BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tạ Thị Tú Anh

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tạ Thị Tú Anh

MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
LỚP 10
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn và các anh chị cùng lớp
Didactic toán khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và
làm luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Thống Nhất A
(Đồng Nai) cùng toàn thể học sinh lớp 11A4 đã giúp tôi hoàn thành tốt thực
nghiệm.
Tác giả
Tạ Thị Tú Anh


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ....................................................................................... 7
1.1. Mô hình hóa và giải bài toán bằng đại số ........................................................ 7
1.1.1. Mô hình hóa toán học ................................................................................. 7
1.1.2. Quá trình mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số ................... 8
1.2. Những khó khăn của học sinh khi giải quyết vấn đề bằng đại số ................. 10
1.3. Năng lực đại số .............................................................................................. 11
1.4. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số ................................................................. 12
1.5. Kết luận .......................................................................................................... 14
Chương 2. MÔ HÌNH HOÁ TRONG DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG SGK TOÁN 10 VIỆT NAM &
SGK TOÁN CỦA MỸ ............................................................................. 15


Giá trị lớn nhất

GTNN

:

Giá trị nhỏ nhất

HS

:

Học sinh

KNV

:

Kiểu nhiệm vụ

NC

:

Nâng cao

PPĐS

:


Trung học phổ thông

Tr

:

Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số (Grugeon, 2000, tr.11) .......................... 12
Bảng 2.1. Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn ............................................................................................................ 19
Bảng 2.2. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số ............................................................... 23
Bảng 2.3. Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến bất phương trình và hệ bất
phương trình hai ẩn ...................................................................................... 29
Bảng 3.1. Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược ................................................. 60
Bảng 3 2. Thống kê kết quả ở pha 1 ............................................................................. 60
Bảng 3.3. Thống kê kết quả ở pha 3 ............................................................................. 73
Bảng 3.4. Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược ................................................. 78


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1. Sơ đồ mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số theo Bélair ........... 8
Hình 3.1. Trích bài làm nháp của HS ............................................................................ 59
Hình 3.2. Trích bài làm của HS7 ................................................................................... 61
Hình 3.3. Trích bài làm của HS24 ................................................................................. 62
Hình 3.4. Trích bài làm của HS6 ................................................................................... 65
Hình 3.5. Trích bài làm của HS30 ................................................................................. 66

tính giúp HS rèn luyện và phát triển được năng lực về toán học như: tư duy và suy
luận; lập luận; mô hình hóa, sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các
phép toán.
Để tìm hiểu về những năng lực này, trong một nghiên cứu của Adolphe Adihou
(2009) đã chỉ ra những hoạt động đại số nào HS sử dụng trong việc giải bài toán tối ưu
tuyến tính, qua đó chúng tôi thấy rằng: bằng cách sử dụng bộ công cụ kí hiệu của đại
số (dấu các phép toán, chữ cái) thì tình huống của bài toán tối ưu tuyến tính hữu hạn
biến (2 biến) sẽ được biểu diễn thành các hàm số, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ngoài ra, những bài toán tối ưu tuyến tính có nhiều điểm tương tự với vấn đề mô hình
hóa theo nghĩa của Grugeon1 (2000). Từ phân tích này có thể xác định được các mặt
1

Grugeon (2000, 1997) đã nói đến các năng lực đại số bằng cách đặc trưng hóa nó thành 4 loại vấn đề đại số:

các vấn đề số học, các vấn đề tổng quát hoá, các vấn đề mô hình hóa và các vấn đề của phạm vi đại số và hàm.


2
khác nhau của năng lực đại số trong việc giải bài toán tối ưu tuyến tính. Đồng thời
cũng thấy được đại số tham gia như thế nào trong việc giải quyết vấn đề, và đâu là
những phép toán có thể được sử dụng trong việc giải quyết vấn đề.
Từ những ghi nhận về tầm quan trọng của mô hình hóa trong giải quyết vấn đề thực
tế trong từng ngữ cảnh cụ thể nhờ vào sự hỗ trợ của hệ thống các phương trình đại số
cho thấy đại số đã giúp giải quyết vấn đề thực tế như thế nào, và vai trò công cụ của hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong việc giải quyết các bài toán tối ưu tuyến tính,
chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là: Mô hình hóa trong dạy học hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10.
Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một số câu hỏi ban đầu để định
hướng cho nghiên cứu như sau: SGK toán lớp 10 trình bày tri thức này ra sao? Cách
trình bày của SGK có giúp học sinh biết vận dụng tri thức này vào thực tiễn? Những

