Chương 4
ỔN ĐỊNH CỦA CÁC
KHUNG PHẲNG


4.1. Các giả thiết
Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi.
Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển vị của
các thanh qui tụ tại một nút đều như nhau.
Khi xét biến dạng của thanh chịu uốn, bỏ qua biến dạng trượt và
biến dạng dọc trục. Do đó trước và sau biến dạng, chiều dài theo
phương ban đầu của các thanh không đổi. Trừ trường hợp biến
dạng dọc trục do nhiệt độ gây ra
Khi xác định chuyển vị trong khung chỉ kể đến ảnh hưởng của biến
dạng uốn và do lực dọc xuất hiện trước biến dạng gây ra. Ảnh
hưởng của gia số lực dọc xuất hiện sau khi hệ mất ổn định được bỏ
qua.
Tải trọng tác dụng lên khung chỉ đặt tại các nút. Những tải trọng này
chỉ gây ra hiện tượng kéo hoặc nén mà không gây ra hiện tượng
uốn ngang trong các thanh của khung khi hệ chưa mất ổn định.


Theo giả thiết trên:
Trước khi nghiên cứu sự ổn định cần phải xác định lực dọc trong các
thanh của khung chịu tải trọng đã cho không đặt tại nút (Hình 4.1a),
tiếp đó xác định tải trọng tới hạn của khung chịu tải trọng đặt tại nút có
giá trị bằng lực dọc đặt trong các thanh tương ứng ( Hình 4.1b)
Các lực ngang chỉ xuất hiện sau khi hệ mất ổn định với giá trị rất nhỏ,
 giữa chuyển vị ngang và tải trọng ngang có sự liên hệ tuyến tính 
có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng đối với các tải trọng ngang
trong các

P5

1

6

Hình 4.1

4

6


4.2. Cách xác định chuyển vị trong các thanh chịu kéo
hoặc nén.
P1

P2

Định lý công tương hổ:

P1 ∆12 = P2 ∆21
∆11+ ∆12

Phương pháp tính chuyển vị

∆21+ ∆22

‘’m’’


c)

z

z
L

RA

b)

MB = d

y

c

d

a

b

Hình 4.3

Mk

Mm



c 
 d
M m = c cos αz + 
−
 sin αz
sin
α
L
tan
α
L



Trong đó:

α2 =

P
EJ

(4.4)

(4.5)


_

Mk


L 
 sin αL tan αL  0 
0
0
_

Sau khi lấy tích phân và biến đổi ta có:
 acL bdL 
 adL bcL 
EJ∆ km = 
+
+
φ1 (v) + 
φ2 (v)
3 
6 
 3
 6

Trong đó:

v = αL = L

P
EJ

(4.8)

(4.9)


MA = c
a)

b)

c)

δ

P
QA= e

z
L

c

d
PyA

a

b

Hình 4.4

Mm

Mk


M m ( z ) = c cos αz +

c(v sin v − 1) + d
sin αz
v cos v

(4.14)


Phương trình Mk có dạng:

b−a
Mk =a+
z
L
_

(4.15)

Sau khi thay Pt. (4.14) và (4.15) vào (4.1), lấy tích phân và biến đổi
 công thức tính chuyển vị như sau:
EJ∆ km =

bdL
acL
 adL bcL 
ϕ1 (v) +
ϕ 2 (v ) + 
+
ϕ 3 (v)

tan
v
−
+


cos
v
v



ϕ 3 (v ) =

6
v2

tan v 
 1
−


cos
v
v



(4.17)


2

4

X2

4

6

X3

2

6

X2

6

4
X5

5
1

5

1



Tạo trạng thái “m” do lực Xm = 1 và do các lực nén hoặc kéo P
gây ra trong hệ cơ bản.
Đối với những thanh không có lực kéo hay nén P, áp dụng công
thức chuyển vị (4.1) hoặc dùng phương pháp nhân biểu đồ
Đối với những thanh có lực kéo hay nén P, áp dụng công thức
(4.8) hay (4.16)
Khi xác định chuyển vị trong các thanh chịu kéo hoặc nén ta
quan niệm lực kéo hay nén là tải trọng đặt tại nút.  Khi mất ổn
định những lực này có thể thay đổi. Tuy nhiên, các lực X này chỉ
xuất hiện khi hệ mất ổn định và rất nhỏ nên có thể bỏ qua.








