Chuyên đề phương tích
Phương tích và trục đẳng phương là một vấn đề rất quen thuộc của toán
hình học phẳng. Kiến thức dể hiểu, dể sử dụng. Nó giải quyết các bài hình học
phẳng là rất phong phú. Nhiều bài toán tưởng như phức tạp lại có thể được giải
quyết gọn gàng nhờ sử dụng các tính chất có liên quan đến phương tích. Lời giải
các bài rất đệp. Bài viết này là một số tích lũy của tôi trong quá trình dạy học và
có được nhờ tham khảo tài liệu của các thầy giáo, các đồng nghiệp thông qua các
hội thảo và các đợt tập huấn cho giáo viên chuyên toán.


Tóm tắt lý thuyết:

I.

Phương tích của một điểm đối với đường tròn.
1.
Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường
thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó
MA.MB = MO 2 − R 2 = d 2 − R 2

2.

Định nghĩa. Giá trị không đổi

MA.MB = d 2 − R 2

trong định lý 1.1 được gọi là

phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu

P M /( O )

5)
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng
hàng.
III.
Tâm đẳng phương
Định lý 2.2 Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đẳng phương của
các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó
được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn.


Ứng dụng của phương tích- trục đẳng phương
Ứng dụng : Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối
tâm được sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Bài 1: Cho hình thang ABCD và điểm E nằm trên đáy nhỏ AB sao cho EC = ED.
Gọi I là tâm đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AED và J là tâm đường tròn (J)
ngoại tiếp tam giác BEC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng EF
⊥

IJ

Lời giải :
Gọi M là giao điểm của AC và (I) và N là giao điểm của BD và (J).
EC = ED =>
=>

·
·
EDC
= ECD


=
FC FD

FA.FM = FB.FN

=>

=>

PF /( I ) = PF /( J )

mà

PE /( I ) = PE /( J )

Do đó đường thẳng EF là trục đẳng phương của (I) và (J) suy ra

EF ⊥ IJ

ABC BC < AC
Bài 2: Cho tam giác
(
) có các đường cao AD, BE, CF, trực tâm
M
AB
AB
H. Gọi
là trung điểm của
,. Giả sử đường thẳng DE cắt đường thẳng
IH ⊥ CM

HD.HA = HF .HC

Nhưng
và
của hai đường tròn nói trên.

nên

H, I

ABDE

, tâm của

nằm trên trục đẳng phương


Do đó ta có

IH ⊥ CM

. (ĐPCM)

Bài 3 (India, 1995): Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt
AB, AC tại D và E. Gọi P là một điểm bên trong tam giác ADE, F và G là giao của
DE với BP và CP. Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm
(I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt nhau tại điểm thứ hai là Q. Chứng minh rằng
AQ ⊥ OI

Lời giải :

(Định lý Thalet)

AM . AD = AN . AE

Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra

AQ ⊥ OI

.


Ứng dụng : Ba điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì thẳng hàng
Bài 4: Cho điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB cố định. Đường tròn (O1) tiếp xúc
với đường thẳng AB tại A, đường tròn (O2) tiếp xúc với đường thẳng AB tại B.
Đường tròn (c1) tâm O1 bán kính O1B cắt đường tròn (c2) tâm O2 bán kính O2A tại
M và N. Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng.
Lời giải :

PM /(O1 ) = O1M 2 − O1 A2 = O1B 2 − O1 A2 = AB 2
PM /(O2 ) = O2 M 2 − O2 B 2 = O2 A2 − O2 B 2 = AB 2

tương tự ta có
=>

PM /(O1 ) = PM /(O2 )

tương tự ta có

PN /( O1 ) = PN /(O2 )
PI /( O1 ) = PI /( O2 )

(3).

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn suy ra

FA.FB = FC.FD

=>

PF /( c ) = PF /( c ')

(4)

Từ (2), (3), (4) suy ra H, K, F nằm trên trục đẳng phương của (c) và (c’)
suy ra H, K, F thẳng hàng.

Ứng dụng : Cho ba đường tròn có tâm không thẳng hàng. Ba trục đẳng phương
của các cặp đường tròn trong ba đường tròn đồng quy tại tâm đẳng phương của ba
đường tròn đó.


Bài 6 (IMO 95/1) : Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó).
Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt BC
tại Z. Lấy P là một điểm trên XY khác Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường
kính AC tại điểm thứ 2 là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2
là N. Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui.
Lời giải :

P

X


PN .PB = PX .PY = PM .PC

PQ.PZ = PQ′.PZ ⇒ Q ≡ Q′

Vậy XY, AM và DN đồng quy.


Bài 7: Hai đường tròn (Ca ),( Cb) tiếp xúc trong với đường tròn (C) theo thứ tự tại
A, B và hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài tại điểm T. Gọi S là giao điểm của đường
tròn (C) với tiếp tuyến chung qua T của hai đường tròn (Ca ),( Cb). C là giao điểm
thứ hai của đường thẳng SA với đường tròn (Ca ), D là giao điểm thư hai của
đường thẳng SB với đường tròn ( Cb). Đường thẳng AB cắt đườngtròn (Ca ) tại
điểm E, cắt đường tròn ( Cb) tại điểm F. Chứng minh rằng ST, CE, DF đồng quy.

