BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH
KHOA TOÁN –TIN

NGUYỄN CƠ THẠCH

HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ
CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH
KHOA TOÁN –TIN

HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ
CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG
SV:
NGUYỄN CƠ THẠCH
LỚP: TOÁN 5-BT
MSSV: K33101239

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP


3.2 Khai triển phân thức từng phần của π cot π z ......................................................... 24
3.3 Công thức Euler đối với ζ (2n) = ∑ v −2 n ............................................................... 29
v ≥1

3.4 Lý thuyết Eisenstein về hàm lượng giác ................................................................. 36
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 43


Mở đầu
Lý thuyết giải tích phức được phát triển vào thế kỷ 19 gắn liền với các nhà
toán học: Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass…
Ngày nay giải tích phức vẫn tiếp tục phát triển và hoàn thiện. Giải tích phức
không những sâu sắc về lý thuyết và có nhiều ứng dụng không những trong toán
học mà còn trong nhiều ngành khoa học tự nhiên cũng như trong kĩ thuật.
Lý thuyết hàm phân hình là một phần quan trọng và đặc sắc của giải tích
phức. Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm hệ thống lại một số kiến thức về giải tích
phức để từ đó giúp cho bản thân có điều kiện nghiên cứu sâu hơn về giải tích phức
sau này.
Nội dung chính của luận văn trình bày các tính chất có liên quan đến hàm
phân hình và một số tính chất có liên quan đến sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình.
Luận văn còn nghiên cứu một số chuỗi hàm phân hình đặc biệt như chuỗi Euler,
Eisenstein.
Luận văn gồm ba chương:
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Trình bày khái niệm và một số tính chất của hàm phân hình.
Chương III: Trình bày về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình và một số chuỗi hàm
phân hình đặc biệt.




n

các hàm chỉnh

hình trong D, hội tụ compact trong D về một hàm giới hạn f trong D. Khi đó với mọi
k ∈  chuỗi đạo hàm k lần theo từng số hạng

=
f (k ) ( z)

∑f

∑f

(k )
n

(k )
n

hội tụ trong D về f ( k ) :

( z) , z ∈ D


Định lý 1.4 (định lý về chuỗi bội): Cho=
fn ( z)

∑ c( ) ( z − z )

0

Định lý 1.5 (định lý Hurwitz): Giả sử G là một miền trong  , dãy f n ∈ O(G ) hội tụ
compact trong G về f và f n không có không điểm trong G. Khi đó nếu f không là hàm
hằng không thì f không có không điểm trong G.

Định nghĩa 1.6 (Cấp của một không điểm và bội tại một điểm):
Nếu f là một hàm chỉnh hình khác hằng 0 trong một lân cận của c, thì từ định
lý đồng nhất ta biết rằng có một số tự nhiên m sao cho :
f (c=
) f ′(c=
) 
= f ( m −1) (c=
) 0 và f ( m ) (c) ≠ 0. Đặt
min {n ∈  : f ( n ) (c) ≠ 0}
oc ( f ) =
m=
Số này được gọi là cấp của không điểm của f tại c, hoặc gọi vắn tắt là cấp của f
tại c. Rõ ràng :
f (c ) =
0 ⇔ oc ( f ) > 0
Ta đặt oc ( f ) = ∞ nếu f đồng nhất 0 gần c.
Với mọi chuỗi lũy thừa f = ∑ cn z n ta định nghĩa cấp v( f ) của hàm f là
min {n ∈  : cn ≠ 0} khi f ≠ 0
v( f ) = 
khi f =
0
∞
Chẳng hạn v( z n ) = n .
=

đến f −1 (a ) là tập không quá đếm được, nghĩa là f không có quá đếm được các a - điểm
trong G. Tập các không điểm của một hàm chỉnh hình khác hằng trong miền G là tập con
rời rạc và đóng (tương đối) trong G.
Định lý 1.8: Cho g : G → G′ là ánh xạ chỉnh hình từ miền G lên miền G′ . f là hàm
chỉnh hình trên miền G và là hàm hằng trên mỗi tập thớ của g- g −1 ( w ) , w ∈ G′. Khi đó có
một hàm chỉnh hình h trong G′ sao cho g *(h) = f hay h( g ( =
z )) f ( z ), ∀z ∈ G.

