BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ NGỌC BÍCH
VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ
ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ NGỌC BÍCH
đã luôn quan tâm, khích lệ và tạo điều kiện cho tác giả học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả Vũ Ngọc Bích
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Về
sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phƣơng
trình vi phân” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn
Ninh và bản thân tác giả. Mọi số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển
các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Vũ Ngọc Bích Mục lục
Mở đầu 1
Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên bằng lập trình trên
Maple 18 59
2.7. Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich vào giải phương trình
vi phân cấp hai 71
2.8. Ứng dụng phương pháp Newton–Raphson vào giải phương trình
vi phân cấp hai 73
Kết luận 78
Tài liệu tham khảo 79
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật có nhiều bài toán
dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình toán tử có dạng tổng quát:
trong đó là một toán tử từ tập đến tập với . Toán tử có
thể là tuyến tính hoặc phi tuyến. Phương trình (0.1) có thể là phương trình vi
phân thường, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng,…
Phương trình vi phân đã được các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu từ
thế kỷ 17. Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân thường, trong đó
việc giải đúng phương trình vi phân nói chung là việc làm khó khăn. Người ta
chỉ giải đúng được một số phương trình đặc biệt, còn đa số là phải giải xấp xỉ.
Với mong muốn tìm hiểu ứng dụng của phương pháp kiểu Newton trong
giải phương trình toán tử phi tuyến và được sự định hướng của thầy hướng
dẫn chúng tôi chọn đề tài “Về sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và
ứng dụng trong giải phƣơng trình vi phân” để thực hiện luận văn tốt
nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
Luận văn gồm hai chương, trong chương 1, trước tiên chúng tôi trình bày
các kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian định chuẩn, không
gian Banach, toán tử tuyến tính, một số kiến thức về phương trình vi phân,
đạo hàm Fréchet và phương pháp sai phân. Trong chương 2, phần đầu chúng
tôi trình bày các kiến thức về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton bao
gồm phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến), phương pháp
Newton–Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên, phương
pháp Newton–Raphson, tiếp theo chúng tôi ứng dụng phương pháp Newton–
Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên vào giải phương
trình vi phân phi tuyến cấp một bằng lập trình trên Maple 18. Ở cuối chương
2, chúng tôi ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich, phương pháp
Newton–Raphson vào giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai.
3
2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong
giải phương trình vi phân.
• Nghiên cứu giải phương trình vi phân phi tuyến trên máy tính điện tử
bằng lập trình trên Maple 18.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và cách giải một số
phương trình vi phân phi tuyến bằng phương pháp sai phân và phương pháp
lặp.
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về không gian metric, không
gian định chuẩn, không gian Banach, toán tử tuyến tính, một số kiến thức về
phương trình vi phân, đạo hàm Fréchet và phương pháp sai phân. Các kết quả
này chủ yếu dựa vào các tài liệu [1], [5], [6], [7].
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1. (Không gian metric) Một không gian metric là một tập hợp
X
cùng với một ánh xạ thỏa mãn các tiên đề sau:
(tiên đề đồng nhất);
gọi là khoảng cách giữa hai phần
tử và . Các phần tử của gọi là các điểm. Các tiên đề (i), (ii), (iii) gọi là
hệ tiên đề metric. Tập hợp với metric được gọi là một không gian metric
và được ký hiệu là
Ví dụ 1.1. Không gian vectơ
các hàm số có giá trị thực xác định và liên
tục trên đoạn
với là một không gian metric với
metric
. Đối với hai hàm
số bất kỳ
ta đặt
không gian khi nếu
và ký hiệu là
hay
Dễ thấy mọi dãy điểm
hội tụ trong đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.4. (Không gian metric đầy) Không gian metric
là không gian metric đầy.
Ví dụ 1.4. Không gian
là không gian đầy.
7
Định nghĩa 1.5. (Ánh xạ co) Cho hai không gian metric
và
Ánh xạ được gọi là ánh xạ co nếu
thỏa mãn hệ thức
,
trong đó
là giới hạn của dãy
,
tùy ý.
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach
Mục này trình bày các định nghĩa về không gian định chuẩn, sự hội tụ
trong không gian định chuẩn, dãy cơ bản và không gian Banach. Các khái
niệm này được trích dẫn từ tài liệu [7].
Định nghĩa 1.6. (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay
không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính trên trường
là trường số thực hay trường số phức
;
Khi đó là một metric trên . Vì vậy mọi không gian định chuẩn đều là
không gian metric.
Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ tiên
đề tuyến tính. Nhờ định lý 1.2, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở
thành không gian metric với metric (1.2). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.7. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm
của không gian định chuẩn được gọi là hội tụ tới điểm nếu
Ta ký hiệu
ta
đặt
Nhờ công thức
và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.3) cho
một chuẩn trên
cho bằng công thức
Ta chứng minh được
là không gian Banach.
Ở đây để cho gọn ta viết thay cho
để chỉ phần tử ứng với trong ánh
xạ Hai điều kiện và tương đương với
là miền trị (hay phạm vi của toán tử ),
là hạch (hạt nhân) của toán tử .
Ví dụ 1.7. Nếu
(
là không gian các hàm số có đạo hàm
liên tục đến cấp m liên tục trên đoạn
) thì
là những hằng số (hoặc những hàm số cho trước
của ) thuộc
. Toán tử gọi là một toán tử vi phân.
