T
O
Á
N

L
Ớ
P

1
1
GiỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
III. Giới hạn vô cực của hàm số:
1. Định nghĩa:
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
- Giới hạn một bên
2. Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Giả sử , .Khi đó:

lim ( )
o
x x
f x L
→
= lim ( )
o
x x
g x M
→

=
b) Nếu và , thì

( ) 0f x ≥
lim ( )
o
x x
f x L
→
=
0L ≥
và
lim ( ) .
o
x x
f x L
→
=
1. Định nghĩa:
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
2. Chú ý:
-
Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi vẫn
còn đúng khi hoặc
o
x x→
x → +∞
x → +∞
1. Giới hạn vô cực
•

x
f x
→+∞
= +∞ lim ( )
x
f x
→−∞
= +∞
lim ( ) ,
x
f x
→−∞
= −∞
lim ( ) ,
o
x x
f x
→
= +∞
lim ( ) ,
o
x x
f x
−
→
= +∞
lim ( ) ,
o
x x
f x

x
→−∞
= +∞
3. Một vài qui tắc về giới hạn vô cực
a) Qui tắc tìm giới hạn của tích f (x).g(x)
lim ( )
o
x x
f x
→
lim ( )
o
x x
g x
→
lim ( ). ( )
o
x x
f x g x
→
0L >
0L <
+∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
−∞

Tùy ý
0
0
±∞
+
-
+
-
Dấu của
g(x)
( Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính
giới hạn, với )
0
x x≠
CHÚ Ý
Các qui tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp ,
, và .
o
x x
+
→
o
x x
−
→
x → +∞ x → −∞
Ví dụ 1: Tính
4
2
lim ( 1)

− + − = >
 ÷
 
4
2 4
2 3 4
1 1 1
lim ( 1) lim 1
x x
x x x x
x x x
→+∞ →+∞
 
− + − = − + − = +∞
 ÷
 
Nên ta có:
Ví dụ 2: Tính
2
2
3 5
lim
( 2)
x
x
x
→
−
−
Ta có:

1
2 3
lim
1
x
x
x
−
→
−
−
Giải
Ta có:
1
lim( 1) 0
x
x
−
→
− =
1
lim(2 3) 1 0
x
x
−
→
− = − <
Ta lại có:
1 1 0.x x< ⇒ − <
Do đó:

B
Bài 2: Tính
→−∞
− +
4 2
lim 4 3 1
x
x x
A.
+∞
B. 0

C.

D. 1

−∞
Đáp án:

A
Bài 3: Tính
−
→
−
−
1
2 7
lim
1
x


D. 0

−∞
Đáp án:

B
1. Nắm định nghĩa 4
2. Nắm qui tắc tìm giới hạn f(x).g(x);
3. Làm các bài tập 3e, 4,5 và 6 (SGK, tr132,133)
1. Nắm định nghĩa 4
2. Nắm qui tắc tìm giới hạn f(x).g(x);
3. Làm các bài tập 3e, 4,5 và 6 (SGK, tr132,133)
( )
( )
f x
g x
DẶN DÒ