1.2 Điểm bất thường
Mệnh đề 1.9: Nếu hàm f có một cực điểm cấp m tại z0 thì ( z − z0 )l f ( z ) → ∞
khi z → z0 với mọi số nguyên l < m , trong khi ( z − z0 ) m f ( z ) có z 0 là điểm bất
thường bỏ được. Đặc biệt f ( z ) → ∞ khi z → z0 .


Mệnh đề 1.10: Nếu f có không điểm cấp m tại z0 thì
tại z0 . Ngược lại nếu f có cực điểm cấp m tại z0 thì
được và nếu ta định nghĩa

1
có cực điểm cấp m
f

1
có z0 là điểm bất thường bỏ
f

1
1
có không điểm cấp m tại z0
( z0 ) = 0 thì

Định nghĩa 1.14: Cho S là không gian mê tric, một điểm p ∈ S được gọi là
điểm giới hạn hoặc là điểm tụ của tập M ⊂ S nếu U ∩ ( M \ { p} ) ≠ ∅ với mọi lân
cận U của p.
Mọi lân cận của điểm giới hạn p của M chứa vô hạn điểm của M và do đó luôn
có dãy {cn } ⊂ M \ { p} với lim cn = p .
n →∞

Định lý 1.15: S là không gian compact nếu và chỉ nếu mọi dãy ( xn ) trong S
đều chứa một dãy con hội tụ.


Chương II: HÀM PHÂN HÌNH
Trong lý thuyết hàm các hàm chỉnh với các cực điểm đã đóng một vai trò nổi
bật. Vào năm 1875 Briot và Bouquet đã gọi những hàm này là các hàm phân hình.
Mục 2.1 trình bày khái niệm và tính chất của hàm phân hình.
Các hàm phân hình không những có thể cộng, trừ, nhân mà còn có thể chia. Điều
này khiến cấu trúc đại số của các hàm phân hình đơn giản hơn so với các hàm
chỉnh hình. Đặc biệt các hàm phân hình trên một miền tạo thành một trường.
Mục 2.2 trình bày cấu trúc đại số của tập các hàm phân hình trên một miền.
Mục 2.3 trình bày cấu trúc tô pô của không gian các hàm phân hình.
Nội dung chính của mục 2.4 là định lý (2.15) chỉ ra mọi hàm phân hình đều có thể
biểu diễn thành thương của hai hàm chỉnh hình.

2.1 Hàm phân hình
Định nghĩa 2.1: Cho D là một tập mở khác rỗng trong  . Một hàm f được

gọi là hàm phân hình trong D , nếu có một tập con rời rạc P( f ) của D sao cho f
chỉnh hình trên D \ P( f ) và có cực điểm tại mỗi điểm thuộc P( f ) .
Dựa vào mệnh đề 1.9 ta chọn ∞ như giá trị của hàm tại mỗi cực điểm :
f ( z ) := ∞ với z ∈ P( f )

2.2 Trường các hàm phân hình
Một hàm được gọi là phân hình tại z0 nếu nó phân hình trong một lân cận nào
đó của z0 . Khi đó nếu hàm này khác hằng 0 thì nó có khai triển
f ( z)
=

∞

∑c (z − z )

n=m

n

n

0

tại z0 , với số cn ∈  xác định duy nhất và m ∈  sao cho cm ≠ 0
Nếu m < 0 thì

−1

∑c (z − z )
n

0

n


=
P(− f ) P( f ) , P( f ± g ) ⊂ P( f ) ∪ P( g )


P( f ± g ) nói chung là một tập con thực sự của P ( f ) ∪ P ( g ) . Chẳng hạn với D :=  ,


f ( z ) :=

1
1
, g ( z ) =: z − ta có P( f ) ≡ P( g ) =
{0} nhưng P( f + g ) = ∅ ≠ P( f ) ∪ P( g )
z
z

