CHƯƠNG IV: CHUỖI
§1. CHUỖI SỐ
1.CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.CHUỖI ĐAN DẤU
3.CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ
§2. CHUỖI LŨY THỪA
1.CHUỖI LŨY THỪA
2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Định nghĩa: Cho dãy số {u
n
}. Ta gọi tổng tất cả các
số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN)
1
n
n
u
¥
=
å
là chuỗi số
Ta gọi: 1. u
n
là số hạng tổng quát của chuỗi
2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số
hạng đầu tiên : S
n
=u
1
+u
2

2
n
n
n
u
-
Þ =
2 3 4
2 2 2 2

1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
+ + + +
2
!
n
n
u
n
Þ =
Ví dụ: Tính số hạng u
n
của các chuỗi
1
2
4 1
n
n
n
¥
=

-
Þ = = = =
+
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi
2
1
n
n
S q q q= + + + +
, 1
1
, 1
1
n
n q
q
q
q
ì
=
ï
ï
ï
=
í
-
ï
¹
ï

=
å
Vậy chuỗi cấp số nhân
0
n
n
q
¥
=
å
hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi
0
1 1
3 5
n n
n
¥
=
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
å

-
- = - = =-
-
å å
Vậy:
0
1 1 3 5 1
2 4 4
3 5
n n
n
¥
=
æ ö
÷
ç
- = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
å
§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của
2
1
1
4 1
n

æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + - + - + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
- +
1
2 1
2 1
n
S
n
= -
+
2
1
1 1
lim
2
4 1
n
n
n
S S
n
¥

n
S n n= - + - + + + -
ln( 1)
n
S n= +
Ta có:
lim lim ln( 1)
n
n n
S S n
®¥ ®¥
= = + = ¥
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ
Điều kiện cần của sự hội tụ :
1
n
n
u
¥
=
å
Chuỗi hội tụ thì u
n
→0
Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi
số phân kỳ bằng cách chứng minh
Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht
1
, vì lim lim 1 0

1
, vì lim lim 1 0
( 1) ( 1)
n
n n
n n
n
n n
u
n n
¥
®¥ ®¥
=
= =- ¹
- - - -
å
1
( 1) ( 1)
, vì lim 1 0
n n
n
n
n n
n n
¥
®¥
=
- + - +
= ¹
å

= =
+ = +
å å
Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK
Khi đó, dãy tổng riêng {S
n
} là dãy số không giảm nên
chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {S
n
} bị chặn trên
Chuỗi số
1
, 0
n n
n
u u
¥
=
³
å
với tất cả các số hạng
không âm thì gọi là chuỗi không âm
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng
ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn :
1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy
2.Tiêu chuẩn so sánh
3.Tiêu chuẩn Cauchy
4.Tiêu chuẩn d’Alembert
Chuỗi số

1
n
n
a
¥
=
å
* Khi α<0:
1
lim
n n
n
u u
n
a
®¥
= Þ = +¥
Chuỗi PK theo đkccsht
* Khi α=0:
1 lim 1 0
n n
n
u n u
®¥
= " Þ = ¹
Chuỗi PK theo đkccsht
* Khi α>0:
Xét hàm
1
( )f x

n n
b
¥
=
å
Xét hàm
1
( )
(ln )
f x
x x
a
=
trên [2,+∞), ta có
f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng
nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu
chuẩn tích phân
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Mặt khác
2 2
(ln )
(ln ) (ln )
dx d x
x x x
b b
+¥ +¥
=
ò ò
1
khi 1

HT khi β>1 và PK khi β≤1
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1:
1 1
và
n n
n n
u v
¥ ¥
= =
å å
Cho 2 chuỗi số không âm thỏa
:
n n
p u v n p$ ³ " ³
Khi ấy:
Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và
ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
1 1
1. HT HT
n n
n n
u v
¥ ¥
= =
Þ
å å
1 1
2. PK PK

2 2 2
,
3 3
3
n
n
n
n
n n n
q q
¥ ¥ ¥
= = =
æö
÷
ç
= = =
÷
ç
÷
ç
è ø
å å å
là chuỗi hội tụ
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Khi ấy:
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
1 1
và

n n
n n
v u
¥ ¥
= =
Þ
å å
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so
sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau
Chuỗi cấp số nhân:
0
1
, 1
1
n
n
q q
q
¥
=
= <
-
å
1
n
n
q
¥
=

Khi n→∞ thì
2
3
2 2 1
1
n n
n n
u v
n
n n
- +
= =
+ +
:
Tức là
lim 1
n
n
n
u
v
®¥
=
Mà
1 1
1
n
n n
v
n

n n
¥
=
- +
+ +
å
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
1
1 1
n
n
n
n
n
¥
=
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
å
Khi n→∞ thì
2 2

=
å å
hội tụ
Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi
đã cho HT
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
1
1 2 1
ln
1 1
n
n
n n
¥
=
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
- -
å
Ta có :
1 2 1 1 3
ln ln 2(1

æ ö
÷
ç
= + + = + +
÷
ç
÷
ç
è ø
- - - - -
2
1 3 1 3 3
: ln(1+ ) .
1 2( 1) 1 2( 1)
2( 1)
n
n n n n
n
® ¥ =
- - - -
-
:
Do
Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng
của 2 chuỗi
2 2
ln2 1 3
PK và ln(1 ) HT
1 2 2( 1)
n n

n
®
Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm
1
sin
n
Vậy khi n→∞ thì
1
1 sin
n
u n
n
a
æ ö
÷
ç
= -
÷
ç
÷
ç
è ø
Mà chuỗi
Nên chuỗi đã cho HT
3 3
1 1 1 1
1 ( )
3!
n O
n

=
å
HT
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
3
2
1
ln
1
n
n
n e n
n
n
−
∞
=
− +
 
 ÷
−
 
∑
Khi n →∞ :
2
2
1
0

u
n n
n n n
-
-
= + =
-
:
Mà chuỗi
3
1
1
n
n
¥
=
å
phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Xét chuỗi số dương:
Tiêu chuẩn d’Alembert :
Đặt :
•
∃ q < 1: D
n
< q : chuỗi hội tụ
•
D
n
≥ 1 : chuỗi phân kỳ

u
+
→∞ →∞
= =
§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm
Tiêu chuẩn Cauchy :
Xét chuỗi số dương:
1
n
n
u
¥
=
å
•
∃ q < 1: C
n
< q : chuỗi hội tụ
•
C
n
≥ 1 : chuỗi phân kỳ
Đặt :
•
C < 1 : hội tụ
•
C > 1 : phân kỳ
•
C = 1 : không có kết luận
n

n
u
R n
u
R R
+
→∞
 
= −
 ÷
 
=
( )
1
lim
n
n n
n
n
R n u
R R
→∞
= −
=
Đặt