ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 1
TOÁN CAO CẤP A2 ðẠI HỌC
Tài liệu tham khảo
1. Giáo trình Toán cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ðHCN TP.HCM.
3. Toán cao cấp A2 – ðỗ Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM.
4. Toán cao cấp A2 – Nguyễn ðình Trí – NXB Giáo dục.
5. Toán cao cấp A2 – Nguyễn Viết ðông – NXB Giáo dục.
6. Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục.
7. Bài tập Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục.
8. ðại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải (chủ biên) – ðHKHTN TP. HCM.

Chương 1. MA TRẬN – ðỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

§1. MA TRẬN

1.1. ðịnh nghĩa
a) Ma trận A cấp
m n
×
trên
ℝ
là 1 hệ thống gồm m.n số
(
)
1, ; 1,
ij
a i m j n
∈ = =ℝ
và ñược sắp xếp thành bảng:

… a
1n
) là ma trận dòng; n = 1,
11
1

m
a
A
a
 
 
=
 
 
 
là ma trận cột; m = n = 1, A = (a
11
) (1 phần tử).
• Tập hợp các ma trận A là
,
( )
m n
M
ℝ
, ñể cho gọn ta viết
( )
ij m n
A a
×

ma trận không.

d) Khi m = n: A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu
( )
ij n
A a
=
. Các ma trận vuông ñặc biệt:
• ðường chéo chứa a
11
, a
22
, …, a
nn
là ñường chéo chính của
A, ñường chéo còn lại là ñường chéo phụ.
• Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài ñường
chéo chính ñều bằng 0 là ma trận chéo.
• Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên ñường
chéo chính ñều bằng 1 là ma trận ñơn vị cấp n, ký hiệu I
n
.
VD 2.
2
1 0
0 1
I

 
 
 
là ma trận tam giác trên;

3 0 0
4 1 0
1 5 2
B
 
 
=
 
 
−
 
là ma trận tam giác dưới.
• Ma trận ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối xứng
qua ñường chéo chính bằng nhau (a
ij
= a
ji
).
• Ma trận phản ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối
xứng qua ñường chéo chính ñối nhau (a
ij
= –a
ji
) và tất cả các
phần tử trên ñường chéo chính ñều bằng 0.

1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ
Cho
( )
ij m n
A a
×
=
,
( )
ij m n
B b
×
=
ta có:
( )
ij ij m n
A B a b
×
± = ±
.
VD 5.
1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
−
     
+ =
     
− − −
     

×
=
.
VD 6.
1 1 0 3 3 0
3
2 0 4 6 0 12
− −
   
− =
   
− −
   
;

2 6 4 1 3 2
2
4 0 8 2 0 4
   
=
   
− −
   
.
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối ñối với phép cộng
ma trận.
• Ma trận –A là ma trận ñối của A.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 2


−
 
 
 
 
−
 
; b)
1 0 0 0
4 0 3 2
  
  
−
  
;
c)
2 0 1
1 1 1
1 1 2
2 0 3
1 3 2
 
−
 
 
−
 
 
−
 

     
− − − −
     
     
− − − −
     
; b)
1 0 1 1 2 1
2 2 0 0 3 1
3 0 3 2 1 0
− − −
  
  
− −
  
  
− −
  
và

1 2 1 1 0 1
0 3 1 2 2 0
2 1 0 3 0 3
− − −
  
  
− −

A
−
 
=
 
 
, tính A
2009
;
b) Cho
2 0
1 2
B
 
=
 
 
, tính (I
2
– B)
2009
.
VD 10. Cho A = (a
ij
) là ma trận vuông cấp 100 có các phần
tử ở dòng thứ i là (–1)
i
. Tìm phần tử a
36
của A

= λA
T
;
3) (A
T
)
T
= A;
4) (AB)
T
= B
T
A
T
;
5)
T
A A
= ⇔
A ñối xứng;
6)
T
A A
= − ⇔
A phản xứng.