4.3.3. Phương trình ổn định
Hệ phương trình thuần nhất (4.18) được thỏa mãn với hai khả
năng:


Tất cả các ẩn số X đều bằng không. Lúc này trong hệ chỉ có
biến dạng kéo hoặc nén mà chưa có biến dạng uốn, do đó hệ
vẫn ở trạng thái cân bằng chưa bị mất ổn định.




0.36P

P

a)

2

5

3

X1

EJ=const

L

4
1

L/2

L/2

0.36P

b) P

L

0.36P

v=L

P
EJ

là thông số tới hạn, ta có:

Đối với thanh chịu nén 1-2 :
Đối với thanh chịu nén 3-4:

v1 = L

P
=v
EJ

v2 = L

0.36 P
= 0.6v
EJ

Áp dụng nhân biểu đồ và công thức (4.8) ta được:
EJ δ11 = ⅓Ф(v1) +⅔L
EJ δ22 = ⅓Ф(v2) +⅓L
EJδ12 = -⅓L



12
.
7
L2
L2


4.4. Cách tính ổn định các khung phẳng theo phương pháp
chuyển vị

Khi dùng phương pháp chuyển vị để tính ổn định ta thực hiện các
bước như sau:


Chọn hệ cơ bản



Gây chuyển vị cuỡng bức tại các liên kết đặt thêm vào



Lập hệ phương trình chính tắc



Lập phương trình ổn định


4.4.1. Hệ cơ bản

4.4.2. Phương trình chính tắc
Lập hệ cơ bản và gây các chuyển vị cưỡng bức Zi tại các liên kết
đặt thêm vào
Các chuyển vị Zi cần phải có giá trị để sao cho phản lực tại các liên
kết đặt thêm vào hệ do chúng gây ra và do các tải trọng gây ra phải
bằng không  Hệ phương trình chính tắc gồm có n điều kiện để
xác định n phản lực cần tìm

Rkz1 + Rkz2 + Rkz3 + ..... + Rkzn + RkP = 0

với k = 1…n

Trong đó:
• R
kzi phản lực tại liên kết thứ k trong hệ cơ bản do chuyển vị cưỡng bức
tại liên kết thứ i gây ra.
• RkP phản lực tại liên kết thứ k do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản


Do tải trọng chỉ đặt tại nút nên khi hệ chưa mất ổn định, các thanh
của hệ chỉ xuất hiện lực kéo, nén tự cân bằng mà không xuất hiện
momen uốn  các số hạng tự do RkP bằng không .
Hệ phương trình chính tắc trở thành hệ phương trình thuần nhất:

r11 Z1 + r12 Z 2 + ....... + r1n Z n = 0
r12 Z1 + r22 Z 2 + ....... + r2 n Z n = 0
………………………………………….

rn1 Z1 + rn 2 Z 2 + ....... + rnn Z n = 0


Muốn thỏa điều kiện này thì định thức các hệ số của hệ Pt. (4.20)
phải bằng không.  phương trình ổn định theo phương pháp
chuyển vị.
r11
r12 …..…r1n
r21
r22 …… ….r2n
D=
=0
(4.21)
………………………
rn1
rn2……. ….rnn


Với cách giải trên ta mới chỉ tìm được tải trọng tới hạn mà chưa tìm
được đường biến dạng của hệ vì chưa biết các giá trị của các ẩn số
Zi. Những ẩn số này là vô định.
Muốn tìm được biến dạng của hệ khi mất ổn định ta có thể cho một
ẩn số nào đó, chẳng hạn Z1 = 1
xác định các ẩn số còn lại theo phương trình chính tắc (4.20).
Ví dụ 4.2: Xác định lực tới hạn cho hệ vẽ trên hình 4.8a. Chọn hệ
cơ bản như trên hình 4.8b
a)

L

P2 = 0.8P

J

3io

4ioφ2(αvo)

P2

Z1

P1

P2
4io
= =0

8io

8io

4io

M1

P1

Z2=1

4ioφ2(vo)
2ioφ3(vo)

4ioφ2(αvo)

= r11r22 - r212 = 0

Mk