hình hóa.
Phạm Anh Lý (2012), Nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Trong luận văn này, tác giả tập trung vào nghiên cứu
việc dạy học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học
thông qua KNV Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính. Qua
việc nghiên cứu các ràng buộc thể chế đối với KNV giải bài toán thực tế bằng cách lập
hệ phương trình, kết quả nghiên cứu cho thấy các bước của quá trình mô hình hóa
không được thực hiện đầy đủ (chủ yếu học sinh chỉ thực hiện bước 2 và bước 3, tức là
hoạt động trong mô hình toán học). Cuối cùng, tác giả xây dựng một tình huống dạy
học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa với mong muốn giúp học sinh
tiếp cận với các bước của quá trình mô hình hóa toán học và giúp học sinh thấy được
động cơ, nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nguyễn Thị Tân An (2014), Sử dụng Toán học hoá để phát triển các năng lực hiểu
biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án tiến sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh. Trong luận án, tác giả đã thống kê một số kết quả nghiên cứu về mô
hình hóa toán học của một số tác giả trên thế giới, nghiên cứu lí thuyết về mô hình hóa
toán học và chương trình toán 10 nâng cao hiện nay, phân tích mối liên quan giữa quá
trình toán học hóa và các năng lực hiểu biết định lượng, tìm hiểu các nội dung toán lớp
10 để thiết kế các tình huống toán học hóa tạo cơ hội thúc đẩy học sinh phát triển các
năng lực hiểu biết định lượng. Đồng thời xây dựng thang đánh giá giúp cho điểm các
năng lực hiểu biết định lượng của học sinh thông qua quá trình toán học hóa.


4
Võ Đức Hiền (2009), Nghiên cứu didactic về dạy học các bài toán tối ưu trong chủ
đề giải tích ở trường phổ thông, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh. Trong luận văn, tác giả trình bày về nghiên cứu lịch sử hình thành
bài toán tối ưu, kiểu tình huống, cách giải bài toán tối ưu. Đề tài luận văn yêu cầu
nghiên cứu trong chủ đề Giải tích. Tuy nhiên, ngoài giải tích thì bài toán tối ưu còn

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
4.1. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng tình huống dạy học bài toán tối ưu tuyến tính cho HS lớp 10 gắn với mô
hình hóa để giúp HS phát triển được các năng lực đại số.
4.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong phạm vi khuôn khổ lý thuyết đã chọn, chúng tôi trình bày câu hỏi nghiên
cứu của mình như sau:
CH1: Quá trình mô hình hóa là gì? Quá trình mô hình hóa gắn với việc giải quyết
vấn đề bằng đại số là gì? Năng lực đại số là gì?
CH2: Trong dạy học toán ở bậc phổ thông, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
được trình bày ra sao? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ như thế nào với MHH
toán học? Những công cụ đại số can thiệp như thế nào trong quá trình MHH toán học?
Các đối tượng đại số nào tham gia vào việc giải bài toán thực tế và cách xử lý chúng
thế nào?
CH3: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày như thế nào trong SGK
Mỹ? Chúng cho phép giải quyết những vấn đề gì? Vấn đề MHH được quan tâm ở mức
độ nào? Có sự chênh lệch nào giữa SGK toán 10 và SGK Mỹ về tri thức hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn liên quan đến MHH?
CH4: Làm thế nào xây dựng tình huống dạy học bài toán tối ưu tuyến tính cho HS
lớp 10 gắn với mô hình hóa để giúp HS phát triển được các năng lực đại số?
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Phân tích, tổng hợp một số công trình nghiên cứu đã có để làm rõ phạm vi lí
thuyết của đề tài, đặc biệt về vấn đề mô hình hóa, giải quyết vấn đề bằng đại số.
5.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp phân tích: SGK Toán lớp 10 Việt Nam, SGK Mỹ


6


Sự trình bày định nghĩa mô hình hóa toán học như trên cũng tương tự của Edwards
và Hamson (2001):
Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn
đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và
đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết
không thể chấp nhận [1, tr.26].


8
Như vậy, người thực hiện mô hình hóa toán học phải giải quyết vấn đề thực tế
trong “môi trường” toán học, sau đó quay trở lại thực tế, đối chiếu, nếu chưa phù hợp
thì phải thay đổi mô hình toán học ban đầu.
Để ngắn gọn, từ lúc này trở đi, chúng tôi sẽ dùng cụm từ “mô hình hóa” thay cho
mô hình hóa toán học.
1.1.2. Quá trình mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số
Trong luận văn này, chúng tôi xin trình bày sơ đồ mô hình hóa gắn với việc giải
bài toán bằng đại số của tác giả Bélair (2004).