1.3. Phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận
a) ðịnh nghĩa
• Cho
( )

.
– (e
2
): Nhân 1 dòng v
ớ
i s
ố

0
λ
≠
,
i i
d d
A A
λ
→
′′
→
.
– (e
3
): Thay 1 dòng b
ở
i t
ổ
ng c
ủ
a dòng
ñ

h
ữ
u h
ạ
n các PB
ð
SC dòng ta
ñượ
c ma tr
ậ
n
B t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i A, ký hi
ệ
u
B A
∼
.
3) T
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có các phép bi

 
và
1 2 3
0 1 7 /5
0 0 0
B
−
 
 
= −
 
 
 
.
Ch
ứ
ng t
ỏ

A B
∼
.

b) Ma trận sơ cấp
• Ma tr
ậ
n thu
ñượ
c t
ừ

 
 
 
 
,
1 0 0
0 5 0
0 0 1
 
 
−
 
 
 
và
1 0 0
2 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
là các ma
tr
ậ
n s
ơ
c
ấ

khác 0
ñầ
u tiên tính t
ừ
trái sang c
ủ
a 1 hàng
ñượ
c
g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử

cơ sở
c
ủ
a hàng
ñ
ó.

• Ma tr
ậ
n b
ậ
c thang là ma tr
ậ
n khác 0 c

ấ
t k
ỳ
n
ằ
m bên ph
ả
i
ph
ầ
n t
ử
c
ơ
s
ở
c
ủ
a hàng trên nó.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 3VD 13.

và
2 3 5
0 0 0
0 1 3
 
 
 
 
 
không là ma trận bậc thang.

ðịnh lý
• Mọi ma trận ñều có thể ñưa về bậc thang bằng hữu hạn
phép biến ñổi sơ cấp trên dòng.

b) Ma trận bậc thang rút gọn

• Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có phần tử
cơ sở của một dòng bất kỳ ñều bằng 1 và là phần tử khác 0
duy nhất của cột chứa nó.

VD 14.
I
n
,
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 

ℝ
sao cho AB = BA = I
n
.
Ma trận B là duy nhất và ñược gọi là ma trận nghịch ñảo
của A, ký hiệu A
–1
. Khi ñó:
A
–1
A = AA
–1
= I
n
; (A
–1
)
–1
= A.

• Nếu B là ma trận nghịch ñảo của A thì A cũng là ma trận
nghịch ñảo của B.

VD 15.
2 5
1 3
A
 
=
 


b) Tìm ma trận nghịch ñảo bằng phép biến ñổi sơ cấp
dòng

• Cho
( )
n
A M∈
ℝ
, ta tìm A
–1
như sau:
Bước 1.
Lập ma trận
(
)
n
A I
(ma trận chia khối) bằng cách ghép I
n

vào bên phải A.
Bước 2.
Dùng phép biến ñổi sơ cấp dòng ñể ñưa
(
)
n
A I
về dạng
(

0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
−
 
 
−
 
=
 
 
 
và
1 1 1
1 0 1
2 1 0
B
−
 
 
=
 
 
 
. §2. ðỊNH THỨC


( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
,
ký hiệu detA hay
A
, là 1 số thực ñược ñịnh nghĩa:

1) A cấp 1:
11 11
( ) det
A a A a
=
⇒
=
;
2) A cấp 2:
11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
 
=
⇒
= −


ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 4Chú ý
•
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
= + +

31 22 13 12 21 33 23 32 11
a a a a a a a a a
− − −
(quy tắc 6 ñường chéo).
ðặc biệt.
det I
n
= 1, det 0
n
= 0.
VD 1. Tính các ñịnh thức của:
3 2
1 4
A
−

.

2.2. Các tính chất cơ bản của ñịnh thức
• Cho ma trận vuông
(
)
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
, ta có các tính
chất cơ bản sau:
Tính chất 1
(
)
det det
T
A A
=
.
VD 2.
1 3 2 1 2 1
2 2 1 3 2 1
1 1 1 2 1 1
−
− = −
−
;


x x x
y y
y y
=
;
2 5
2 5
2 5
1
1 0
1
y y
y y
y y
=
.
Tính chất 3. Nhân 1 dòng (cột) với số thực λ thì ñịnh thức
tăng lên λ lần.
VD 5.
3 0 3 1 0 1
2 1 2 3 2 1 2
3 1 7 3 1 7
− −
− = −
;
3 3
3 3
3 3
1 1
( 1) 1 1

.
Tính chất 5
• ðịnh thức sẽ không ñổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) với λ
lần dòng (cột) khác.
VD 7. Tính các ñịnh thức:
1 2 3
1 2 1
2 3 4
− −
;
1 1
1 1
1 1
x
x
x
.