Định nghĩa 1.11. (Toán tử liên tục) Cho hai không gian định chuẩn và .
Toán tử gọi là liên tục tại
nếu
Định nghĩa 1.13. (Toán tử tuyến tính bị chặn) Cho hai không gian định
chuẩn và . Toán tử tuyến tính từ không gian vào không gian gọi là
bị chặn nếu tồn tại hằng số sao cho
Định nghĩa 1.14. (Chuẩn của toán tử) Cho là toán tử tuyến tính bị chặn
từ không gian định chuẩn vào không gian định chuẩn . Hằng số
11
nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức
Định lý 1.3. (Tính chuẩn của toán tử) Cho toán tử tuyến tính từ không
gian định chuẩn vào không gian định chuẩn . Nếu toán tử bị chặn thì
tính thuần nhất với hệ số hằng, phương trình tuyến tính không thuần nhất với
hệ số hằng, bài toán Cauchy, nghiệm của bài toán Cauchy, sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Ta có thể tham khảo cách chứng minh các
định lý từ 1.4 đến 1.8 trong [5].
1.4.1. Phƣơng trình vi phân cấp một
Định nghĩa 1.15. Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát:
trong đó
, là biến số độc lập, là hàm số phải tìm, hàm xác định
12
trong miền
.
Nếu trong miền , từ phương trình (1.9) ta có thể giải được
được gọi là nghiệm
của phương trình (1.10) nếu:
cho trước.
Định nghĩa 1.17. (Nghiệm tổng quát) Giả sử trong miền của mặt phẳng
nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình (1.11) tồn tại duy
nhất. Hàm số
13
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) trong nếu trong miền
biến thiên của và nó có đạo hàm riêng liên tục theo và thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) Từ hệ thức (1.12) ta có thể giải được :
nghiệm riêng.
Định nghĩa 1.19. (Nghiệm kì dị) Nghiệm của phương trình (1.9) mà tại mỗi
điểm của nó, tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là
nghiệm kì dị.
Như vậy, nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của
hằng số không thể cho ta nghiệm kì dị. Nghiệm kì dị có thể nhận được từ
nghiệm tổng quát chỉ khi
.
Ngoài ra chúng ta còn có nghiệm hỗn hợp, tức là nghiệm bao gồm một phần
nghiệm riêng và một phần nghiệm kì dị.
14
1.4.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Xét phương trình
với hàm xác định trong miền
. Ta
sẽ chỉ ra các điều kiện mà hàm thỏa mãn để bài toán Cauchy ứng với
phương trình
Nhận xét: Điều kiện Lipsit sẽ được thỏa mãn nếu trong miền hàm có đạo
hàm riêng theo giới nội
Ký hiệu
Ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.10) như sau:
Dãy
khi
. Khi đó có thể xây dựng
tức là
khi
Nghiệm này xác định trên đoạn
trong đó được xác định
như ở phần xây dựng dãy xấp xỉ Picar.
1.4.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng là:
16
liên tục và có đạo hàm riêng theo liên tục trong
. Do đó theo hệ quả của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ta suy ra nhận
xét trên.
Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.15), trước hết ta xét phương
trình
(1.16) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với (1.15).
Ta viết lại (1.16) dưới dạng:
Nhận thấy cũng là nghiệm của (1.16). Nghiệm này có thể nhận được từ
(1.19) nếu trong biểu thức (1.19) ta lấy cả giá trị
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (1.16) có dạng:
Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.16) ta áp
dụng phương pháp biến thiên hằng số như sau:
Trong biểu thức (1.20) ta coi không phải là hằng số mà là hàm số của
17
Thay biểu thức
từ (1.22) vào (1.21) ta được nghiệm tổng quát của
phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.15):
, biểu thức
cho ta nghiệm tổng quát dạng
(1.22) của phương trình tuyến tính thuần nhất.
1.4.4. Nghiệm bài toán Cauchy
Giả sử
. Ta tìm nghiệm
của phương trình (1.15) thỏa mãn
điều kiện ban đầu
Ký hiệu
Đặt
và viết lại (1.24) dưới dạng
Từ đây suy ra
Thay giá trị này của vào (1.25) ta được
Từ đây và từ công thức Newton–Leibnit ta thu được
Biểu thức nghiệm bài toán Cauchy dạng (1.26) có nhiều ứng dụng khi nghiên
cứu một số tính chất của nghiệm phương trình tuyến tính cấp một.
1.4.5. Phƣơng trình vi phân cấp
Định nghĩa 1.20. Phương trình vi phân thường cấp là phương trình trong
đó có chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm
của ẩn số đó:
Định nghĩa 1.21. Nghiệm của phương trình (1.27) là hàm
khả vi
lần trên khoảng
sao cho:
Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.28) là tìm hàm
thỏa mãn
phương trình (1.28) và điều kiện ban đầu:
là những số đã biết.
Dưới đây ta sẽ đưa ra một điều kiện đủ để nghiệm bài toán Cauchy đối với
phương trình (1.28) tồn tại và duy nhất.
Định nghĩa 1.22. Hàm
xác định trong miền
được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipsit theo các biến
nếu tồn tại
hằng số (hằng số Lipsit) sao cho đối với hai điểm bất kỳ
Nhận xét: Điều kiện Lipsit sẽ được thỏa mãn, chẳng hạn nếu hàm trong
miền có các đạo hàm riêng theo
giới nội, tức là tồn tại số
dương sao cho
Copyright: Tài liệu đại học ©