Hình 1. 1. Sơ đồ mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số theo Bélair
(2004) [15, tr.7].
Theo sơ đồ trên, mô hình hóa toán học vừa là một quá trình dịch từ các giả thiết
của một tình huống thực tế thành phương trình (quá trình toán học hóa), sau đó, sử
dụng các thao tác toán học để giải quyết phương trình đó (toán học) và đồng thời cần
kiểm tra tính xác đáng của giải pháp mà phương trình đưa ra với tình huống thực tế. Sơ
đồ này hoạt động thông qua ba bước và được giải thích như sau:
Bước 1- Toán học hóa:
Chuyển đổi vấn đề trong thực tế thành một mô hình toán học gồm phương trình (hệ
các phương trình). Để xây dựng mô hình toán học này cần xác định rõ các yếu tố có ý
nghĩa quan trọng nhất, giữ nguyên cốt lõi của bài toán thực tiễn; từ đó, xây dựng

hợp cho ẩn) và biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng của bài toán bằng một (hay
một hệ) phương trình.
Có thể nói, sức mạnh của đại số thể hiện ở việc dùng chữ thay cho ẩn số. Lúc này,
vấn đề thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng (dù là ẩn số hay đại lượng đã biết)
không còn là trở ngại. Với số học, điều này không thực hiện được, vì việc diễn giải lí


10
luận bằng lời và thực hiện các phép toán trong những trường hợp phức tạp đôi khi trở
nên quá dài dòng. Chính vì đại số là một công cụ hữu hiệu như vậy nên việc học sinh
chuyển từ số học sang đại số khiến cho học sinh rơi vào khó khăn. Mô hình hóa toán
học bằng đại số cũng gây ra một vài khó khăn cho học sinh, nhưng đồng thời nó cũng
được coi như một phương pháp trong giảng dạy môn đại số nhằm mang lại ý nghĩa cho
môn học này.
1.2. Những khó khăn của học sinh khi giải quyết vấn đề bằng đại số
Ở phần này chúng tôi tổng hợp các kết quả từ công trình nghiên cứu của Vergnaud
và Cortes (1986), Van Ameron (2003), Adihou (2009).
Việc giải quyết vấn đề bằng đại số được đặc trưng bằng một giai đoạn thiết lập phương
trình và một giai đoạn của sự giải phương trình (hay các phương trình). Theo nghiên
cứu của Vergnaud và Cortes (1986), đã chứng minh rằng phần khó nhất đối với học
sinh khi giải các bài toán thực tế bằng đại số là toán học hóa vấn đề (bước 1 của quá
trình mô hình hóa), là làm sao MHH bài toán thực tế về bài toán toán học. Các tác giả
này đã ghi chú rằng:
Giai đoạn phương trình hóa vấn đề là giai đoạn khó khăn nhất, chọn lọc thông
tin và diễn giải sang đại số cần phải có sự giảng dạy một cách hệ thống [15,

tr.7].
Van Ameron (2003), bằng cách tham chiếu các công trình của Kieran, đã chỉ ra
những khó khăn liên quan đến ngôn ngữ đại số. Bằng việc tham chiếu với các phương
trình đã được học, HS sử dụng ngôn ngữ đại số để đưa về các phương trình đã biết, và

vấn đề ở đó đại số được sử dụng như một công cụ thường xuyên. Đó là khả
năng tạo ra các biểu thức và quan hệ đại số để diễn dịch một vấn đề, diễn giải
nó ra và huy động các công cụ đại số phù hợp đề giải quyết nó [15, tr.6].

Như vậy, năng lực đại số bao gồm:
-

Khả năng chuyển đổi các phương trình đại số: sử dụng các tính chất của phép

toán để tạo ra các phương trình tương đương để giải quyết những bài toán trong thực tế
hay bài toán toán học.
-

Khả năng tạo ra các biểu thức và quan hệ đại số để diễn dịch một vấn đề: bằng

cách sử dụng bộ công cụ kí hiệu của đại số (chữ cái, dấu các phép toán) để tạo ra
phương trình, bất phương trình nhằm biểu thị cho tình huống thực tế
-

Khả năng diễn giải vấn đề bằng đại số.

-

Khả năng huy động các công cụ đại số phù hợp để giải quyết vấn đề.


12
1.4. Cấu trúc phân tích đa chiều đại số
Để phân tích những bài toán tối ưu tuyến tính nhằm đảm bảo sự phát triển các
năng lực đại số (năng lực đại số được Grugeon (2000) nêu đặc trưng thông qua bốn

xác/ không xử lí

thức
Diễn dịch/ Hình thành
Sử dụng đại số để chứng
minh
Phương pháp giải
Mối quan hệ số học /đại số

Vai trò của dấu bằng
Vai trò các chữ cái

Số học/ đại số
Thông báo kết quả/ tương
đương
Chữ cái đối tượng/ chữ cái


13
có giá trị
Ẩn số / số tổng quát/ biến
số
Biểu thức đại số/ công thức/
Đối tượng và vai trò của các

phương trình/ hàm số

đối tượng

hoạt động/ cấu trúc/phỏng


Vai trò của Đại số

Sử dụng đại số

mong đợi ( xem bảng 1)/
không đúng với mong đợi
Bằng chứng thực tế/ lý

Loại bằng chứng
Tính thích hợp của đại số

thuyết
Giải thích liên quan đến

Loại giải thích

tính hợp lí “ hàng ngày”/
tính hợp lí ở lớp học/Tính
hợp lí của đại số

[15, tr.12]
Mức độ 1: cách giải thuật toán đơn giản.
Mức độ 2: tính toán phải phụ thuộc vào các ràng buộc, biết lựa chọn và kiểm soát hình
thức phù hợp để xử lý đại số, đồng thời chúng phải phù hợp với bài toán.