Chú ý
• Phép biến ñổi
1 2 1
2
1 5 0 7
2 3 1 3
d d d→ −
−
=
là sai do dòng 1 ñã
nhân với số –2.



b) Khai triển theo cột thứ j
1 1 2 2
1
det
, ( 1) det( )
j j j j nj nj
n
i j
ij ij ij ij
i
A a A a A a A
a A A M
+
=
= + + +
= = −
∑
.

VD 8. Tính ñịnh thức
1 0 0 2
2 1 1 2
1 2 2 3
3 0 2 1

bằng cách khai triển theo dòng 1; cột 2.

VD 9. Áp dụng tính chất và ñịnh lý Laplace, tính ñịnh thức:
1 1 1 2

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 52) det(AB) = detA.detB (ñịnh thức của tích hai ma trận).
3)
det .det
0
n
A B
A C
C
=
, với
, , ( )
n
A B C M∈
ℝ

(ñịnh thức chia khối).
VD 10. a)
1 2 3 4
0 2 7 19 1 2 3 0
0 0 3 0 0 2 0 1
0 0 0 1
−
=
− −
−
;

1 2 3 1 2 1 1 2 1
− −
=
−
.

2.4. Ứng dụng ñịnh thức tìm ma trận nghịch ñảo
a) ðịnh lý
• Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0.
b) Thuật toán tìm A
–1• Bước 1
Tính det A. Nếu det A = 0 thì kết luận A không khả nghịch,
ngược lại làm tiếp bước 2.

• Bước 2
Lập ma trận
(
)
(
)
T
T
ij ij
n n

1 2 3
B
 
 
=
 
 
 
.

Nhận xét

• Nếu
0
ac bd
− ≠
thì:
1
1
a b c b
d c d a
ac bd
−
−
   
=
   
−
−
   

ướ
c r(A) = 0.

c) Phương pháp tìm hạng của ma trận
ðịnh lý
• H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n b
ậ
c thang (dòng) b
ằ
ng s
ố
dòng khác 0
c
ủ
a ma tr
ậ
n
ñ
ó.
• Cho A là ma vuông c
ấ
p n,
( ) det 0
r A n A

ng c
ủ
a ma tr
ậ
n
2 1 1 3
0 1 0 0
0 1 2 0
0 1 1 4
A
−
 
 
−
 
=
 
 
− −
 
. VD 13.
Tìm h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ

A
m
− −
 
 
− − −
 
=
 
 
−
 
. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 6

§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1. ðịnh nghĩa
• Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và m phương trình
có dạng:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2


m n
m mn
a a
A a
a a
×
 
 
= =
 
 
 
(ma trận hệ số),

( )
1
1

T
m
m
b
B b b
b
 
 
= =
 
 
 

α α α
=
ñược gọi là nghiệm của (1) nếu
A B
α
=
. VD 1. Cho hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3
2 3
2 4 4
2 4 3
2 7 5
x x x x
x x x
x x
− + + =


+ + = −


− =


ðưa hệ về dạng ma trận:
1

• Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Xét ma trận mở
rộng
( )
11 12 1 1
1 2
n
m m mn m
a a a b
A A B
a a a b
 
 
= =
 
 
 
.
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
(
)
( )
r A r A r
= =
.
Khi ñó:
1) r = n: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất;
2) r < n: Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm phụ

ðặt
11 1 1
1

det

j n
n nj nn
a a a
A
a a a
∆ = =
,

11 1
1

, 1,

j n
j
n j nn
a b a
j n
a b a
∆ = =
(thay cột j trong A bởi
cột tự do).

Khi ñó, ta có các trường hợp:


VD 3. Giải hệ phương trình sau bằng ñịnh thức:
2 1
3 3
2 1
x y z
y z
x y z
+ − =


+ =


+ + = −

.

