Bài tập Cơ học lượng tử
Hoàng Đỗ Ngọc Trầm


Nội dung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Các toán tử trong CHLT (2 buổi)
Chuyển động một chiều (3-4 buổi)
Moment động lượng. (1 buổi)
Chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm. (1-2 buổi)
Spin (1 buổi)
Chuyển động trong từ trường (1-2 buổi)
Lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân (3-4 buổi)
Hệ các hạt đồng nhất (1 buổi)


Giáo trình
Bài tập CƠ HỌC LƯỢNG TỬ, Hoàng Dũng,
NXB ĐH Quốc gia Tp. HCM, 2002.
Bài tập và lời giải Cơ học lượng tử (Bài tập và lời
giải của các Trường Đại học nổi tiếng Hoa Kỳ),
Trường ĐHKH&CN Trung Hoa, NXB Giáo dục.


Trong CHLT, các đại lượng vật lý được mô tả bởi các
toán tử tuyến tính -> WHY?


Phép cộng và nhân toán tử
Phép cộng:
Tính chất:

Phép nhân:
Tính chất:

ˆ ( x)  Au
ˆ ( x)  Bˆ u ( x )
Cˆ  Aˆ  Bˆ  Cu
Aˆ  Bˆ  Bˆ  Aˆ

ˆ ( x)  Aˆ  Bˆ u ( x ) 
Dˆ  Aˆ .Bˆ  Du


Aˆ .Bˆ  Bˆ . Aˆ

Nếu: Aˆ .Bˆ  Bˆ . Aˆ thì Aˆ , Bˆ gọi là hai toán tử giao hoán với nhau


Một số tính chất của toán tử
Giao hoán tử của Aˆ , Bˆ :  Aˆ , Bˆ   Aˆ .Bˆ  Bˆ . Aˆ
Phản giao hoán tử Aˆ , Bˆ :  Aˆ , Bˆ    Aˆ .Bˆ  Bˆ . Aˆ
ˆ ( x)  v( x)  Aˆ *u * ( x)  v* ( x)
ˆ

*
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A

A

A
A
Toán tử liên hợp của :




 

*

ˆ ( x)  dx  v( x)  Aˆ  u ( x)  dx
hay  u ( x)  Av
 


*

Toán tử tự liên hợp (hermitic):
*


 


 

ˆˆ
6. AB



 Bˆ  Aˆ 


Bài tập
Cho Aˆ , Bˆ là các toán tử hermitic.
1 ˆ ˆ ˆˆ
ˆ
1. CM: F  AB  BA hermitic.
2
1 ˆ ˆ ˆˆ
ˆ
2. G  AB  BA có hermitic không? Khi nào?
2
3. CM: Aˆ n hermitic.








Tính chất hàm riêng, trị riêng
của toán tử tuyến tính tự liên hợp
• Trị riêng thực.
• Hệ hàm riêng trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn).
- Gián đoạn:

ˆ ( x)  A u ( x) 
Au
0 if n  m
n
n n
*
   um ( x)un ( x)dx   nm  
ˆ ( x)  A u ( x) 
Au
1 if n  m
m
n m

- Liên tục:

ˆ ( x)  A u ( x) 
Au
A
A
*

u
  A ( x)u A ' ( x) dx   ( A  A ')



Bài tập
BTVN: 1.23 - 1.25, 1.29
BTLT: 1.26-1.28, 1.30


Bài tập các chương sau
-

Chuyển động một chiều: 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7, 2.9,
2.11, 2.13, 2.14, 2.15, 2.18, 2.20

-

Moment động lượng: 3.4, 3.5-3.9,3.19-3.21

-

Chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm: 4.54.8, 4.10, 4.11, 4,12, 4.15, 4.17

-

Spin: 5.1, 5.3, 5.6, 5.11

-

Chuyển động trong từ trường: 6.1-6.8, 6.10

-