Chương 3:
KHÔNG GIAN VECTƠ
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com
Email: [email protected]
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 28 tháng 10 năm 2013

1


1
2

3

4

5

6

Vectơ n-chiều
Không gian vectơ
Tích vô hướng
Các khái niệm
Tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa

x + y = (0, −5, 3), −2x = (−2, 4, −4)
2x − 3y = (2, −4, 4) + (3, 9, −3) = (5, 5, 1)
3


Vectơ n-chiều

Tính chất (1)
x+y =y+x
Tính chất (2)
x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z)
Tính chất (3)
x+0=x
Tính chất (4)
x + (−x) = 0


Vectơ n-chiều

Tính chất (5)
k(lx) = (kl)x
Tính chất (6)
(k + l)x = kx + lx
Tính chất (7)
k(x + y) = kx + ky
Tính chất (8)
1.x = x


Không gian vectơ

Các khái niệm

Trong Rn cho x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ta có
Định nghĩa
Độ dài của x: ||x|| =

√
x.x =

x21 + x22 + · · · + x2n

Định nghĩa
Khoảng cách giữa x, y:
||x − y|| = (x − y).(x − y) =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2

Định nghĩa
Góc giữa x và y, kí hiệu (x,y): cos(x, y) =

x.y
||x||||y||


Không gian vectơ

Các khái niệm

Định nghĩa (Tính trực giao)
x, y trực giao nhau ⇔ x.y = 0

Giả sử b = x1 a1 + x2 a2 , xi ∈ R.
⇔ (2, 3) = x1 (1, 1) + x2 (1, 0) ⇔ (2, 3) = (x1 , x1 ) + (x2 , 0) ⇔ (2, 3) = (x1 + x2 , x1 )
x1 + x2 = 2
x1 = 3
⇔
⇔
⇔ b = 3a1 − a2
x1 = 3
x2 = −1
Vậy b là một tổ hợp tuyến tính của H.

10


Tổ hợp tuyến tính

Liên hệ giữa tổ hợp tuyến tính với HPT tuyến tính



 a1j 
 a 
 2j 
Giả sử aj = (a1j , a2j , . . . , anj ), b = (b1 , b2 , . . . , bn ). Ta kí hiệu Aj =  .  ,
 .. 


anj



Ví dụ:
Trong R3 cho u = (1, −1, 2), v = (1, 1, −1), w = (−1, −3, 4). Cho biết
x = (1, −3, 5) có phải là một tổ hợp tuyến tính của {u,v,w} hay không? Hãy
chỉ ra một cách biểu diễn của x theo u, v,w nếu có.
Giả sử x = au + bv + cw, a, b, c ∈ R.
⇔ (1, −3, 5) = (a, −a, 2a) + (b, b, −b) + (−c, −3c, 4c)
⇔
(1, −3, 5) = (a + b − c, −a + b − 3c, 2a − b + 4c)

a+b−c=1



−a
+
b − 3c = −3
⇔


 2a − b + 4c = 5




1 −1 1 
 1 1 −1 1 
 1

(A|B) =  −1 1 −3 −3  −→  0 2 −4 −2  −→




Tổ hợp tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính

Ví dụ:
Hệ H = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, −1, −1, 1), a3 = (1, −1, 1, −1),
a4 = (1, 1, −1, −1)} trong R4 có độc lập tuyến tính hay không?
Giải
Giả sử
 =0
 x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4a4 = 0, xi ∈ R ⇔ AX
1
1 
1
1 
 1 1
 1 1
 0 −2 −2 0 
 1 −1 −1 1 




A = 
 −→
 −→ 
 0 −2 0 −2 
 1 −1 1 −1 




0 0 −2 −2
0 0
0 −4
⇒ Hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (0, 0, 0, 0).
Vậy: Hệ H là hệ độc lập tuyến tính.