VD 4. Tùy theo tham số m, giải và biện luận hệ phương
trình:
2
1
mx y z
x my z m
x y mz m

+ + =

+ + =


0 0 , 0
b b
≠
thì kết luận hệ vô
nghiệm.
4) Gặp hệ giải ngay ñược thì không cần phải ñưa
(
)
A B
về
bậc thang.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 7
VD 5. Giải hệ phương trình:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
6 2 5 2 4
2 12 6 18 5 5
3 18 8 23 6 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + − − = −

a) ðịnh nghĩa
• Hệ pttt thuần nhất là hệ pttt có dạng:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0

0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
AX
a x a x a x
θ
+ + + =


+ + + =

⇔ =



+ + + =

(2).
Nhận xét

AX
θ
=
(2).
Khi
ñ
ó:
1) Hi
ệ
u hai nghi
ệ
m b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a (1) là nghi
ệ
m c
ủ
a (2);
2) T
ổ
ng 1 nghi
ệ
m b
ấ
t k
ỳ

) trang b
ị
hai
phép toán

( , ) ( , )
V V V V V
x y x y y x
λ λ
× → × →
+
ℝ
֏ ֏
th
ỏ
a 8 tính ch
ấ
t sau:
1) x + y = y + x;
2) (x + y) + z = x + (y + z);
3)
! :
V x x x
θ θ θ
∃ ∈ + = + =
;
4)
( ) :( ) ( )x V x x x x
θ
∃ − ∈ − + = + − =

ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n
nh
ấ
t là không gian vector.
T
ậ
p
{
}
( )
n
V A M= ∈
ℝ
các ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n là kgvt.
{
}
1 2
( , , , ) , 1,
n i
V u x x x x i n

a V n
ế
u:
( ) , , , x y W x y W
λ λ
+ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
ℝ
.
VD 2.
T
ậ
p
{
}
W
θ
=
là kgvt con c
ủ
a m
ọ
i kgvt V.
Trong
n
ℝ
, t
ậ
p
{
}

ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a
n vector u
i
.
• H
ệ
n vector {u
1
, u
2
,…, u
n
}
ñượ
c g
ọ
i là
ñộ
c l
ậ
p tuy

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính thì
ñượ
c g
ọ
i là ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính.
VD 1.
Trong
2
ℝ
, h
ệ
{u
1
= (1;–1), u
2
= (2; 3)} là
ñ
ltt.
Trong

n vector ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính
⇔ ∃
1 vector là t
ổ
h
ợ
p
tuy
ế
n tính c
ủ
a n – 1 vector còn l
ạ
i.
VD 2.
N
ế
u x
1
= 2x
2
– 3x
3
thì h

ậ
n c
ủ
a h
ệ
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính thì h
ệ
ph
ụ

thu
ộ
c tuy
ế
n tính.

2.2. Hệ vector trong
n
ℝ

ðịnh nghĩa
• Trong
n
ℝ

• Trong
n
ℝ
, hệ
{
}
1 2
, , ,
m
u u u
ñộc lập tuyến tính khi và chỉ
khi r(A) = m (bằng số phần tử của hệ).
• Trong
n
ℝ
, hệ
{
}
1 2
, , ,
m
u u u
phụ thuộc tuyến tính khi và
chỉ khi r(A) < m.
VD 3. Xét sự ñltt hay pttt của các hệ:
B
1
= {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B
2
= {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}.

– Trong
n
ℝ
, hệ
E = {e
1
= (1; 0;…; 0), e
2
= (0; 1;…; 0), …, e
n
= (0;…; 0; 1)}
là cơ sở chính tắc.
– Trong
2
ℝ
, hệ B = {u
1
= (1;–1), u
2
= (2; 3)} là cơ sở. 3.2. Số chiều của kgvt

ðịnh nghĩa
• Kgvt V ñược gọi là có n chiều, ký hiệu dimV = n, nếu
trong V có ít nhất 1 hệ gồm n vector ñltt và mọi hệ gồm n+1
vector ñều pttt.