1
z

Nếu=
f ( z) : =
, g ( z ) : z thì P ( f ) = {0} , P ( g ) = ∅ và P( f .g ) = ∅ ≠ P ( f ) ∪ P ( g ) .
Cũng như O( D) ,  - đại số M ( D) là đóng đối với phép lấy đạo hàm, chính xác
hơn là:
Cùng với f , đạo hàm f ' của nó là hàm phân hình trong D . Hai hàm này có
cùng tập cực P( f ) = P( f ') ; và nếu q là phần chính của f tại một cực điểm thì q '
cũng là phần chính của f ' tại đó.
O( D) là vành giao hoán các hàm chỉnh hình trong D . Trong vành O( D) các

hàm chỉnh hình trong D phép chia một hàm g chỉ có thể thực hiện được khi g

ii) ⇒ i)=
A : Z (u ) ∪ P(u ) là tập rời rạc và đóng tương đối trong D .Trong D \ A
hàm u =

1
chỉnh hình. Mọi điểm thuộc Z (u ) là một cực điểm của u (mệnh đề 1.10)
u

và mọi c ∈ P(u ) là điểm bất thường bỏ được và là không điểm của u vì
lim
z →c

1
= 0 . Điều này có nghĩa u ∈ M ( D) 
u( z)

Trên cơ sở định lý này thương của hai phần tử f , g ∈ M ( D) tồn tại trong vành
M ( D) khi Z ( g ) rời rạc trong D . Đặc biệt

f
∈ M ( D) ∀f , g ∈ O( D) khi Z ( g ) rời
g

rạc trong D .
Một hệ quả quan trọng của định lý này là:
Hệ quả 2.3:  - đại số của các hàm phân hình trong một miền là một trường
Chứng minh: Nếu f ∈ M (G ) không phải là phần tử 0 và G là một miền thì
G \ P ( f ) cũng là một miền và f

G\P( f )


Định lý 2.5 (Định lý đồng nhất cho hàm phân hình): Các phát biểu sau về cặp
hàm phân hình f , g trong miền G là tương đương
i) f = g
g (ω )} có điểm giới hạn trong
ii) Tập hợp {ω ∈ G \ ( P( f ) ∪ P( g )) : f (ω ) =
G \ ( P( f ) ∪ P( g ))

iii) có một điểm c ∈ G \ ( P( f ) ∪ P( g ) ) sao cho f ( n ) (c) = g ( n ) (c) với mọi
n∈

Chứng minh: Nếu G là một miền thì G \ ( P( f ) ∪ P( g )) cũng là một miền. Do
đó các mệnh đề tương đương được suy ra từ định lý 1.2.


Sau đây ta trình bày về cấp của hàm phân hình
Nếu f ≠ 0 là hàm phân hình tại z0 thì f có khai triển duy nhất
=
f ( z)

∞

∑ c (z − z )

n=m

với cn ∈ , m ∈  (cm ≠ 0)

n



0

0

0

0

2.3 Không gian mê-tric các hàm phân hình
Nếu G là một miền trong  và f là hàm phân hình trong G và f : G →  ∞ được
xác định bởi f ( z ) = ∞ khi z là cực điểm, f ( z ) = f ( z ) với các z khác thì f là hàm
liên tục. Xét mê-tric trên M(G) như là mê-tric cảm sinh của mê-tric trên C (G,  ∞ )
Mê-tric d trên  ∞ được định nghĩa như sau
d ( z , w) =

và

z−w
1+ z

2

1+ w

2

với z , w∈ 

z−w


và với z ∈  \ {0} có d ( z=
, 0) d ( , ∞) (2.3.3)
Ta ký hiệu B∞ (a, r ) là quả cầu trong  ∞ .
Mệnh đề 2.6
a) Nếu a ∈  và r > 0 thì có số ρ > 0 sao cho B∞ (a, ρ ) ⊂ B(a, r )
b) Ngược lại, nếu ρ > 0 a ∈  thì có r > 0 sao cho B(a, r ) ⊂ B∞ (a, ρ )
c) Với ρ > 0 cho trước có một tập compact K ⊂  sao cho
 ∞ \ K ⊂ B∞ (∞, ρ )

