§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
1 2
, , ,
n
Ω Ω Ω
1 2
, , ,
n
V V V∆ ∆ ∆
Định nghĩa:
Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω
trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không
dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là
Trong mỗi miền Ω
k
lấy 1 điểm bất kỳ M
k
(x
k
,y
k
,z
k
)
Lập tổng tích phân
1
( , , )
n
n k k k k
k

d
k
f x y z dV f x y z V
Ω →
=
Ω
= ∆
∑
∫∫∫
Vậy:
Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω
Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau
Ω1, Ω2
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
( )dxdydz V
Ω
= Ω
∫∫∫
1.
. ( , , ) ( , , )C f x y z dxdydz C f x y z dxdydz
Ω Ω
=
∫∫∫ ∫∫∫
2.
( ( , , ) ( , , )) ( , , ) ( , , )f x y z g x y z dxdydz f x y z dxdydz g x y z dxdydz
Ω Ω Ω
+ = +
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
3.

0
,y
0
,z
0
) sao cho :
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
Cách tính
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
x y
D x y
f x y z dxdydz f x y z dz dxdy
ϕ
ψ
Ω
 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
 
 
Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là
miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn
dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì
Ta còn viết tích phân trên ở dạng
( , )
( , )
( , , )

x y
I dxdy zdz
+
=
∫∫ ∫
2 2
2 4
( )
x y
D
z dxdy
+
=
∫∫
2 2 2
(16 ( ) )
D
x y dxdy= − +
∫∫
2
2
4
0 0
(16 )d r r dr
π
ϕ
= −
∫ ∫
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính

= +
∫∫∫
Ví dụ 2 : Tính tích phân
Trong đó Ω giới hạn bởi y=x
2
, y+z=1, z=0
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
-1 1
1
D
Vì vậy:
1
2
0
( )
y
D
I dxdy x y dz
−
= +
∫∫ ∫
1
0
( ( ))
D
y
zx y dxdy
−
= +

3
( , , )I f x y z dxdydz
W
=
òòò
3
0
x y
D
I dxdy xdz
+
=
òò ò
1 1
3
0 0
x
I xdx dy
-
=
ò ò
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
x=0x+y=1
y=0
x+y=z
Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình
chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ
của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ
Vậy điểm M được xác

z
φ
N(r,φ)
r
Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ
Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ
nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3
mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse.
( , , ) . ( cos , sin , )f x y z dxdydz r f r r z drd dz
ϕ ϕ ϕ
Ω Ω
=
∫∫∫ ∫∫∫
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
2 2 2 2
z x y x y= + = +
Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z
từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt
phẳng z = 0
2 2 2 2 2
( ) 0x y x y⇔ + − + =
2 2
2 2
0
1
z x y
z x y

= + =

ϕ
=


=


=

2 2
2 2 2 2
3
1
x y
x y x y
I dxdy zdz
+
+ ≤ +
=
∫∫ ∫
và ta có
2
2 1
3
0 0
r
r
I d rdr zdz
π
ϕ

trụ
Miền D
Mặt trụ kín x
2
+y
2
=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω
xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x
2
+y
2
≤1
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
Ví dụ 5: Tính tích phân
Trong đó Ω giới hạn bởi
5
2 2
z
I dxdydz
x y
Ω
=
∫∫∫
+
2 2
1, 0, 2x y z x y z+ = = + + =
Với 2 mặt còn lại, ta phải so
sánh giữa z=0 và z=
để có cận đối với dz



=


=

2 cos sin
2 1
5
0 0 0
r r
z
I d rdr dz
r
j j
p
j
- -
=
ò ò ò
2 cos sin
2 1
2
5
0
0 0
2
r r
z

+
Vậy :
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
Ta sẽ tính bằng
cách thứ 2
2
5
0
1 1 7
2 2(cos sin ) (1 sin2 )
2 3 3
I d
p
p
j j j j
æ ö
÷
ç
= - + + + =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
x+y+z=√2
Miền D
x
2

2
x y
x y
z
I dxdy
x y
− −
+ ≤
 
=
∫∫
 ÷
+
 
2 2
2 1
5
0 0
2 2 2 (cos sin ) 2 sin cosr r r
I d r dr
r
π
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
+ − + +
=
∫ ∫
Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong
tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường
theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu

2
( )
D
I dydz y z dx
p
p
= +
òò ò
2 2
2 2
1 4
( ).2
y z
y z dydzp
£ + £
= +
òò
2 2
2 2
6
0 1
2 . 15I d r r dr
p
p j p= =
ò ò
Trong không gian cho điểm
M(x,y,z), N là hình chiếu của M
xuống mặt phẳng xy. Ta đặt:
ρ là độ dài đoạn OM
Như vậy 0 ≤ ρ +∞, - 2˂ π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π


Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu
sang tọa độ Descartes như sau
2 2 2
2 2
tan
tan
x y z
y
x
x y
z
ρ
ϕ
θ


= + +


=



+
=


§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
cầu