ðịnh lý

1
,…, x
n
).
Ký hiệu
[ ]
1

B
n
x
x
x
 
 
=
 
 
 
.
• ðặc biệt, tọa ñộ của vector x ñối với cơ sở chính tắc E là
[x]
E
= [x] (tọa ñộ cột thông thường của x).
VD 2. Trong
2
ℝ
cho cơ sở B = {u
1
= (2;–1), u

(
)
1 1 1
1 2

n
B B B
v v v
ñược gọi là ma trận chuyển
cơ sở từ B
1
sang B
2
. Ký hiệu
1 2
B B
P
→
.
– ðặc biệt, nếu E là cơ sở chính tắc thì:
[
]
[
]
[
]
(
)
1
1 2

= (0;–1)},
B
2
= {v
1
= (2;–1), v
2
= (1; 1)} và
[ ]
2
1
2
B
x
 
=
 
 
.
a) Tìm
1 2
B B
P
→
; b) Tìm
[
]
1
B
x

1 2 2 1
1
B B B B
P P
−
→ →
=
. Hệ quả
(
)
1 2 1 2 1 2
1
B B B E E B E B E B
P P P P P
−
→ → → → →
= =
.

VD 4. Giải lại VD 3.

3.4. Không gian con sinh bởi 1 hệ vector

• Trong kgvt V cho hệ m vector S = {u
1
,…, u
m

VD 5.
Trong
4
ℝ
cho hệ vector
S = {u
1
=(–2; 4;–2;–4), u
2
= (2;–5;–3; 1), u
3
= (–1; 3; 4; 1)}.
Tìm 1 cơ sở và dimspanS.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 9
§4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

4.1. ðịnh nghĩa
• Ánh xạ :
n m
f →
ℝ ℝ
thỏa
( ) ( ) ( )

λ
λ λ
+ = +

∀ ∈ ∀ ∈

=

ℝ ℝ

ñược gọi là phép biến ñổi tuyến tính.
VD 1.
f(x
1
; x
2
; x
3
) = (x
1
–x
2
+x
3
; 2x
1
+3x
2
) là AXTT từ
3 2

2
) không là PBðTT từ
2 2
→
ℝ ℝ
.

Chú ý
ðiều kiện
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x y f x f y
f x f x
λ λ
+ = +


=


( ) ( ) ( ) , ,
n
f x y f x f y x y
λ λ λ
⇔ + = + ∀ ∈ ∀ ∈
ℝ ℝ
.
VD 2. Các PBðTT thường gặp trong mặt phẳng:
1) Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox, Oy:
f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y).

}.
Ma trận cấp
m n
×

[ ] [ ]
[ ]
(
)
2 2 2
1 2
( ) ( ) ( )
n
B B B
f u f u f u
ñược
gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B
1
, B
2
.
Ký hiệu
2
1
[ ]
B
B
f
hoặc A.
Cụ thể, nếu

2
1
11 12 1
21 22 2
1 2[ ]n
n
B
B
m m mn
a a a
a a a
f
a a a
 
 
 
=
 
 
 
.
• Cho PBðTT
:
n n

f
hoặc [f] hoặc A.
Chú ý
• Nếu A là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B
1
, B
2
thì
1 2 1 2
( , , , ) ( )
T
n n
f x x x A x x x
=
. VD 3. a) Cho AXTT
f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t).
Tìm
3
4
[ ]
E
E
f
.
b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm
3
2

 
 
 
.
Tìm ma trận f trong hai cơ sở B
1
= {u
1
= (1; 1), u
2
= (1; 2)}
và B
2
= {v
1
= (1; 0; 1), v
2
= (1; 1; 1), v
3
= (1; 0; 0)}.

b) Ma trận ñồng dạng

ðịnh nghĩa
• Hai ma trận vuông A, B cấp n ñược gọi là ñồng dạng với
nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P
–1
AP.

ðịnh lý

/ /
1 2
B B
P P
→
′
=
thì
( )
1
2 1
A P A P
−
′
=
.
• ðặc biệt, nếu PBðTT
:
n n
f →
ℝ ℝ
có ma trận trong hai
cơ sở B
1
, B
2
lần lượt là A, B và
1 2
B B
P P

. c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT
• Cho AXTT
:
n m
f →
ℝ ℝ
và hai cơ sở lần lượt là
B
1
= {u
1
, u
2
,…, u
n
} và B
2
= {v
1
, v
2
,…, v
m
}.

