A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình đại số lớp 10 THPT (Kể cả nâng cao và cơ bản)
đều có bài: “HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN”.
Kiến thức cơ bản của bài học này không nhiều. Đối với học sinh, việc
giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là không khó. Các em chỉ cần
biết cách dựng đường thẳng Ax+By+C=0 và xác định dấu của mỗi
miền theo hướng dẫn trong sách giáo khoa là giải được.
Điều quan trọng là qua bài học đó, học sinh biết cách khai thác kiến
thức cơ bản của bài học để vận dụng vào việc tìm ra những ứng dụng
của nó. Trên cơ sở đó các em có thể phát huy được tính sáng tạo và tư
duy lôgic của mình. Từ đó biết áp dụng vào việc giải các bài toán thi
đại học, thi học sinh giỏi đồng thời giúp các em tìm ra được phương
pháp học toán có hiệu quả, có chất lượng và làm cho các em thích học
môn toán hơn.
Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi luôn trăn trở và tìm cách
soạn, cách dạy sao cho phù hợp nhất với từng đối tượng học sinh. Tìm
mọi cách để xóa bỏ việc tiếp thu kiến thức thụ động, một chiều của
học sinh. Đồng thời nâng dần khả năng tư duy và sức sáng tạo của các
em qua từng tiết dạy, bài dạy. Với mục đích đó, trong bài viết này tôi
xin trình bày một vài kinh nghiệm phát triển tư duy và tính sáng tạo
của học sinh lớp 10 qua tiết luyện tập “GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

1
Nhằm phát triển tư duy và tính sáng tạo của học sinh sau mỗi giờ
học toán; giúp các em thích học môn toán hơn.
Cung cấp cho học sinh một phương pháp giải và biện luận hệ
phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số; phương pháp
lập phương trình đường phân giác; đường thẳng và đường tròn có

khám phá, mở rộng sau mỗi bài dạy đã làm cơ sở thực tiễn giúp tôi
nghiên cứu vấn đề này.
III. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
1) Đối với học sinh:
Do sức ép của thi cử nên phụ huynh đầu tư thậm chí “bắt” con em
mình học rất nhiều. Học ở trường; học ở nhà; học theo lớp, theo
nhóm; nhờ thầy dạy kèm.…Nên học sinh không còn thời gian để tự
học; để đào sâu suy nghĩ, khám phá cái mới lạ mà hoàn toàn phụ
thuộc vào thầy;
Phần lớn các em học sinh lớp 10 vẫn quen nếp học, cách học ở cấp
THCS. Các em chưa thực sự chủ động trong việc nắm bắt, tiếp thu
kiến thức; chưa có ý thức tìm tòi và phát triển kiến thức. Việc khai
thác, mở rộng hay tìm ra cái mới, cái sáng tạo sau mỗi bài học, tiết
học thường dựa vào thầy là chủ yếu;
Do đặc thù của chương trình bộ môn Toán ở cấp THCS, các em
chưa được làm quen nhiều với các bài toán có tham số nhất là các bài
toán phải tìm điều kiện hay biện luận theo tham số. Nên khi lên cấp

3
THPT, ở bộ môn Toán (Đại số) các em thường gặp khó khăn khi đứng
trước những bài toán giải và biện luận theo tham số.
2) Đối với giáo viên:
Một phần từ sức ép thi cử của học sinh dẫn đến thầy cũng phải chịu
sức ép dạy để giúp học sinh thi nên thời gian dành cho việc dạy bồi
dưỡng chiếm nhiều. Thời gian để thầy nghiên cứu, trăn trở tìm tòi
khám phá theo hướng NCKH cũng hạn chế. Thường là giáo viên chọn
lựa các tài liệu, chuyên đề có sẵn để soạn dạy và bồi dưỡng;
Những giáo viên dạy các lớp học sinh trung bình hoặc yếu môn
toán thường ít quan tâm đến việc giúp học sinh đào sâu suy nghĩ,
khám phá cái hay, cái mới sau các tiết dạy, bài dạy (Thường quan

