Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán ứng dụng

Chương 1: Ma trận
Gi
ả
ng viên: TS.
Đặ
ng V
ă
n Vinh
[email protected]
NỘI DUNG

I. Định nghĩa ma trận và ví dụ
III. Các phép toán đối với ma trận
II. Các phép biến đổi sơ cấp
IV. Hạng của ma trận
V. Ma trận nghịch đảo
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.Định nghĩa ma trận
Ma trận cở m
x
n là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có m
hàng và n cột .
Ma trận A cở mxn






Hàng i
Cột j
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.Ví dụ 1.
3
2
502
1
4
3







A
Đây là ma trận thực cở 2x3.
Ma trận A có 2 hàng và 3 cột.
5
;
0
;
2
;











ii
i
A
Tập hợp tất cả các ma trận cở m
x
n trên trường K được ký hiệu
là M
m
x
n
[K]
Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu bởi


n
m
ij
a
A













5000
3000
2
1
1
2
B
Không là ma trận
bậc thang
Ví dụ
5
4
00000
52140
62700
2

00000
52000
41700
2
2
0
3
1















A
Là ma trận dạng bậc
thang





Định nghĩa ma trận chuyển vị


n
m
ij
a
A


Ví dụ
3
2
904
3
1
2








A
2
3
93
01




A
Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký hiệu
bởi
[K]
n
M
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

2 3 1 1
3 4 0 5
2 1 3 7
2 1 6 8

 
 
 

 
 

 
Các phần tử a
11
, a
22
,…,a
nn

ij
0,
a i j
  
Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới
nếu
Định nghĩa ma trận tam giác dưới
2 0 0
4 1 0
5 7 2
A
 
 

 
 

 


ij
n n
A a


ij
0,
  
a i j
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.











100
010
001
I
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

Ma trận ba đường chéo là ma trận các phần tử nằm ngoài ba
đường chéo (đường chéo chính, trên nó một đường, dưới nó một
đường) đều bằng không.
Định nghĩa ma trận ba đường chéo.




















073
741
312
A
Ma trận vuông A thỏa a
ij
= - a
ji
với mọi i và j (tức là A = -A
T
)
được gọi là ma trận phản đối xứng.
Định nghĩa ma trận phản đối xứng









Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột.
Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản,
thường dùng nhất!!!
II. Các phép biến đổi sơ cấp.Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các
phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
Định lý 1
Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được
nhiều ma trận bậc thang khác nhau
Chú ý
II. Các phép biến đổi sơ cấp
.Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau
đây về ma trận dạng bậc thang.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1

 
 

 

 
 


 
4 4 1
 

h h h
2 2 1
2
 

h h h
3 3 1
3 

h h h
4 4 3
1 1 1 2 1
0 1 1 0 3
0 0 1 1 4
0 0 0 0 0
 

 
 
 

 
 
 
h h h

0 0 1 1 4
 
 

 
 
 

 
 
  
 
h h h
h h h
II. Các phép biến đổi sơ cấp.Nếu dùng các biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thang
U, thì U được gọi là dạng bậc thang của A.
Định nghĩa
Cột của ma trận bậc thang A được gọi là cột cơ sở nếu cột đó
chứa phần tử cơ sở
Định nghĩa
1 2 0 2
0 0 1 3
0 0 0 7
A

 
 





741
623
;
503
421
BA







1244
10
0
2
BA
Ví dụ
III. Các phép toán đối với ma trậnPhép nhân ma trận với một số.
Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần
tử của ma trận.


( ) ; ( )
pij m i
p
j n
A a B b
 
 
nmij
c
C
AB



)
(
với
pjipjijiij
b
a
b
a
b
a
c






 



11 12 13
21 22 23
1 2 2
2 1 4
3 0 1
4 1 0
2 4 3
c c c
A B
c c c

 

 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
III. Các phép toán đối với ma trận


c



2 1 4

1
3
2
 
 
 
 
 
2 1 ( 1) 3 4 2 7
       
12 13
21 22 23
7
c c
c c c
 
 
 
III. Các phép toán đối với ma trận2 1 1
;
4 1 3

4 3
a b
a b

   
 
   

   
2 1
4 3
a b
a b
 



 

2 1
,
3 3
a b
  
2/ 3
Vaäy
1/ 3
X
 