– Ký hiệu:
[

(
)
[ ]
(
)
2
1
B
B
S Q I f→
.
VD 7. Tìm lại các ma trận f trong VD 4 và VD 6.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 10
§5. CHÉO HÓA MA TRẬN

5.1. Giá trị riêng, vector riêng của PBðTT
a) ðịnh nghĩa
Cho PBðTT :
n n
f →
ℝ ℝ
có ma trận trong cơ sở
B = {u
1
, u
2

• Bước 1. Giải phương trình ñặc trưng
0
A I
λ
− =
ñể tìm
giá trị riêng λ.

• Bước 2. Giải hệ phương trình
(
)
A I x
λ θ
− =
, nghiệm
không tầm thường là vector riêng.
VD 1. Cho
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A
 
 
=
 
 
 
.
Tìm giá trị riêng và vector riêng của A.


n n
f →
ℝ ℝ
, nếu có một cơ sở sao cho ma
trận của f là ma trận ñường chéo thì ta nói f chéo hóa ñược.

• Ma trận vuông A là chéo hóa ñược nếu nó ñồng dạng với
ma trận ñường chéo D, nghĩa là P
–1
AP = D.
Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A.
VD 3. Cho
0 0 0
0 1 0
1 0 1
A
 
 
=
 
 
 
, xét ma trận:

1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0

bội và số chiều của tất cả không gian con riêng bằng số bội
của giá trị riêng tương ứng.

c) Thuật toán chéo hóa ma trận
• Bước 1. Giải phương trình ñặc trưng ñể tìm các giá trị
riêng của A.
1) Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo
hóa ñược.
2) Giả sử A có k giá trị riêng phân biệt λ
1
, λ
2
,…, λ
k
với số
bội tương ứng n
1
, n
2
,…, n
k
. Khi ñó:
a) n
1
+ n
2
+…+ n

2) Nếu dimE(λ
i
) = n
i
với mọi λ
i
thì kết luận A chéo hóa
ñược. Ta làm tiếp bước 3.
• Bước 3. Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của
E(λ
i
). Khi ñó, P
–1
AP = D với D là ma trận ñường chéo có
các phần tử trên ñường chéo chính lần lượt là λ
i
(xuất hiện
liên tiếp n
i
lần).
VD 4. Chéo hóa các ma trận:
3 0
8 1
A
 
=
 
−
 
,

 
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 11
Chương 3. DẠNG TOÀN PHƯƠNG

§1. KHÁI NIỆM DẠNG TOÀN PHƯƠNG
1.1. Dạng toàn phương tổng quát

ðịnh nghĩa
• Hàm số n biến số x = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
:
n
Q →
ℝ ℝ

1 2
A
−
 
=
 
−
 
. VD 2. Cho dạng toàn phương 3 biến
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3
( ) 2 3 6
Q x x x x x x x x
= + − − +
.
Tìm ma trận A.
1.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phương
ðịnh nghĩa
• Dạng chính tắc là dạng toàn phương trong
n
ℝ
chỉ chứa
bình phương của các biến
2

Q x x x x
= − −
.
Tìm ma trận A.

1.3. Dạng toàn phương xác ñịnh dấu

a) ðịnh nghĩa
• Dạng toàn phương Q(x) là xác ñịnh dương nếu:
( ) 0, ( )
n
Q x x x
θ
> ∀ ∈ ≠
ℝ
.
• Dạng toàn phương Q(x) là xác ñịnh âm nếu:
( ) 0, ( )
n
Q x x x
θ
< ∀ ∈ ≠
ℝ
.
• Dạng toàn phương Q(x) là nửa xác ñịnh dương (âm) nếu:
( ) 0, ( ( ) 0, )
n n
Q x x Q x x≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
ℝ ℝ
.

1
k
k
k kk
a a
D
a a
=

(1 )
k n
≤ ≤
ñượ
c g
ọ
i là
ñị
nh th
ứ
c con
chính c
ủ
a A (A có n
ñị
nh th
ứ
c con chính).