Lời giải : Ta có

ST 2 = SA.SC = SB.SD

·
·
·
·
SDC
= SAB
SCD
= SBA

,


r

biến đường tròn (C) thành (Ca ) ,biến xx’ thành CD, biến B

Do đó CD là tiếp tuyến của đường tròn (Ca) và CE // SB.
Tương tự, ta cũng có: CD là tiếp tuyến của đường tròn ( Cb) và DF // SA .


Ta có:

·
·
ECD
= DFB

( vì cùng bằng

·
CAB

).

Vậy tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn (C’).
Ta có : ST là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ca ) và ( Cb) .
CE là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ca ) và ( C’) .
DF là trục đẳng phương của hai đường tròn (C’ ) và ( Cb) .
Do vậy, các đường thẳng ST, CE, DF đồng quy

Bài 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H thuộc đoạn AB. Đường
thẳng qua H cắt đường tròn tại C. Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và (O)

a) Ta có
, suy ra ADEB nội tiếp. Xét các đường tròn (ADEB),
(O) và đường tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng
phương của các cặp đường tròn trên nên chúng đồng quy.
b) Ta có PQ là trục đẳng phương của ( C) và (O) nên
OD ⊥ DE

OC ⊥ PQ

. Ta cũng dễ thấy

.

Hơn nữa H chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), ( C) và đường tròn
đường kính CH. Suy ra PQ đi qua H.
Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau. Hay D, E,
P, Q thẳng hang.

Đường tròn điểm
Ta có thể xem một điểm là đường tròn với tâm tại điểm đó và bán kính bằng không
để xét phương tích, trục đẳng phương.
Bài 9:. Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Qua
A vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE
tại P và Q. Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của ABC.

Lời giải :
Gọi (M) là đường tròn đường kính BC.
2

QA = QB.QE

=> hai tam giác ABE và MAE đồng dạng với nhau =>
Suy ra E có cùng phương tích đến (O1 ) và đường tròn điểm A.
ương tự với điểm F.
Do đó, EF là trục đẳng phương của (O1) và đường tròn điểm A.
Ta cũng có tiếp tuyến tại A của (O2 ) là trục đẳng phương (O2 ) và đường tròn điểm
A.
Suy ra giao điểm D của hai đường trên chính là tâm đẳng phương của đường tròn
điểm A và (O1 ), (O2 ) hay D thuộc trục đẳng phương của (O1) và (O2) cố định. Ta
có đpcm.


Bài 11: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn không cân cân (không nằm
trên trung trực của các cạnh). Tiếp tuyến tại M của tam giác MBC cắt BC ở X.
Tương tự xác định các điểm Y và Z. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.
Lời giải :

2

XM = XB. XC

Theo tính chất phương tích thì
nên X thuộc trục đẳng phương của
đường tròn điểm M và đường tròn (ABC).
Tương tự với Y và Z. Suy ra X, Y, Z cùng thuộc trục đẳng phương của đường tròn
điểm M Và đường tròn (ABC) nên chúng thẳng hàng.
Bài 12: Cho điểm A nằm ngoài (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến (O). Lấy điểm D
thuộc đoạn BC. M là trung điểm của AD. Đường tròn đường kính AD cắt (O) ở P,
Q. Chứng minh rằng MP, MQ là 2 tiếp tuyến của (O).
Lời giải :


Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có:
P A / ( I ) = AC. AB = AM . AN = P A / ( O )

AC =

(không đổi vì A, (O) cố định). Suy ra

Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định.

PA /( O)
AB


Bài 14: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ
điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và
D. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải :

K

H
A

O

B

I


Vì A, B, H cố định suy ra M cố định.

Bài 15: (Chọn đội tuyển PTNK 2008): Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và
B, C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A


A′B. A′C

lên d thì
âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB. Gọi N là
hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố
định.
Lời giải :
A

N
I

P
M

B

A'

C

D
H

2

Mà A, A’ và D cố định suy ra P cố định.
Gọi H là hình chiếu của K trên AA’.


AP. AH = AI . AK = IN 2 =

Ta có

1
AA′2
4

Mà A, P, A’ cố định suy ra H cố định.
Vậy K thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với AA’

Bài tập
1. Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD. Tiếp tuyến của (O) tại B cắt
AC tại E, DE cắt (O) lần thứ hai tại F. Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng
quy.
2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. D là một điểm cố định thuộc AB,
đường thẳng d đi qua D và vuông góc với AB. H là một điểm thay đổi trên d.
AH và BH cắt (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một
điểm cố định.
3. Cho tam giác ABC và đường cao AH thỏa AD = BC. Gọi H là trưc tâm tam
giác, M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Chứng minh rằng HN =
HM.
4. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi H, K lần
lượt là trực tâm các tam giác OAD và OBC; M, N lần lượt là trung điểm của

hình học 10
[2] Viktor Prasolov, Problems in plane and solid geometry, vol.1: Plane geometry.
[3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh
Sơn, Lê Bá
Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chuyên toán Hình học 10, NXB Giáo dục, 2009.