán QHTT sau đây:
f(x) = 3x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 2x 5 + 4x 6 →min
2x 1
3x 1 + x 2
x1

+ x3 + x4
+ 2x 4

+ 2x 6 = 5
+ x 6 = 11