14


Tổ hợp tuyến tính

Sự phụ thuộc tuyến tính-độc lập tuyến tính

Ví dụ:
Hệ H = {a1 = (−1, 2, 1), a2 = (1, 1, −2), a3 = (0, 3, −1)} trong R3 độc lập hay
phụ thuộc tuyến tính? Nếu hệ phụ thuộc tuyến tính hãy tìm một phương trình
biểu diễn sự phụ thuộc đó.
Giải
Giả sử
 x1 a1 + x2 a2 + x3 a3
0 
 −1 1

1
3  −→
A =  2


Hệ có chứa vectơ không là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất (2)
Hệ có chứa 2 vectơ tỉ lệ là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất (3)
Một hệ có số vectơ nhiều hơn số chiều luôn là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất (4)
Hệ vectơ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính.
Hệ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập tuyến tính.

16


Hạng của hệ vectơ

Định nghĩa

Trong Rn cho hệ vectơ H = {a1 , a2 , . . . , am }
Định nghĩa
Hạng của H, kí hiệu là rank(H), là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ.
Mọi hệ con có nhiều hơn rankH vectơ đều là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Hệ có toàn vectơ không được quy ước có hạng bằng 0.
Ví dụ:
Tìm hạng của hệ vectơ: H = a1 = (1, −3, 2) , a2 = (0, −4, 0) , a3 = (−1, 2, −4) .
Giải:
Ta có: a2 = 2a1 + a3 nên a1 , a2 , a3 phụ thuộc tuyến tính.
Mặt khác a1 , a3 độc lập tuyến tính.
Vậy rankH = 2

17


 ..

am1
Khi đó hạng của

a12
a22
..
.

...
...
..
.

a1n
a2n
..
.










am2 . . . amn



0 7 0 −1
0 0 0 0
3 1 3 −1
19


Hạng của hệ vectơ

Tìm hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận

Tính chất (1)
Hạng của hệ bằng số vectơ của hệ ⇔ Hệ độc lập tuyến tính.
Hạng của hệ nhỏ hơn số vectơ của hệ ⇔ Hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tính chất (2)
Cho hệ H có số vectơ bằng số chiều (m=n):
rankH = n ⇔ detA

0

rankH < n ⇔ detA = 0

20


Không gian con

Định nghĩa


có x + ky = (a + kb, 3a + 3kb) ∈ L2 ⇒ L2 là một không gian con của R2 .


Không gian con

Cơ sở và số chiều của không gian con

Định nghĩa
Hệ H = {a1 , a2 , . . . , am } là một cơ sở của không gian L của Rn
H là hệ độc lập tuyến tính
⇔
Mọi vectơ trong L đều là một tổ hợp tuyến tính của H
Lưu ý:
1

Số vectơ trong một cơ sở của L không vượt quá n.

2

Số vectơ trong các cơ sở của L luôn bằng nhau.

Định nghĩa
Số vectơ trong một cơ sở của không gian L được gọi là số chiều của L, kí hiệu
là dimL.
Tính chất (1)
Nếu dimL = r thì mọi hệ có r vectơ độc lập tuyến tính của L đều là cơ sở của
L.
22



Span(H): SpanH = {x ∈ Rn : x = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am , xi ∈ R}
Định lý
SpanH là một không gian con của Rn có dim(SpanH) = rankH.
Bài toán 1:
Trong Rn cho hệ H = {a1 , a2 , . . . , am }. Hãy tìm một cơ sở và số chiều của
SpanH.
Phương pháp giải
1

Lập ma trận A có hệ vectơ dòng là H.

2

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến đổi A về dạng bậc thang
theo dòng B.

3

Hệ các vectơ dòng khác không của B là một cơ sở của SpanH.
24


Không gian con

Không gian sinh

Ví dụ:
Trong R4 cho hệ H = {a1 = (−2, 4, −2, −4), a2 = (2, −5, −3, 1), a3 = (−1, 3, 4, 1)}.
Hãy tìm một cơ sở và số chiều của SpanH.


1
5
3  −→  0 1 5 3 
−→ 
 −→ 






0 −1 −5 −3
0 −1 −5 −3
0 0 0 0
Vậy: Một cơ sở của SpanH là {(−1, 3, 4, 1), (0, 1, 5, 3)} và dimSpanH=2.

25