ươ
ng Q(x) c
ủ
a
n
ℝ
xác
ñị
nh âm khi và ch
ỉ

khi các
ñị
nh th
ứ
c con chính c
ấ
p ch
ẵ
n d
ươ
ng, c
ấ
p l
ẻ
âm. §2. ðƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Phương pháp chung

n vuông không suy bi
ế
n,
det 0
P
≠
) sao cho
D = P
T
AP có d
ạ
ng chéo. Khi
ñ
ó:
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
T T
Q x x A x y D y
= =
(d
ạ
ng chính t
ắ
c theo bi
ế
n y).

2.1. Thuật toán Lagrange
Cho d
ạ

ử

11
0
a
≠
, ta tách t
ấ
t c
ả
các s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a x
1

trong Q(x) và thêm (b
ớ
t)
ñể
có d
ạ
ng:
( )
2
11 1 12 2 1 1 2 3
11

.
ðổ
i bi
ế
n ng
ượ
c
( )
1 1 12 2 1
11
1

n n
x y a y a y
a
= − − −
,

(
)
2,
i i
x y i n
= =
.
V
ớ
i bi
ế
n m

12
0
a
≠
, ta ñổi biến
1 1 2
2 1 2
( 3, , )
i i
x y y
x y y
x y i n
= +


= −


= =

. Khi ñó,
2 2
12 1 12 2
2 2
Q a y a y
= − +
có hệ số của
2
1
y

A a
=
th
ỏ
a
0, 1,
k
D k n
≠ ∀ ∈
. V
ớ
i j > i, ta
ñặ
t D
j–1,i
là
ñị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma
tr
ậ
n có các ph
ầ
n t
ử
n
ằ

x y b y b y b y b y
x y b y b y b y
x y
= + + + + +


= + + + +




=

, v
ớ
i
1,
1
( 1)
j i
i j
ji
j
D
b
D
−

ươ
ng
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
2 3 4
Q x x x x x x x
= + + + +
v
ề
d
ạ
ng chính t
ắ
c. Tìm P. 2.3. Thuật toán chéo hóa trực giao

a) ðịnh nghĩa
• Ma tr
ậ
n vuông P
ñượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n tr
ự
c giao n

– N
ế
u
(
)
ij
n
P a
=
là ma tr
ậ
n tr
ự
c giao thì :
2
1
1
n
ij
i
a
=
=
∑
(t
ổ
ng bình ph
ươ
ng c
ộ

2 2 2
1 1 2 2

n n
Q y y y
λ λ λ
= + + +
b
ằ
ng phép
ñổ
i
bi
ế
n [x] = P[y], v
ớ
i P là ma tr
ậ
n làm chéo hóa tr
ự
c giao A
và các
i
λ
là các giá tr
ị
riêng c
ủ
a A.


=
,
2 1
2 2 1
1 1
u v
v u v
v v
= −
, 3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
u v u v
v u v v
v v v v
= − −
,…
(ký hi
ệ
u
u v
là tích vô h
ướ
ng c
ủ
a u và v).
2) Chu

]).

VD 4.

ðư
a d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
6 6 5 4 2 2
Q x x x x x x x x x
= + + − − −
v
ề
d
ạ
ng chính
t
ắ
c. Tìm P. Cho bi
ế
t A có
1 1
3, (1;1;1);
u
λ
= =

p l
ạ
i
các bi
ế
n
ñổ
i cùng ki
ể
u trên các c
ộ
t c
ủ
a
(
)
A I

ñể

ñư
a A v
ề

d
ạ
ng chéo. Khi
ñ
ó, I s
ẽ

ế
n [x] = P[y] ta có
2 2 2
1 1 2 2

n n
Q y y y
λ λ λ
= + + +
.
VD 5.

ðư
a d
ạ
ng toàn ph
ươ
ng
1 2 1 3 2 3
2 4 6
Q x x x x x x
= − +
v
ề

d
ạ
ng chính t
ắ
c. Tìm P.