≤−−
0))(2(
0)2)(1(
yxx
yxx
(II)
Với ví dụ này, trong khi thử nghiệm ở lớp tôi dạy (Lớp 10C4),
tất cả học sinh không xác định đúng được miền nghiệm của hệ ngay từ
đầu. Như vậy là đã xuất hiện tình huống có vấn đề: “Xác định miền
nghiệm của một hệ BPT mà mỗi bất phương trình của hệ không còn là
một BPT bậc nhất hai ẩn quen thuộc”. Bằng các câu hỏi gợi mở và
định hướng, một số học sinh khá, giỏi đã xác định đúng được miền
nghiệm của hệ (II) là phần gạch chéo (Hình vẽ): t t’
Miền nghiệm của hệ (II) là tứ giác mở: tAOBt’, với A(-2:-1); O(0;0);
B(1;-1).
Sau khi học sinh xác định đúng miền nghiệm của hệ (II), ta lại đặt ra
tình huống: “Xem y là tham số, x là ẩn. Với giá trị nào của y thì hệ có
nghiệm?” Hầu hết học sinh trả lời đúng câu hỏi này. Tương tự ta có

5
O
x
y
A

+ Nếu -1<m<0: Hệ
mxm
mx
mx
−≤≤⇔



≤+
≥−
⇔ 2
0
02
+ Nếu m<-1: Hệ
12
02
01
≤≤−⇔



≥+
≤−
⇔ x
x
x
Như vậy với cách dẫn dắt trên, chúng ta đã giúp cho học sinh có thêm
một cách giải và biện luận hệ bất phương trình chứa tham số. Đây
chính là một ứng dụng được rút ra sau bài học “Giải hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn”.

− ≥

⇔ ⇔ ≤ ≤

− ≤
7

m
5
4

2
16
A
B
D
C
1
2
O
x-m=0
x+m-6=0
x
+ Nếu




≤−−+
≤++−
02)2(
0)1(
2
2
mxmx
mxmx
theo tham số m?
Giải:
Hệ đã cho



≤+−
≤−−
⇔
0))(2(
0))(1(
mxx
mxx
; xét trên hệ trục tọa độ 0xm, ta có miền
nghiệm của hệ là
∆
AOB và tứ giác mở tBCt’ (Phần gạch chéo -Hình
vẽ):


01
0
xm
x
mx
;
+ Nếu
10
<≤
m
: Hệ



≤≤⇔
≤−
≥−
⇔ 1
01
0
xm
x
mx
;
+ Nếu
21
<≤
m
: Hệ


Ví dụ 3: Cho hệ bpt:



≥−++−
≤−++−
033)2(
022)1(
2
2
mxmx
mxmx
(m là theo tham số)
a) Giải hệ với m=-1
b) Giải và biện luận hệ theo m?
Giải:
b)Hệ đã cho
( 2)( 1) 0
( 3)( 1) 0
x x m
x x m
− − + ≤

⇔

− − + ≥

; xét trên hệ trục tọa độ 0xm, ta có
miền nghiệm của hệ là tứ giác mở tABt’ (phần gạch chéo) và đường
thẳng x-m+1=0.

⇔ ⇔ ≤ ≤ −

− + ≤

+ Nếu m>4: Hệ
1 0
1
2 0
2 3
3 0
x m
x m
x
x
x
− + =

= −


⇔ ⇔
− ≥



≤ ≤



− ≤

− + ≤


− + − ≤

(*)
Nhận thấy: BPT (1) của hệ (*) là tích 2 nhân tử bậc nhất; BPT (2) của
hệ (*) là tích một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc 2 đối với x.
Mỗi nhân tử đó chính là: các đường thẳng: x-1=0; x+1=0; x+m-2=0 và
Parabol: m=x
2
. Làm tương tự các ví dụ trên, ta cũng xác định được

10
miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo ABCO, với A(-1;1); B(-1;3);
C(1;1); O(0;0).(Hình vẽ):
Vậy: + Nếu
0
3
m
m
<


>

: Hệ vô nghiệm;
+ Nếu
0 1m
≤ <


1
A
B
O
C
2
3
-1
1
x+m-2=0
m=x
2
x
đường tròn và Parabol với Parabol phương pháp này đều giải quyết
tốt.
2) Bài tập vận dụng ứng dụng 1:
Bài 1: Giải và biện luận các hệ sau theo tham số m:
a)



≤++
≤−+−
0910
012
2
2
xx
mxx

myx
myx
d)



≥+−−
≤+++−
022
02)13(
23
22
xxx
mmxmx
Bài 2: Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm:
a)



≤−+−+
≤−+−
0)21(
012
22
2
mmxmx
mxx
b)



yx
myx
Bài 3: Tìm a để hệ:



≤++++
≤+
024)25(
4
22
22
aaxax
ax
có nghiệm duy nhất?
Ứng dụng 2: Lập phương trình đường phân giác, đường thẳng,
đường tròn
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng: d
1
: x+y-3=0; d
2
:
7x-y+4=0 và điểm M
0
(-1;5).

