A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình đại số lớp 10 THPT (Kể cả nâng cao và cơ bản) đều có
bài: “HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN”. Kiến thức cơ bản của
bài học này không nhiều. Đối với học sinh, việc giải hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn là không khó. Các em chỉ cần biết cách dựng đường thẳng
Ax+By+C=0 và xác định dấu của mỗi miền theo hướng dẫn trong sách giáo
khoa là giải được.
Điều quan trọng là qua bài học đó, học sinh biết cách khai thác kiến thức cơ
bản của bài học để vận dụng vào việc tìm ra những ứng dụng của nó. Trên cơ sở
đó các em có thể phát huy được tính sáng tạo và tư duy lôgic của mình. Từ đó
biết áp dụng vào việc giải các bài toán thi đại học, thi học sinh giỏi đồng thời
giúp các em tìm ra được phương pháp học toán có hiệu quả, có chất lượng và
làm cho các em thích học môn toán hơn.
Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi luôn trăn trở và tìm cách soạn, cách
dạy sao cho phù hợp nhất với từng đối tượng học sinh. Tìm mọi cách để xóa bỏ
việc tiếp thu kiến thức thụ động, một chiều của học sinh. Đồng thời nâng dần
khả năng tư duy và sức sáng tạo của các em qua từng tiết dạy, bài dạy. Với mục
đích đó, trong bài viết này tôi xin trình bày một vài kinh nghiệm phát triển tư
duy và tính sáng tạo của học sinh lớp 10 qua tiết luyện tập “GIẢI HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Nhằm phát triển tư duy và tính sáng tạo của học sinh sau mỗi giờ học
toán; giúp các em thích học môn toán hơn.
Cung cấp cho học sinh một phương pháp giải và biện luận hệ phương
trình, hệ bất phương trình có chứa tham số; phương pháp lập phương trình
đường phân giác; đường thẳng và đường tròn có điều kiện liên quan đến
miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

1
Góp phần thực hiện yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học trong đó có đổi

rất nhiều. Học ở trường; học ở nhà; học theo lớp, theo nhóm; nhờ thầy dạy kèm.
…Nên học sinh không còn thời gian để tự học; để đào sâu suy nghĩ, khám phá
cái mới lạ mà hoàn toàn phụ thuộc vào thầy;
Phần lớn các em học sinh lớp 10 vẫn quen nếp học, cách học ở cấp THCS.
Các em chưa thực sự chủ động trong việc nắm bắt, tiếp thu kiến thức; chưa có ý
thức tìm tòi và phát triển kiến thức. Việc khai thác, mở rộng hay tìm ra cái mới,
cái sáng tạo sau mỗi bài học, tiết học thường dựa vào thầy là chủ yếu;
Do đặc thù của chương trình bộ môn Toán ở cấp THCS, các em chưa được
làm quen nhiều với các bài toán có tham số nhất là các bài toán phải tìm điều
kiện hay biện luận theo tham số. Nên khi lên cấp THPT, ở bộ môn Toán (Đại số)
các em thường gặp khó khăn khi đứng trước những bài toán giải và biện luận
theo tham số.
2) Đối với giáo viên:
Một phần từ sức ép thi cử của học sinh dẫn đến thầy cũng phải chịu sức ép
dạy để giúp học sinh thi nên thời gian dành cho việc dạy bồi dưỡng chiếm nhiều.
Thời gian để thầy nghiên cứu, trăn trở tìm tòi khám phá theo hướng NCKH cũng
hạn chế. Thường là giáo viên chọn lựa các tài liệu, chuyên đề có sẵn để soạn dạy
và bồi dưỡng;
Những giáo viên dạy các lớp học sinh trung bình hoặc yếu môn toán thường
ít quan tâm đến việc giúp học sinh đào sâu suy nghĩ, khám phá cái hay, cái mới
sau các tiết dạy, bài dạy (Thường quan niệm các đối tượng này nắm được chuẩn
kiến thức là tốt rồi).
IV. TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
Sau khi học phần lý thuyết bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh
biết định nghĩa, các định lý và cách giải một bất phương trình, hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn. Phần luyện tập trong SGK gồm những bài tập khá đơn
giản, hầu hết học sinh giải quyết các bài tập này rất nhanh gọn. Chính vì thế, tôi

3
đã dùng thời gian của tiết luyện tập này để thực hiện định hướng của mình.