14
1.5. Kết luận
-

Từ những điều chúng tôi tổng kết ở trên cho thấy mô hình hóa cần thiết vì chúng
giúp cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống. Vì thế, trong luận văn này,
chúng tôi tiến hành tìm hiểu việc dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong
mối liên hệ với mô hình hóa toán học trong SGK Toán lớp 10 ở VN, và SGK Toán ở
Mỹ. Qua đó, những năng lực đại số nào có thể được hình thành cho học sinh? Điều
này được thực hiện trong chương 2 của luận văn.
-


15

Chương 2. MÔ HÌNH HOÁ TRONG DẠY HỌC HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG SGK TOÁN 10
VIỆT NAM & SGK TOÁN CỦA MỸ
Mục tiêu của chương
Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã được nghiên cứu trong luận văn
Thạc sỹ chuyên ngành Didactic Toán của tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012) - Một
nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong luận văn này, tác giả đã nghiên cứu sự xuất hiện và vai trò của hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn trong giáo trình đại học cũng như các TCTH xoay quanh
khái niệm này. Tương tự, vết của các TCTH này trong chương trình toán ở bậc phổ
thông cũng đã được làm rõ. Vì vậy, trong nghiên cứu này chúng tôi sẽ không phân tích
lại mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mà chúng
tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong
mối liên hệ với mô hình hóa. Chúng tôi sẽ sử dụng cấu trúc phân tích đa chiều đại số
của Grugeon vào các phân tích trong nghiên cứu này.
Thật vậy, SGK đã đề xuất cho học sinh các bài toán tối ưu tuyến tính để thiết lập
mối liên hệ với các môn học khác như môn kinh tế, môn sinh học và,để mang lại ý
nghĩa cho các tri thức toán như các phương trình, bất phương trình, các hàm số, các
biểu thức đại số... Trong chương trình lớp 10 ở bậc phổ thông, các đối tượng này được

hóa tình huống thực tế”. Vậy liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, vấn đề
mô hình hóa toán học được quan tâm ở mức độ nào? Qua đó, những năng lực đại số
nào có thể được hình thành cho học sinh?
Phần kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày trong SGK
Toán 10 ở chương IV “Bất đẳng thức. Bất phương trình”, trong bài “Bất phương trình
bậc nhất hai ẩn” chiếm 2 /15 số tiết của chương (SGK Toán 10 CB), 3 / 25 số tiết của
chương (SGK Toán 10 NC). Mục tiêu cần đạt được trong bài này là:
Về kiến thức: Hiểu khái niệm bất phương trình và hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm của chúng
Về kĩ năng: Biểu diễn được tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ [4, tr.20].

Mục tiêu SGK đặt ra yêu cầu HS hiểu và giải các bài toán bất phương trình cũng
như hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên phương diện toán học. Vấn đề về mô hình
hóa không phải là mục tiêu mà SGK nhắm tới.


17
Từ kết quả nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012), chúng tôi có thể tóm
tắt về cách trình bày phần kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:
Nhìn chung, SGK có sự trình bày phần kiến thức này khá kĩ lưỡng bao gồm các
phần: định nghĩa, định lý giúp xác định miền nghiệm, thuật toán xác định miền nghiệm
và ví dụ cụ thể. SGK CB đã đưa ra các quy tắc để xác định miền nghiệm của bất
phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng  : ax  by  c .
Bước 2: Lấy một điểm

không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ

O).

[3,

tr.95]
Tuy nhiên, về phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn thì SGK chỉ đưa ra một phương pháp duy nhất là PPHH (sử dụng đồ thị) như là
một phương pháp đặc thù trong khi bất phương trình cũng như hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn là một đối tượng toán học thuộc về đại số. Giải thích cho vấn đề này, tác
giả Nguyễn Thị Nhung (2012) đã tìm thấy một lí do mà chúng tôi trích lại sau đây:
Ta có thể giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chẳng hạn như
như sau:
cho là

. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã
. Nhưng cách giải này không mấy ý nghĩa và

khó áp dụng để giải một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, người ta