2
+ 2Bxy + Cy
2
+ 2Dx + 2Ey + F = 0 (1).
Trong
ñ
ó, A
2
+ B
2
+ C
2
> 0.
• Các d
ạ
ng chính t
ắ
c c
ủ
a
ñườ
ng b
ậ
c hai:
1)
2 2
2 2
1
x y
a b

ẳ
ng c
ắ
t nhau);
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 13 5)
2
y a
=
, a > 0 (cặp ñường thẳng song song);
6)
2
0
y
=
(cặp ñường thẳng trùng nhau).
• Các ñường bậc hai có phương trình dạng 1), 2) và 3) ñược
gọi là không suy biến.

b) Nhận biết các ñường Conic
• Cho (C) là ñường bậc hai có phương trình (1).
ðặt
A B D
Q B C E
D E F
 
 

ng hyperbol
det 0
Q
⇔ <
;
3) (C) là
ñườ
ng parabol
det 0
Q
⇔ =
;
4) (C) là
ñườ
ng tròn
0, 0
A C B
⇔ = ≠ =
.
c) Phương pháp lập phương trình chính tắc của ñường
bậc hai
• Gi
ả
s
ử

ñườ
ng b
ậ
c hai (C) có ph

c giao Q(x, y) nh
ờ
phép quay
thích h
ợ
p trong h
ệ
t
ọ
a
ñộ

ñ
ang xét.
• B
ướ
c 2. T
ị
nh ti
ế
n h
ệ
t
ọ
a
ñộ
m
ộ
t cách thích h
ợ

2 4 3/ 2 3
3/ 2 7
Q r Q
E
−
 
 
= − − ⇒ =
 
 
− −
 ⇒
(C) không suy bi
ế
n.

1 2
det 0
2 4
Q Q
−
 
= ⇒ = ⇒
 
−
 
(C) là

2 8
Q
 
=
 
 

1 2
5 5
2 1
5 5
P
 
−
 
 
⇒ =
 
 
 
là ma tr
ậ
n tr
ự
c giao chéo hóa Q.
Quay quanh O m
ộ
t góc
ϕ
sao cho

= −




′ ′
= +


.
Khi
ñ
ó, (C) có ph
ươ
ng trình:
2 2
144 8
9 4 80 0
5 5
x y x y
′ ′ ′ ′
+ − + + =

2 2
8 1
9 4 36
5 5
x y
   
′ ′

8
5
1
5
X x
Y y

′
= −




′
= +


thì
2 2
( ): 1
4 9
X Y
C
+ =
(elip).
3.2. Mặt bậc hai trong không gian tọa ñộ Oxyz
a) ðịnh nghĩa

2
+ 2Gx + 2Hy +
2Kz + L = 0(2).
Trong
ñ
ó A, B, C, D, E, F không
ñồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng 0.
• Các d
ạ
ng chính t
ắ
c c
ủ
a m
ặ
t b
ậ
c hai:
1)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =

+ − =
(nón eliptic);
5)
2 2
2 2
2
x y
z
a b
+ =
(parabolit eliptic);
6)
2 2
2 2
2
x y
z
a b
− =
(parabolit hyperbolic – yên ng
ự
a);
7)
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
(m

b) Nhận biết các mặt bậc hai
• Cho (S) là mặt bậc hai có phương trình (2).
ðặt
A B C
Q B D E
C E F
 
 
=
 
 
 
và
A B C G
B D E H
Q
C E F K
G H K L
 
 
 
=
 
 
 
, ta có:
(S) không suy biến

ồ
i l
ậ
p
ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c (S):
22x
2
+ 8xy + 28y
2
+ 15z
2
– 112x – 184y – 30z + 343 = 0.

Giải.

Ta có
22 4 0
4 28 0
0 0 15
Q
 
 
=
 
 
 

nh lý Sylvester, Q có
D
1
= 22 > 0; D
2
= 600 > 0; D
3
= 9000 > 0 nên Q xác
ñị
nh
d
ươ
ng. V
ậ
y (S) là m
ặ
t elipxoit. Ta có:
1 2
0
5 5
22 4 0
2 1
4 28 0 0
5 5
0 0 15
0 0 1
Q P

2 1
5 5
x x y
y x y
z z

′ ′
= −



′ ′
= +



′
=


.
Khi
ñ
ó, (S) có ph
ươ
ng trình:

2 2 2
480 40
30 20 15 30 343 0

t
ọ
a
ñộ
:
8
5
1
5
1
X x
Y y
Z z

′
= −



′
= −



′
= −



thì