Bằng các câu hỏi gợi mở và định hướng, một số học sinh khá, giỏi đã xác định
đúng được miền nghiệm của hệ (II) là phần gạch chéo (Hình vẽ): t t’
Miền nghiệm của hệ (II) là tứ giác mở: tAOBt’, với A(-2:-1); O(0;0); B(1;-1).
Sau khi học sinh xác định đúng miền nghiệm của hệ (II), ta lại đặt ra tình huống:
“Xem y là tham số, x là ẩn. Với giá trị nào của y thì hệ có nghiệm?” Hầu hết học
sinh trả lời đúng câu hỏi này. Tương tự ta có thể đặt câu hỏi cho học sinh suy
nghĩ trả lời: Với giá trị nào của y thì hệ vô nghiệm? Hệ có nghiệm duy nhất?

4
O
x
y
A
B
-1
1
-2
x-2y=0
x+y=0
Từ hệ (II), với cách đặt vấn đề và xây dựng hệ thống câu hỏi như trên ta đưa ra
ví dụ tiếp theo:
Ví dụ 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m:



12
02
01
≤≤−⇔



≥+
≤−
⇔ x
x
x
Như vậy với cách dẫn dắt trên, chúng ta đã giúp cho học sinh có thêm một cách
giải và biện luận hệ bất phương trình chứa tham số. Đây chính là một ứng dụng
được rút ra sau bài học “Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”.
1) Các ứng dụng:
Ứng dụng 1: Giải và biện luận hệ bất phương trình có tham số
Ví dụ 1: Cho hệ bpt:



≤−+−
≤−−
0)6)((
0)2)(1(
mxmx
xx
a) Giải hệ với m=6
b) Giải và biện luận hệ theo tham số m?
Giải:

x
− ≥

⇔ ⇔ ≤ ≤

− ≤


+ Nếu 4<m<5: Hệ
1 0
1 6
6 0
x
x m
x m
− ≥

⇔ ⇔ ≤ ≤ −

+ − ≤

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ bpt:



≤−−+
≤++−
02)2(
0)1(
2


6
A
B
D
C
1
2
O
x-m=0
x+m-6=0
x
Với A(1;-1); O(0;0); B(1;1); C(2;2).
Vậy:
+ Nếu m<-1: Hệ vô nghiệm;
+ Nếu
01
<≤−
m
: Hệ



≤≤−⇔
≤−
≥+
⇔ 1
01
0
xm

⇔ mx
mx
x
1
0
01
;
+ Nếu
2≥m
Hệ



≤≤⇔
≤−
≥−
⇔ 21
02
01
x
x
x
.
Ví dụ 3: Cho hệ bpt:



≥−++−
≤−++−
033)2(

− − + ≤

⇔

− − + ≥

; xét trên hệ trục tọa độ 0xm, ta có miền
nghiệm của hệ là tứ giác mở tABt’ (phần gạch chéo) và đường thẳng x-m+1=0.
Hình vẽ:
Vậy:
+ Nếu
3m ≤
: Hệ có nghiệm x=m-1;
+ Nếu
3 4m< ≤
: Hệ
2 0
2 1
1 0
x
x m
x m
− ≥

⇔ ⇔ ≤ ≤ −

− + ≤

+ Nếu m>4: Hệ
1 0

phân tích được thành tích các nhân tử bậc nhất thì sáng kiến này có còn áp
dụng được không?
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 4: Giải và biện luận hệ bpt:
2
2
1
( )( 2) 0
x
m x x m

≤

− + − ≤

theo tham số m?
Giải:

8
m
4
3 A
B
O
x
2 3
x-m+1=0
t
t’
Ta viết lại hệ:

0 1m≤ <
: Hệ có nghiệm:
m x m− ≤ ≤
;
Nếu
1 3m
≤ ≤
: Hệ
1 0
1 2
2 0
x
x m
x m
+ ≥

⇔ ⇔ − ≤ ≤ −

+ − ≤

Như vậy: Kết hợp giữa đường thẳng với đường thẳng; đường thẳng với
Parabol, phương pháp này vẫn áp dụng để giải và biện luận hệ tương đối “gọn
nhẹ”. Hoàn toàn tương tự ta có thể kết hợp giữa đường thẳng với đường tròn;

9
m


b)



<−+−+
>−−++
04832
01234
22
22
mmmxx
mmmxx
c)







≤
=++
≤++
≤−−
3
01
0562
022
x
yx


≤++++
≤+
024)25(
4
22
22
mmxmx
mx
c)