d) Ngược lại, với một tập compact K ⊂  cho trước có một số ρ > 0 sao
cho B∞ (∞, ρ ) ⊂  ∞ \ K
Định lý 2.7: Cho { f n } là dãy trong M(G) và giả sử f n → f trong C (G,  ∞ ) .
Khi đó hoặc f phân hình hoặc f ≡ ∞ . Đặc biệt nếu f n là dãy trong O(G ) thì hoặc f
chỉnh hình hoặc f ≡ ∞
Để chứng minh định lý ta cần chứng minh kết quả sau
Bổ đề 2.8: Nếu  là tập con compact của C (G,  ∞ ) thì  là đồng liên tục tại
mỗi điểm của G. (  ⊂ C (G,  ∞ ) được gọi là đồng liên tục tại điểm a ∈ G nếu và
chỉ nếu với mọi ε > 0 tồn=
tại δ δ (a, ε ) > 0 sao cho với z − a < δ
d ( f ( z ), f (a ) ) < ε với mọi f ∈  )


Chứng minh: Cố định a ∈ G và cho ε > 0 và R > 0 được chọn sao cho
=
K B (a, R ) ⊂ G thì K là tập compact. Do  là tập compact nên từ định lý 1.15 có

hữu hạn hàm f1 ,..., f n trong  sao cho với mỗi f ∈  có ít nhất một f k với
sup d ( f ( z ), f k ( z ))


Chứng minh định lý 2.7 : Giả sử có một a ∈ G với f (a) ≠ ∞ và đặt M = f (a) .
Sử dụng mệnh đề 2.6a có thể tìm một số ρ > 0 sao cho B∞ ( f (a), ρ ) ⊂ B( f (a), M ) .
Nhưng vì f n → f nên có n0 sao cho d ( f n (a), f (a))
0 sao cho z − a < r dẫn đến d ( f n ( z ), f n (a))

1
1
phân hình trong G nên có r > 0
→ trong C (G,  ∞ ) . Vì mỗi
fn
fn
f

và một n0 sao cho

1
1
1
1
,
chỉnh hình trên B(a, r ) với n ≥ n0 và
đều với
→
fn
fn
f
f

mọi z ∈ B(a, r ) . Từ định lý Hurwitz 1.5 ta có hoặc

1
1
có các không
≡ 0 hoặc
f

minh ta có hoặc f chỉnh hình hoặc f ≡ ∞ 
Hệ quả 2.9: M (G ) ∪ {∞} là không gian mê tric đủ
Hệ quả 2.10: O(G ) ∪ {∞} là không gian con đóng của C (G,  ∞ )


2.4 Biểu diễn hàm phân hình
Định lý 2.11: Cho G là một miền trong  và { f n } là dãy hàm thuộc O(G ) sao cho
không có hàm f n nào là hàm hằng 0. Nếu

∞

∑[ f
n =1

n

( z ) − 1] hội tụ tuyệt đối và đều trên các

∞

tập compact trong G thì ∏ f n ( z ) hội tụ trong G về f(z). Nếu a là một không điểm của
n =1

f thì a là một không điểm của chỉ một số hữu hạn các hàm f n và bội của các không

điểm của f là tổng các bội của các không điểm của f n tại a.
Định nghĩa 2.12: Một nhân tử sơ cấp là một trong các hàm E p ( z ) với p = 0,1, 2,...
E ( z ) = 1 − z
E p ( z )= (1 − z )e


cho

{ z : z > R} ⊂ G và

a j ≤ R ∀j ≥ 1

(2.4.1)


Xét dãy { zn } bao gồm các điểm {a j } nhưng sao cho mỗi a j được lặp lại phụ thuộc
vào số bội m j . Khi đó với mỗi n ≥ 1 có một điểm wn trong  \ G sao cho

wn − zn =
d ( zn ,  \ G )
Trường hợp {a j } có hữu hạn phần tử thì định lý được chứng minh dễ dàng nên ta
chỉ xét {a j } có vô hạn phần tử. Lưu ý rằng giả thiết 2.4.1 loại bỏ trường hợp G =  . Vì
a j ≤ R ∀j và {a j } không có điểm giới hạn trong G dẫn đến  \ G khác rỗng và là tập

