Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụngĐại số tuyến tính
Chương 6: Ánh xạ tuyến tính
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh
Email :
Website: www.tanbachkhoa.edu.vn;
www2.hcmut.edu.vn/~dangvvinh
Nội dung

I – Định nghĩa và ví dụ.
III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng
II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
I. Định nghĩa và ví dụ

Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng.
Định nghĩa ánh xạ
:
f X Y

, ! : ( )
x X y Y y f x
    
Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x
thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu
1 2 1 2
( ) ( )

là một ánh xạ thỏa
1.
1 2 1 2 1 2
( , ) ( ) ( ) ( )

v v V f v v f v f v
    
I. Định nghĩa và ví dụChứng tỏ ánh xạ cho bởi
2
3
:
R
R
f

2
1 2
1
3
1
3
3
( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )
x
x x x x
x x
x

3
2
( ) ( ,
3
)
2
2
2
x y x
x y x y
x y
x
y
f y
 




 
 
1 1
3 3
1
2
1
3
2
3
3 3

Cho E ={e
1
, e
2
, …, e
n
} là tập sinh của V.
Giả sử biết f(e
1
), f(e
2
), …, f(e
n
).
1 1 2 2
n n
x V x x e x e x e
      

1 1 2 2
( ) ( )
n n
f x f x e x e x e
   

1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n
f x f x e f x e f x e
   

(3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)
  
  
3
1
5
  
 
 
  


  


 

2, 3, 2
  
    
(3,1,5) ( (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1))
f f
  
   
(3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)
f f f f
  
   
(3,1,5) 2(2, 1) 3(1,2) 2( 1,1)
f

2
3
x
x
x
  
 
 
  


  


 

1 3
1 2 3
1 2
x x
x x x
x x



 


    


Đây là ánh xạ
3 3
:
f R R

o
y
z
x
(0,0,1) (0,0,1)
f

3 1
(1,0,0) ( , ,0)
2 2
f 
1 3
(0,1,0) ( , ,0)
2 2
f


1 2 1 2 3
3 1 1 3
( ) ( , , )
2 2 2 2
f x x x x x x
   
Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một
cơ sở của R

3
là: pháp véctơ của mặt
phẳng và cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng.
I. Định nghĩa và ví dụÁnh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?
Ví dụ
1.
)
,
3
2
(
)
,
(
;
:
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x

R
R
f



3.
)
1
,
2
(
)
,
(
;
:
1
2
1
2
1
2
2




x
x

f



5.
),(),(;:
2
1
2
1
2
1
2
2
xxxxxfRRf 
6
)
,
(
)
,
(
;
:
1
2
2
1
2
2

V
x
Kerf
Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x
của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0.
V W
0
Kerf
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y
của không gian véctơ W sao cho tồn tại để y = f(x).
Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính


)
(
:
|
Im
x
f
y
V
x
W
y
f




3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)Chứng minh.
Giả sử dim(Kerf) = m.Tồn tại cơ sở của nhân
1 2
, , ,
{ }
m
E e e e

Bổ sung vào E để được cơ sở của V:
1 1 1
, , , , , }
{
m n
E e e v v

Ta chứng tỏ cơ sở của Imf là:
2 1
( ), , ( )
{ }
n
E f v f v

Im : ( )
y f x V y f x
     
1 1 1 1
( )
m m n n
y f e e v v

 
   
1 1
.
er
n n
v v K f
 
   
1 1 1 1

n n m m
v v e e
   
     
1 1 1 1
0
n n m m
v v e e
   
      
Vì E
1
độc lập tt nên
1 2
0
m
  
   
Suy ra E

: ( )
x V y f x
   
Vì x thuộc V nên x là thtt của E.
1 1 2 2
( )
n n
y f x e x e x e
   
Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
n n
y x f e x f e x f e
   
1 2
( ), ( ), , ( )
{ }
n
F f e f e f e

sinh ra y.
1 2
Im ( ), ( ), , ( )
n
f f e f e f e
  
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


f R R

3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) :
( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 )
x x x x R
f x f x x x x x x x x x x x x
  
       
1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
1 2 3
( , , ) Ker
x x x x f
  
( ) 0
f x
 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ,2 3 ,3 5 ) (0,0,0)
x x x x x x x x x
       
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
2 3 0
3 5 0
x x x

3 3
:

f R R
3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) :
( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 )
x x x x R
f x f x x x x x x x x x x x x
  
       
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
Chọn cơ sở chính tắc của R
3
là
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
{ }
E

Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi
ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R
3
.
Im (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
f f f f
 
Im (1,2,3),(1,3,5),( 1, 1, 1)
f

  
1 2 3
( , , ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)
x x x x
  
   
1
2
3
2
2
x
x
x
  
  
  
  


   


  

1 2 3
3 1
2 1
3
x x x

(2,1,4)
x

 
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1)
{ }
E

Cách 2. Chọn cơ sở
Ker
x f
 
( ) 0
f x
 
Giả sử tọa độ của x trong E là
1
2
3
[ ]
E
x
x x
x
 
 


 
 
 
 
 
 
E
x
(1,1,1) 2 (1,1,2) (1,2,1)
x
  
    
( 2 , , 4 ) (2,1,4)
x
   
      
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tínhVí dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
3
3
:
f R R

2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
(1,1,1) (1,2,1);

Có thể tìm f(x) như ở ví dụ trước rồi
tìm nhân và ảnh.
I. Định nghĩa và ví dụVí dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz
quanh trục 0z một góc 30
o
ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ
hướng dương của trục 0z.
Tìm cơ sở và chiều của nhân và ảnh.
o
y
z
x
Ta giải bằng cách lập luận đơn giản sau:
Qua phép quay chỉ có mỗi véctơ 0 có
ảnh bằng 0. Vậy nhân chứa một véctơ
0, dim(Kerf) = 0, không có cơ sở.
dim(kerf) + dim(Imf) = dim (R
3
). Suy ra dim(Imf) = 3
Vậy Imf = R
3
.