=++
+=+
42
22
22
22
xyyx
myx
d)



−≤−
=+−
22
3)1(
0

Giải:

10
Gọi It là tia phân giác của góc giữa d
1
,d
2
chứa điểm M
0
. (Hình vẽ)
Lấy bất kỳ điểm M(x;y)
∈
It

( 1.1 5.1 3)( 3) 0 3 0
( 1.7 5.( 1) 4)(7 4) 0 7 4 0
3 7 4 3 7 4
2 50 2 50
x y x y
x y x y
x y x y x y x y
 
 
− + − + − > + − >
 
 
⇔ − + − + − + > ⇔ − + <
 
 
+ − − + + − − +

2
=0 cắt nhau và điểm M
0
(x
0
;y
0
) không nằm trên d
1
và d
2
. Lập
phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d
1
,d
2
và chứa điểm M
0
?
HD giải:

Lấy bất kỳ điểm M(x;y) thuộc tia phân giác cần lập (tia phân giác It-Hình vẽ).
Hỏi:

11
d
1
t

M

1
và d
2
?
- Khoảng cách từ điểm M đến d
1
và từ điểm M đến d
2
?
Ta thiết lập hệ:
1 1 1 1 0 1 0 1
2 2 2 2 0 2 0 2
1 0 1 0 1 2 0 2 0 2
2 2 2 2
1 1 2 2
( )( ) 0(1)
( )( ) 0(2)
(3)
A x B y C A x B y C
A x B y C A x B y C
A x B y C A x B y C
A B A B


+ + + + >


⇔ + + + + >



nhiều.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x-y+1=0 và 2 điểm:
M
1
(1;4); M
2
(3;0).
a) Lập phương trình đường thẳng d
1
thoả mản: d
1
nằm trong nửa mặt phẳng giới
hạn bởi d và chứa điểm M
1
đồng thời cách d một khoảng bằng
5
.
b) Lập phương trình đường thẳng d
2
cách d một khoảng bằng
2 5
và nằm trong
nửa mặt phẳng giới hạn bởi d và không chứa M
2
.
Giải:
1)Lấy bất kỳ điểm M(x;y)
1
d∈
cần lập



⇔
2x-y+6=0 là phương trình đường thẳng d
1
.

12
2)Lấy bất kỳ điểm M(x;y)
2
d∈
cần lập
⇔
M và M
2
nằm khác phía đối với d và
( ) 2 5d M d→ =
⇔
(2 1)(2.3 1.0 1) 0
2 1 0
2 1 10
2 1
2 1 10
2 5
5
x y
x y
x y
x y
x y

đường thẳng d
1
:2x+y-1=0 và d
2
: 2x-y+2=0.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: A
1
x+B
1
y+C
1
=0;
d
1
: A
2
x+B
2
y+C
2
=0 cắt nhau và điểm M
0
(x
0
;y
0
) không nằm trên d
1

Trước khi áp
dụng SK 48 01 2.1 07 14.5 17 35.4 23 47.9
Sau khi áp
dụng SK 48 09 18.7 24 50.0 9 18.7 6 12.5
Năm học 2009-2010(Kiểm nghiệm ở lớp 10B2):

13
Kết quả
Tổng số
hs
Kết quả điểm
Giỏi Khá Trung bình Yếu, kém
SL % SL % SL % SL %
Trước khi áp
dụng SK 43 2 4.6 9 20.9 21 48.8 11 25.5
Sau khi áp
dụng SK 43 13 30.2 24 55.8 4 9.3 2 4.6
Năm học 2012-2013(Kiểm nghiệm ở lớp 10C4):
Kết quả
Tổng số
hs
Kết quả điểm
Giỏi Khá Trung bình Yếu, kém
SL % SL % SL % SL %
Trước khi áp
dụng SK 45 2 4.4 11 24.4 19 42.2 13 28.8
Sau khi áp
dụng SK 45 15 33.3 17 37.7 9 20.0 4 8.8
C. KẾT LUẬN
Việc khai thác các ứng dụng sau tiết dạy “GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

VI. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
VII. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ
VIII. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1) Đối với học sinh
2) Đối với giáo viên:
IX. TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
1) Các ứng dụng:
2) Bài tập vận dụng dụng ứng dụng 1:
3) Bài tập vận dụng ứng dụng 2
X. KIỂM NGHIỆM
F. KẾT LUẬN
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
5
10
13
13
14

16