Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụngĐại số tuyến tính
Chương 5: Không gian Euclid
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (12/2007)

Nội dung

5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.
5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.
5.2 – Bù vuông góc của không gian con.
5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.
5.1
Tích vô hướngĐịnh nghĩa tích vô hướng
Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho
mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký
hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:
a.
( , ) ( , ) ( , )
u v V u v v u
  
b.
( , ,w V) ( , ) ( , ) ( , )
u v u v w u w v w
    
c.

u v
  
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ là
(2,1), (1, 1)
u v
  
( , ) ((2,1),(1, 1))
u v
 
2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10
       
5.1.
Tích vô hướngVí dụ
2 2
1 1 1 2 2 2 2
( ) ; ( ) [x].
p x a x b x c q x a x b x c P       
Trong không gian cho qui tắc
2
[x]
P
1
0
( , ) ( ) ( )
p q p x q x dx



|| || ( , )
u u u

Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị.
Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị.
Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa.
5.1.
Tích vô hướngBất đẳng thức tam giác.
Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.
|| || || || || ||

u v u v
  
Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz
Trong không gian Euclid V, ta có bất đẳng thức sau
| ( , ) | || ||.|| ||
u v u v

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính.
5.1.
Tích vô hướngĐịnh nghĩa khoảng cách giữa hai véctơ
Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V, khoảng cách
giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ
u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v||

(2,1,0), (3, 2,4)
u v
  
1 1 1 2 2 1 2 2 3 3
5 2 2 3
x y x y x y x y x y
    
2. ( , ) ((2,1,0),(3, 2,4))

u v
 
5.2.3 2.2.( 2) 2.1.3 3.1.( 2) 0.4
      
( , ) 22.
u v

Trong không gian cho qui tắc
5.1.
Tích vô hướngVí dụ
1 2 3 3 1 2 3 3
( , , ) ; ( , , )
x x x x R y y y y R
     
Trong không gian cho qui tắc
3
R
1 2 3 1 2 3

x x x x R y y y y R
     
Trong không gian cho qui tắc
3
R
1 2 3 1 2 3
( , ) (( , , ),( , , ))
x y x x x y y y

1 1 1 2 2 1 2 2 3 3
5 2 2 3
x y x y x y x y x y
    
4. Tìm khoảng cách giữa hai véctơ
(1,2,1) (3,0,2)
vaø
u v
 
( , ) || ||
d u v u v
 
( , )
u v u v
  
(( 2,2, 1),( 2,2, 1))
    
( , ) 5.( 2).( 2) 2.( 2).2 2.2.( 2) 3.2.2 1.1
d u v
        
( , ) 17

cos
|| ||.|| ||
u v
u v


12 12
6. 31 186
 
12
arccos
186
a 
5.1.
Tích vô hướngCho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P
2
[x], đặt
1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
1
1
( , ) ( ) ( )
p q p x q x dx



2. Tính (p,q) với
2

p q p x q x dx



3. Tìm độ dài của véctơ
( ) 2 3
p x x
 
|| || ( , )
p p p

1
1
( ). ( )
p x p x dx



1
2
1
(2 3)
x dx

 

62
3

5.1.

(3 1)
x dx

 

2 2

5.1.
Tích vô hướngCho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P
2
[x], đặt
1
1
( , ) ( ) ( )
p q p x q x dx



5. Tính góc giữa hai véctơ
2
( ) ; ( ) 2 3
p x x x q x x
   
( , )
cos
|| ||.|| ||
p q


Định nghĩa họ trực giao
Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ
trực giao, nếu
( , ) ( ) .
thì
x y M x y x y
   
Định nghĩa họ trực chuẩn
Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ
trực chuẩn, nếu
1.
tröïc giao.
M
2. || || 1.
( )
x M x
  
5.1.
Tích vô hướngMệnh đề
Véctơ x vuông góc với không gian con F khi và chỉ khi x
vuông góc với tập sinh của F.
Chứng minh.
Hiển nhiên.
Giả sử x vuông góc với tập sinh
1 2
, , , .

5.1.
Tớch vụ hngTrong khụng gian R
3
vi tớch vụ hng chớnh tc cho
khụng gian con
Vớ d

1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
( , , )
2 3 0
x x x
F x x x
x x x






cho vộct x = ( 2, 3, m). Tỡm tt c m x vuụng gúc vi F.
Bc 1. Tỡm tp sinh ca F
{(4,-3,1)}
Bc 2.
vuoõng goực vụựi taọp sinh cuỷa .

F

2. dim( ) dim( ) dim

F F V

 
Cho không con F của không gian Euclid V. Khi đó
5.2.
Bù vng góc của khơng gian conBước 1. Tìm một tập sinh của F. Giả sử đó là
Bước 2. Tìm khơng gian con bù vng góc.
Các bước tìm cơ sở và chiều của khơng gian
F

1 2
, , ,
{ }
m
f f f
y F

 
y F
 
vuông góc với tập sinh của
y F











là không gian nghiệm của hệ.
F

0.
hệ thuần nhất AX
 
5.2.
Bù vuông góc của không gian conVí dụ. Cho là không gian
con của R
3
. Tìm cơ sở và chiều của .
(1,1,1),(2,1,0),(1,0, 1)
F
  
F

Giải.
1 2 3


  




(1, 2,1)
F

   
cơ sở: {(1,-2,1)}; Dim =1.
F

1 2 3
1 2
1 3
0
2 0
0
x x x
x x
x x
  


  


 


x
x
x






  




Bước 2. Tương tự như ở ví dụ trước.
Vậy tập sinh của F là {(2,-3,1)}
1 2 3
1 2 3
0
2 0
x x x
x x x
  



  

(2 , 3 , ) (2, 3,1)
x

1
( ,0) 0
u
 
1 1 1 2 1 2 1
( , ) ( , ) ( , ) 0
m m
u u u u u u
  
    
1 1 1
( , ) 0
u u

 
vì S không chứa véctơ 0 nên
1 1
( , ) 0
u u

1
0

 
Tương tự ta chứng minh được
2 3
0
m
  
   