12
Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d
1
,d

 
+ − − + + − − +
 
= =
 
 
3 7 4
12 4 11 0
2 50
x y x y
x y
− + − +
⇔ = − ⇔ + − =
là phương trình của tia phân giác
It và đây cũng chính là phương trình đường phân giác cần lập.
Từ ví dụ trên, ta khái quát bài toán:
Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
:
A
1
x+B
1
y+C
1
=0; d
1
: A
2
x+B

;y
0
) 

t
M(x;y)

d
2
d
1
I
HD giải:

Lấy bất kỳ điểm M(x;y) thuộc tia phân giác cần lập (tia phân giác It-
Hình vẽ).
Hỏi:
- Vị trí tương đối của điểm M và điểm M
0
đối với các đường d
1
và d
2
?
- Khoảng cách từ điểm M đến d
1
và từ điểm M đến d
2
?
Ta thiết lập hệ:

1
y+C
1
) và
( A
2
x+B
2
y+C
2
), dựa vào đó ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối của (3) và suy ra
được phương trình tia phân giác It. Đây chính là phương trình đường
phân giác cần lập.
Lưu ý: Lấy bất kỳ M(x;y) thuộc tia phân giác It thì ta có M và M
0
luôn nằm cùng phía đối với d
1
và d
2
. Làm như vậy bài toán giải quyết
nhanh hơn rất nhiều.

14
d
1
t

M
0
(x

2
.
Giải:
1)Lấy bất kỳ điểm M(x;y)
1
d∈
cần lập
⇔
M và M
1
nằm cùng phía đối
với d và
( ) 5d M d→ =
⇔
(2 1)(2.1 1.4 1) 0
2 1 0
2 1 5
2 1
2 1 5
5
5
x y
x y
x y
x y
x y
− + − + >

− + <


2 5
5
x y
x y
x y
x y
x y
− + − + <

− + <


⇔ ⇔ − + = −
− +
 
− + =
=




⇔
2x-y+11=0 là phương trình đường thẳng d
2
.
3) Bài tập vận dụng ứng dụng 2:
Bài 1: Cho hai đường thẳng: d
1
: 3x-4y+13=0; d
2

x+B
2
y+C
2
=0 cắt nhau và điểm M
0
(x
0
;y
0
) không nằm trên
d
1
và d
2
.
a) Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d
1
, d
2
và
không chứa điểm M
0
?
b) Tính cosin của góc tạo bởi d
1
, d
2
và chứa điểm M
0

Trước khi
áp dụng SK 43 2 4.6 9 20.9 21 48.8 11 25.5
Sau khi áp
dụng SK 43 13 30.2 24 55.8 4 9.3 2 4.6
Năm học 2012-2013(Kiểm nghiệm ở lớp 10C4):
Kết quả
Tổng số
hs
Kết quả điểm
Giỏi Khá
Trung
bình Yếu, kém
SL % SL % SL % SL %
Trước khi
áp dụng SK 45 2 4.4 11 24.4 19 42.2 13 28.8
Sau khi áp
dụng SK 45 15 33.3 17 37.7 9 20.0 4 8.8
C. KẾT LUẬN
Việc khai thác các ứng dụng sau tiết dạy “GIẢI BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHÂT HAI ẨN” mà tôi trình bày trong SKKN này có
thể chưa đầy đủ. Các ví dụ minh họa có thể chưa hay. Song tôi thiết
nghĩ sau mỗi tiết dạy, bài dạy người thầy nên có thói quen định hướng
cho học sinh khai thác và tìm tòi các ứng dụng của nó. Nhờ đó mà
chúng ta giúp các em phát huy được trí lực, tư duy lôgic, tính sáng tạo
cũng như tính chủ động, tích cực trong học tập nói chung và học toán
nói riêng. Đây cũng chính là mục đích của công cuộc đổi mới phương
pháp giảng dạy mà ngành giáo dục đã, đang phát động và thực hiện
lâu nay.
Sáng kiến này tuy đã được áp dụng có hiệu quả ở trường THPT
Triệu Sơn I, song chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất

3) Bài tập vận dụng ứng dụng 2
X. KIỂM NGHIỆM
F. KẾT LUẬN
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
5
10
13
13
14

19
NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT
1. BPT: Bất phương trình.
2. NCKH: Nghiên cứu khoa học.
3. SGK Sách giáo khoa.
4. SK: Sáng kiến.
5. SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm.
6. THCS: Trung học cơ sở.
7. THPT: Trung học phổ thông.