Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
Phần 1: Đặt vấn đề
Hiện nay ,giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới.Để kịp với xu hướng
này,rất nhiều yêu cầu được đặt ra.Một trong số đó chính là làm sao để có được những
phương pháp giải toán hay,nhanh,mà vẫn cho kết quả chính xác.Phương pháp sử dụng giá
trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phương pháp giải toán như vậy.
Có những bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thi lời giải sẽ khó
hiểu,rắc rối.Nhưng nếu áp dụng phương pháp này,bài toán sẽ trở thành đơn giản,gọn hơn
rất nhiều.Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này, ngoài ra phương
pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất còn phát huy sự ưu việt trong nhiều
trường hợp khác.
Nói tóm lại, phương pháp này rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị
ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông,thi cao đẳng và đại học.Nó sẽ giúp các em phát huy
tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất, hay nhất và chính
xác nhất.
Trong quá trình dạy học môn toán ở bậc trung học phổ thông,chúng ta gặp rất
nhiều bài toán giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, hệ bất phương trình
,tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số có tham số.Để giải các bài toán dạng trên có bài
ta giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau,cũng có bài chỉ có thể giải được bằng
phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số . Sử dụng giá trị lớn
nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải toán là một phương pháp hay,thông thường để
giải quyết một bài toán sẽ đơn giản,gọn nhẹ hơn so với phương pháp khác.
Tuy nhiên để học sinh có kỹ năng ta cần hệ thống hóa lại bài tập,để học sinh và giáo viên
bớt lúng túng hơn.
Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải
toán,chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong các bài toán giải phương trình,bất phương
trình,hệ phương trình, hệ bất phương trình ,tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số có
Ninh Thế Phụng

1


B. MỘT SỐ BÀI TOÁN
I.

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
ĐỂ Phụng
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ.
Ninh Thế

2


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.

1.Phương pháp :
Sử dụng các giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình f(x,m) = 0
là dạng toán khá quen thuộc. Ta có hướng áp dụng sau:
Bước 1 : Chuyển phương trình về dạng : f(x) = g(m) (1)
Bước 2 : Xét hàm số y = f(x)
• Tìm tập xác định D.
• Tính đạo hàm y',giải phương trình y' = 0
• Tính giới hạn và lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3 : Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đổ thị hàm số
(C):y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m).
Bước 4 : kết luận
• Phương trình có nghiệm khi

.

•2. Áp
Phương

Ta có : y' =
y' = 0 ⇒ 1 – 3x = 0 ⇔ x =

x
y’

−∞

y

-1

⇒y=

1/3
+

+∞

0
1

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C): y =

với đường

thẳng d : y = m.
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (1) có nghiệm thực khi :

1
t2 + 2t + 9 = 2m.
4


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
t2 + 2t + 9 với 3 ≤ t ≤ 3

Xét hàm số f(t) =

có đạo hàm f '(t) =

2t + 2

f '(t) = 0 ⇔ t = 1(loại)
t

3

3

f '(t)
6

f(t)

6 -9
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C): y =

t2 + 2t + 9 với


Phương trình (a) ⇔ 3t2 + 4m t – 4 = 0 (b)
Vì t = 0 không phải là nghiệm của phương trình (b) .Suy ra t ≠ 0 , (b) ⇒ 4m =
Ninh Thế Phụng

5


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
Đặt y =

với

1 < t < 1 và t ≠ 0 có đạo hàm y ' =

< 0 ,∀

1 < t < 1 và t

≠ 0.
,
t
y'

1

y

1

0


, x ∈[ o; ]. Suy ra t ∈ [1;

(b)⇒1 – (t2 – 1)2 = mt ⇔ – t3 +2t = m (*) ( vì t ∈ [1;
Ninh Thế Phụng

(b)

]
]⇒ t ≠ 0 )
6


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
Xét hàm số y = - t3 +2t với t ∈ [1;
y'=0⇔
t

] có đạo hàm y ' =

3t2 + 2

(loại)

1

y'
y

1


x
y'
y

-∞
+∞

Ninh Thế Phụng

0

1

2
1

+∞
+∞
7


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
0

0

Số nghiệm của phương trình (5) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):y =
đường y = a ( với a =



Xét hàm số y =
TXĐ : D = R
Vì cơ số 3 > 1, 4 > 1 nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm
số t = x2 – 2x

x

-∞

t
Ninh Thế Phụng

1

+∞

-1
8


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
y +∞
6
+∞
Số nghiệm của phương trình (6) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y =
với đường y = m – 2
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (6) có nghiệm khi : m – 2 ≥ 6 ⇔ m ≥ 8.

V í d ụ 7 : Tìm m để phương trình :


0

Ninh Thế Phụng

2

6
9


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số.
y'
+6

y

Số nghiệm của phương trình (7) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):
với đường y = m
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi :
≤m


6t + 2.

1

y'
Ninh Thế Phụng

10


Sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm sớ để giải phương trình có tham sớ.

y
0
Số nghiệm của phương trình (b) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):
với đường y = m .
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực khi :