0
compact đồng thời lim zn − wn =
n →∞

 z − wn 
Xét các hàm En  n
 . Mỗi hàm này đều có không điểm đơn tại z = zn . Ta cần
 z − wn 
chỉ ra rằng tích vô hạn các hàm này hội tụ trong O(G ) . Để làm điều này ta lấy K là tập
con compact của G sao cho d ( \ G, K ) > 0 .
Với mỗi z ∈ K có:
z − wn




n

(2.4.2)

 zn − wn  

 − 1 hội tụ tuyệt đối và đều trên K
 z − wn  
∞
 z − wn 
f ( z ) = ∏ En  n

n =1
 z − wn 

hội tụ trong O(G ) , do đó f là một hàm chỉnh hình trong G . Đồng thời cũng theo định
lý 2.11 f chỉ nhận các điểm z = a j là không điểm cấp m j .


Ta chứng minh lim f ( z ) = 1 . Lấy ε > 0 là số tùy ý và R1 > R . Nếu z > R1 , vì do
z →∞

zn ≤ R và wn ∈  \ G ⊂ B(0, R)
Ta có

zn − wn
2R

2

Xét khai triển chuỗi của Log (1 + z ) tại 0
∞

( −1)

1

n

Log (1 + z ) =∑

n −1

có bán kính hội tụ bằng 1
Log (1 + z )
z z2
1
1 z
2
1−
= − + ... ≤
z + z + ... =
Ta có
2 3
2
2 1− z
z


n
n
=
n 1=
 z−w  n 1=
 z − wn  n 1 2
 z − wn 
∞

∞
3
3 δ2
≤ ∑ δ n +1 = với z ≥ R1
2 1− δ
n =1 2


Nếu ta hạn chế δ để e w − 1 < ε khi w


cực điểm tại a j . Khi đó theo định lý 2.14 có một hàm chỉnh hình h chỉ nhận a j là các
không điểm bội m j . Như vậy hf có các điểm bất thường bỏ được tại mỗi a j . Suy ra
g = hf là hàm chỉnh hình trong G 

Định lý 2.16: Để hàm f hữu tỉ trên  , cần và đủ là f là hàm phân hình trên 
và tồn tại lim f ( z ) ∈  ∞ .
z →∞

Chứng minh:


(Theo nguyên lý không điểm cô lập suy ra rằng tập P( f ) các điểm cực của f gồm
những điểm cô lập. Do tính chất compact nên mỗi hình tròn đóng B(0, n) chỉ chứa
hữu hạn phần tử của P( f ) .)

( ⇒ ) Nếu f là hàm hữu tỉ thì
a0 z m + a1 z m −1 +  + am
, a0 ≠ 0, b0 ≠ 0.
=
f ( z)
b0 z n + b1 z n −1 +  + bn

Khi đó rõ ràng f là phân hình và tồn tại lim f ( z ) .
z →∞

( ⇐ ) Ta đi xét các trường hợp:
Trường hợp 1: lim f ( z ) hữu hạn, khác 0. Khi đó tồn tại số n0 để P( f ) ⊂ B(0, n0 )
z →∞



pj

j

j =1

là một hàm hữu tỉ. ( f là hàm phân hình và lim f ( z ) ≠ 0 thì f là một hàm hữu tỉ).
z →∞


Trường hợp 2: lim f ( z ) = 0 , ta xét ϕ=
( z ) f ( z ) + 1 . Vì ϕ là hàm phân hình và
z →∞

lim ϕ ( z ) = 1 nên ϕ là hàm hữu tỉ, và do đó f=
( z ) ϕ ( z ) − 1 là hàm hữu tỉ.
z →∞

Trường hợp 3: lim f ( z ) = ∞ , ta xét ϕ ( z ) =
z →∞

lim ϕ ( z ) = 0 nên ϕ là hàm hữu tỉ. Từ đó f =
z →∞

1

ϕ

1

z

∞

+∑
π cot π z =
1

2z
1 ∞  1
1 
=
+ ∑
+

2
2
z −v
z 1  z +v z −v 

thành phân thức từng phần. Nó là một trong những khai triển chuỗi hiệu quả nhất
trong phân tích cổ điển. Trong mục 3.3 bằng cách so sánh các hệ số từ chuỗi
Taylor của

∞

∑z
1

2