, ( 1)
2 4 2 2
, ( 2)
4 4 2 4
, ( 3)
4 4 4 2
, ( 4)
4 2 2 2
x y D
x y D
x y D
x y D
π π π π
π π π π
π π π π
π π π π

− ≤ ≤ − − ≤ ≤


− ≤ ≤ − ≤ ≤ −


− ≤ ≤ ≤ ≤


≤ ≤ − ≤ ≤


D1
D2

D
I x y dxdy
= +
∫∫
Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích
phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình
vuông nhỏ
4
1
2
(cos ( cos )) 0I x x dx
π
π
−
−
= − − =
∫
§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn
lại.
2 2 4 4
2 2 4 4
cos( ) cos( )I dx x y dy dx x y dy
π π π π
π π π π
− − − −
= + − +
∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ: Tính tích phân kép
D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1

15
I
=
D
1
D
2
D
2
1 2
2 2
D D
y x dxdy y x dxdy
= − + −
∫∫ ∫∫
§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1
2
D
I y x dxdy
= −
∫∫
Ví dụ: Tính tích phân kép
D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1
2
D
I y x dxdy
= −
∫∫
Ví dụ: Tính tích phân kép

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích
phân sẽ buộc ta phải chiếu D
xuống trục Oy
Ví dụ: Tính tích phân
x
y
D
I e dxdy
=
∫∫
Với D là miền giới hạn bởi
2
, 0, 1x y x y= = =
1
1
Chiếu miền D vừa vẽ xuống
trục Ox
§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau
2
2
0
2
( , )
y
y
I dy f x y dx
−
=

+ +
−
= +
∫ ∫ ∫ ∫
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

Nhắc lại về tọa độ cực
Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa
độ Descartes.
Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
M(x,y)
φ
r
( )
,
g
Ox
OM
r OM
ϕ

+ y
2
= a
2
↔ x
2
+ y
2
= 2ax ↔ r = 2acosφ
3. x = 3 ↔ rcosφ = 3
2.
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ
3
cos
r
j
=
↔
Công thức đổi biến sang tọa độ cực
( , ) ( , )
( , ) ( cos , sin )
D x y D r
f x y dxdy J f r r drd
ϕ

I x y dxdy= −
∫∫
Ví dụ : Tính tích phân
Trong đó D giới hạn bởi :
2 2
2 , 0( 0)x y x y y+ = = ≥
Ta được φ đi từ 0 đến
π
/
2
Còn để xác định cận của tích
phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia
màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước
thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường
nào trước thì pt đường đó là cận trên.
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
2cos
2
0 0
( cos 2 sin )I d r r r dr
π
ϕ
ϕ ϕ ϕ
= −
∫ ∫
3
2
2cos
0
0

I d r r dr
π
π
ϕ
=
∫ ∫
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ
gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a
Trong đó D giới hạn bởi
Ví dụ : Tính tích phân
2 2
D
I x y dxdy
= +
∫∫
2 2 2
, 0, 3 ( , 0)x y a x y x x y
+ = = = ≥
Suy ra:
3 2
p p
j
£ £
3
3
0
( )( )
2 3 3 18
a

2 2
2 , 0x y y x y+ ≤ + ≤
y > 0, x+y=0 ↔ φ =
3π
/
4
Suy ra :
3π
/
4
≤φ ≤ π
x
2
+y
2
= 2y ↔ r = 2sinφ
Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ
2 2
2 4 , 3 0x x y x x y
≤ + ≤ − ≤ ≤
(2 1)
D
I y dxdy
= −
∫∫
Ví dụ : Tính tích phân
Trong đó D giới hạn bởi :
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
2 2
2 4 , 3 0x x y x x y

+y
2
≤4x ↔
2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ
03
3
0x y
p
j
- «££ - ££
Đây là trường hợp ta có thể
không cần vẽ hình cũng lấy
được cận tích phân
4cos
0
2cos
3
(2 sin 1)I d r r dr
ϕ
π
ϕ
ϕ ϕ
−
= −
∫ ∫
Ví dụ : Tính tích phân
2 2
( 2) 1,0x y y− + ≤ ≤
D
I xdxdy

≤ ≤


≤ ≤

Vậy :
1
0 0
(2 cos )I d r r dr
π
ϕ ϕ
= +
∫ ∫
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Ví dụ : Tính tích phân
2 2
2 2
1
D
x y
I dxdy
a b
= − −
∫∫
2 2
2 2
1, 0
x y
x
a b



3
1
2
2
0
2
1I d abr r dr
π
π
ϕ
⇒ = −
∫ ∫
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực