ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ CÔNG NHÀN

BÀI TOÁN HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI
TUYẾN TRONG HÌNH VÀNH KHĂN: DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN CỦA NGHIỆM KHI THỜI GIAN LỚN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ CÔNG NHÀN

BÀI TOÁN HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI
TUYẾN TRONG HÌNH VÀNH KHĂN: DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN CỦA NGHIỆM KHI THỜI GIAN LỚN

Chuyên ngành
Mã số chuyên ngành

: Toán Giải tích
: 60. 46. 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


2.2

Không gian hàm Lp (0, T ; X) , 1 ≤ p ≤ +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

Phân bố có giá trị vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4

Bổ đề về tính compact của Lions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.6

Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8


Tài liệu tham khảo

45

i


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi kính gửi đến Thầy hướng dẫn - TS. Nguyễn Thành Long lòng
biết ơn sâu sắc nhất về sự tận tình hướng dẫn của Thầy đối với tôi trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành luận văn này. Thầy là một tấm gương về lòng say mê nghiên cứu
khoa học và hết lòng tận tụy với nghề, với trò. Từ Thầy, tôi không chỉ được học kiến
thức, phương pháp nghiên cứu khoa học sao cho hiệu quả mà tôi còn có thêm niềm say
mê trong nghiên cứu khoa học. Với tôi, Thầy mãi là tấm gương sáng để tôi học tập và
phấn đấu suốt đời.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Trần Minh Thuyết, Thầy đã luôn tận
tình chỉ bảo tôi trong quá trình tham gia seminar và cho tôi nhiều nhận xét rất bổ ích
cho luận văn của mình.
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện và quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm
luận văn đã giành thời gian để đọc và đưa ra những nhận xét để luận văn được hoàn
chỉnh hơn.
Chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự
nhiên TP. Hồ Chí Minh, đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học
tập. Tôi cũng xin cảm ơn Ban Giám hiệu và quý Thầy, Cô thuộc Phòng Đào tạo Sau đại
học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
để tôi hoàn tất chương trình học tập ở trường.
Chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban lãnh đạo Khoa Sư phạm và toàn thể quý
Thầy, Cô trường Đại học An Giang đã tạo mọi điều kiện tốt nhất về thời gian và công
việc để tôi có thể học tập, nghiên cứu và hoàn tất chương trình học tập của mình.
Xin cảm ơn Thầy Hoàng và các bạn lớp Cao học Giải tích khóa 21 cùng các anh, chị

:

∂u
(x, t)
∂t

ux (t)

:

∂u
(x, t)
∂x

uxx (t)

:

∂ 2u
(x, t)
∂x2

:

Tích vô hướng, chuẩn thông thường trên L2

:

Tích vô hướng có trọng, chuẩn có trọng trên L2


H1

iii


Chương 1
Phần mở đầu
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương
trình nhiệt phi tuyến trong hình vành khăn sau đây
1
ut − uxx + ux + b(t)u + λ |u|α−2 u = f (x, t),
x
u(R, t) = 0,

R < x < 1, 0 < t < T,

ux (1, t) + hu(1, t) = g(t),
u(x, 0) = u0 (x),

(1.1)
(1.2)
(1.3)

trong đó u0 , b, f, g là các hàm cho trước. Bài toán được sự quan tâm của nhiều nhà Toán
học trong thời gian gần đây.
Trong [8], N. T. Long và Alain Pham Ngoc Dinh đã xét bài toán
∂u a(t) ∂
− γ
∂t
r ∂r

giọt sau khi thay đổi độ co giản [6].

1


Trong [5], Minasjan đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (1.4), (1.5)
với điều kiện T-tuần hoàn
u(r, 0) = u(r, T ),

(1.7)

F (r, u) = 0,

(1.8)

trong trường hợp
γ = 1,

u˜0 = 0,

và các hàm a(t), h(t), f (r, t) là T-tuần hoàn theo t. Ý nghĩa vật lý của bài toán (1.4),
(1.5), (1.7) và (1.8) là một dòng nhiệt tuần hoàn trong một hình trụ vô hạn với giả thiết
rằng hình trụ phụ thuộc vào sự trao đổi nhiệt một cách tuần hoàn ở bề mặt (r = 1) với
nhiệt độ môi trường bên ngoài là zêrô. Minasjan [5] đã tìm một nghiệm cổ điển của bài
toán này bằng cách dùng biến đổi Fourier. Phương pháp này dẫn đến một hệ giả chính
quy vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Tuy nhiên tính giải được của hệ phương
trình này không được chứng minh chi tiết trong [5].
Trong [4], Lauerova đã chứng minh rằng với các dữ kiện T-tuần hoàn, bài toán (1.4),
(1.5), (1.7), (1.8) có một nghiệm yếu T-tuần hoàn theo t.
Trong trường hợp


R < x < 1, 0 < t < T,

(1.11)

với điều kiện biên hỗn hợp
u(R, t) = 0,

ux (1, t) + hu(1, t) = g(t),

(1.12)

và điều kiện đầu
u(x, 0) = u0 (x).

(1.13)

Luận văn được chia thành sáu chương
Chương 1. Phần mở đầu. Giới thiệu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn,
điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn.
2


Chương 2. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số công cụ chuẩn bị bao gồm viêc nhắc
lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact, các bất đẳng
thức và các định lý được sử dụng trong luận văn.
Chương 3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Dùng phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin
và các Bổ đề compact, compact yếu, sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.11)
- (1.13) được chứng minh với điều kiện u0 ∈ L2 và các giả thiết thích hợp về b, f , g, h, λ.
Chương 4. Tính trơn của nghiệm yếu. Với u0 ∈ H 1 (R, 1), u0 (R) = 0 cùng với một số

và chuẩn sinh bởi tích vô hướng có trọng được ký hiệu bởi · ,


 12

1

∀u ∈ L2 .

xu2 (x)dx ,

u =
R

Chú thích 1 Chuẩn · và ·

L2

√
R v

là hai chuẩn tương đương trên L2 , bởi vì

L2

≤ v ≤ v

L2

,


≤ v

Lp (x,Ω)

4

≤ v

Lp

,

Lp

trên Lp là hai chuẩn tương

∀v ∈ Lp .


Trên H 1 ta xét tích vô hướng sau
u, v

và chuẩn sinh bởi tích vô hướng này, ký hiệu ·
2
1

u
Chú thích 3 Chuẩn ·
bởi vì


và chuẩn thông thường ·

√
R v

H1

≤ v

1

≤ v

H1

Ký hiệu V = {v ∈ H 1 : v(R) = 0}. Khi đó, V là không gian con đóng của H 1 , do đó V
cũng là một không gian Hilbert đối với tích vô hướng của H 1 .
Giả sử b ∈ C 1 [0, T ] với 0 < b0 ≤ b(t) ≤ b1 , ∀t ∈ [0, T ] và hằng số h > 0. Ta xét họ song
tuyến tính đối xứng {a (t; ·, ·)}0≤t≤T trên V × V như sau
a (t; u, v) =

xux (x)vx (x)dx + b(t)
Ω

xu(x)v(x)dx + hu(1)v(1)

(2.1)

Ω

vx ≤ v
vx

L2

≤ v

√
R v

H1

1
≤√
vx ,
R
√
≤ 2 − R vx

H1 ,

∀v ∈ V.
v → v 1 , v → vx

L2 ,

1

H1


Không gian hàm Lp (0, T ; X) , 1 ≤ p ≤ +∞

2.2

Giả sử 1 ≤ p ≤ +∞ và X là không gian Banach thực. Ta ký hiệu Lp (0, T ; X) là không
gian các hàm đo được u : (0, T ) → X sao cho
u

Lp (0,T ;X)

< +∞,

trong đó

u

Lp (0,T ;X)

 p1

T

=

u(t)

p
X

dt , 1 ≤ p < +∞,

4. Với 1 ≤ p < +∞, gọi X là không gian đối ngẫu của X và p là liên hợp của p thì
(Lp (0, T ; X)) = Lp (0, T ; X ) ;
5. Với 1 ≤ p < +∞, ta có Lp (0, T ; Lp (Ω)) = Lp (QT ).

2.3

Phân bố có giá trị vectơ

Cho X là không gian Banach thực. Phân bố có giá trị trong X là một ánh xạ u : D(0, T ) →
X tuyến tính liên tục. Tập các hàm phân bố có giá trị trong X được ký hiệu là D (0, T ; X).
Đạo hàm phân bố của u ∈ D (0, T ; X), ký hiệu
du
,φ
dt
Khi đó

= − u,

dφ
dt

du
∈ D (0, T ; X).
dt
6

,

d
được xác định bởi

Bổ đề 2.3 (Bổ đề về tính compact của Lions [3], trang 57) Với các giả thiết như
trên và 1 < pi < ∞, i = 0, 1 thì phép nhúng W (0, T ) → Lp0 (0, T ; B) là compact.
Bổ đề 2.4 (Bổ đề về sự hội tụ yếu của Lions [3], trang 12) Giả sử Q là tập mở
bị chặn của RN và Gm , G ∈ Lq (Q), 1 < q < +∞ sao cho
Gm

Lq (Q)

≤ C, với C là hằng số độc lập với m,

và Gm → G hầu hết x ∈ Q. Khi đó
Gm → G trong Lq (Q) yếu.

2.5

Các bất đẳng thức

Ta có các bất đẳng thức sau
i. Với mọi x, y ∈ R và α ∈ (1, 2] thì
|x|α−2 x − |y|α−2 y ≤ 22−α |x − y|α−1 ;

(2.2)

ii. Với mọi x, y ∈ [−M, M ], ∀M > 0 và α ≥ 2 thì
|x|α−2 x − |y|α−2 y ≤ (α − 1) M α−2 |x − y| .

(2.3)

Bổ đề 2.5 (Bổ đề Gronwall) Giả sử f : [0, T ] → R là hàm liên tục không âm trên
[0, T ] và thỏa bất đẳng thức

|fj (t)|,

∀f = (f1 , ..., fm ) ∈ X.

j=1

Giả sử A ⊂ X thỏa mãn các điều kiện sau
i. A bị chặn đều, tức là tồn tại M > 0 sao cho f
ii. A liên tục đồng bậc, tức là với mọi
thỏa |t − t| < δ thì ta có

X

≤ M , với mọi f ∈ A;

> 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t, t ∈ [0, T ]

|f (t ) − f (t)|1 ≤ ,

∀f ∈ A.

Khi đó, A compact tương đối trong X.
Định lý 2.7 (Định lý điểm bất động Schauder) Giả sử S là tập con khác rỗng, lồi,
đóng trong không gian Banach X và U : S → S là ánh xạ liên tục sao cho bao đóng U (S)
là tập compact. Khi đó, U có ít nhất một điểm bất động trong X.
Định lý 2.8 (Bổ đề Brouwer) Cho P : Rm → Rm liên tục thỏa tồn tại ρ > 0 sao cho
P (x), x ≥ 0,

∀x ∈ Rm , x


ux (1, t) + hu(1, t) = g(t),

(3.2)

và điều kiện đầu
u(x, 0) = u0 (x),

(3.3)

trong đó α > 1, λ > 0, h > 0, 0 < R < 1 là các hằng số cho trước và u0 , b, f , g là các
hàm số cho trước thỏa các điều kiện sẽ được chỉ ra sau đó.
Nghiệm yếu của bài toán (3.1) - (3.3) được hiểu là một hàm u(t) xác định trên khoảng
(0, T ) thỏa mãn bài toán biến phân
d
u(t), v + a (t; u(t), v) + λ ψα (u(t)) , v = f (t), v + g(t)v(1), ∀v ∈ V,
dt

(3.4)

và điều kiện đầu
u(0) = u0 ,

(3.5)

trong đó V = {v ∈ H 1 : v(R) = 0}, ψα (x) = |x|α−2 x và
a (t; u(t), v) = ux (t), vx + b(t) u(t), v + hu(1, t)v(1).
Trong chương này sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (3.1) - (3.3) được
chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin được giới thiệu bởi
Lions, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và các Bổ đề compact, compact yếu.
Trong quá trình chứng minh, Định lý Schauder cũng được sử dụng để kiểm tra sự tồn

nghiệm xấp xỉ um (t) của bài toán (3.4) - (3.5) dưới dạng
m

um (t) =

cmj (t)wj ,

(3.6)

j=1

trong đó cmj , j = 1, 2, ..., m thỏa hệ phương trình vi phân
um (t), wi + a (t; um (t), wi ) + λ ψα (um (t)) , wi
= f (t), wi + g(t)wi (1), 1 ≤ i ≤ m, (3.7)
và
um (0) = u0m ,

(3.8)

trong đó
m

βmj wj → u0 mạnh trong L2 .

u0m =
j=1

10

(3.9)





cmi (0) = βmi , 1 ≤ i ≤ m,
trong đó

aij (t) = a (t; wj , wi ) ,





Ni [cm ](t) = λ ψα (um (t)) , wi ,





Fi (t) = f (t), wi + g(t)wi (1), 1 ≤ i, j ≤ m,
hay viết hệ (3.12) dưới dạng vectơ

cm (t) + A(t)cm (t) + N [cm ](t) = F (t),

(3.13)


cm (0) = βm ,
trong đó



A(t) = (a (t)) .
ij
Bổ đề sau chứng tỏ rằng với mỗi m, tồn tại một nghiệm um (t) có dạng (3.6) thỏa bài toán
(3.7) - (3.9) hầu khắp nơi trên [0, Tm ], với 0 < Tm < T được chỉ ra sau.
Bổ đề 3.2 Cho T > 0 và giả sử (H1 ) - (H5 ) đúng. Khi đó hệ (3.13) có ít nhất một nghiệm
trên [0, Tm ], 0 < Tm ≤ T .
11


Chứng minh. Để đơn giản ta bỏ qua chỉ số m trong cách viết, sau đó lấy tích phân hai
vế của (3.13) ta được
¯
¯ [c](t),
c(t) = U [c](t) = F¯ (t) + L[c](t)
+N

(3.14)

trong đó
t

F¯ (t) = β +

t

F (s)ds;

¯
L[c](t)





β = (β1 , ..., βm )T ,





Ni [c](t) = λ ψα (u(t)) , wi ,






m



u(t) =
cj (t)wj .
j=1

Ta sẽ sử dụng Định lý Schauder để chứng minh phương trình (3.14) có nghiệm.
Với Tm ∈ (0, T ] và r > 0 được chỉ ra sau, ta đặt X = C ([0, Tm ], Rm ) và S = {c ∈ X :
c X ≤ r} với chuẩn trên X được định nghĩa như sau
m


|F (s)|1 ds ≤ |β|1 +
0

0

Suy ra
F¯

X

= sup |F¯ (t)|1 ≤ F¯T .
0≤t≤Tm

Chú ý rằng
|Bβ|1 ≤ B ∗ |β|1 ,
12

(3.15)


∀β = (β1 , ..., βm ) ∈ Rm , ∀B = (bij ) ∈ Mm (tập các ma trận cấp m), trong đó
m

|β|1 =

m

|βi | và

B

c

X ds

≤ Tm sup

0≤s≤T
0

A(s)

∗

c

X,

0≤s≤T

0

Vì vậy
¯
L[c]

X

≤ rTm sup

A(s) ∗ .

X

≤ qm r,

L∞ .

1≤j≤m

Suy ra
ψα (u(t))

2

x |u(x, t)|2(α−1) dx ≤ (qm r)2(α−1) .

xψα2 (u(x, t)) dx =

=
Ω

Ω

Vì vậy, ta có
m

m

|N [c](t)|1 =

|Ni [c](t)| ≤ λ

≤ mTm λ(qm r)α−1 .

(3.17)

Từ (3.15), (3.16) và (3.17) ta có
U [c]

X

≤ F¯

X

¯
+ L[c]

X

¯ [c]
+ N

X

≤ F¯T + Tm

sup
0≤s≤T

13


cj (t)wj (x),
j=1

và
¯ [¯
¯ [¯
¯ [c].
U [¯
c] − U [c] = L
c − c] + N
c] − N
Với mọi x ∈ (R, 1) và với mọi t ∈ [0, Tm ], ta có
m

|¯
u(x, t) − u(x, t)| ≤

|¯
cj (t) − cj (t)||wj (x)|
j=1
m

≤

wj

L∞

|¯
cj (t) − cj (t)|

X

¯ [¯
¯ [c]
+ N
c] − N

X.

(3.19)

Với mọi t ∈ [0, Tm ] ta có

t

¯ c − c](t)|1 ≤
|L[¯

|¯
c(s) − c(s)|1 ds

A(s)

∗

sup

A(s)

0

X

≤ Tm sup
0≤s≤T

14

A(s)

∗

c¯ − c

X.

(3.20)


Đánh giá

¯ [¯
¯ [c]
N
c] − N

X.

Ta có
t


u(x, t)) − ψα (u(x, t))| ≤ 22−α |¯
u(x, t) − u(x, t)|α−1 ≤ 22−α qm

α−1
X .

Suy ra
α−1
X .

α−1
ψα (¯
u(t)) − ψα (u(t)) ≤ 22−α qm
c¯ − c

Do đó
Tm

¯ [¯
¯ [c](t)
N
c](t) − N

1

α−1
mλ22−α qm
c¯ − c

≤


Với α > 2, sử dụng bất đẳng thức (2.3) với M = qm r > 0 ta được
|ψα (¯
u(x, t)) − ψα (u(x, t))| ≤ (α − 1)M α−2 |¯
u(x, t) − u(x, t)| ≤ (α − 1)qm M α−2 c¯ − c

X

.

Suy ra
ψα (¯
u(t)) − ψα (u(t)) ≤ (α − 1)qm M α−2 c¯ − c

X

.

Do đó
¯ [¯
¯ [c](t)
N
c](t) − N

1

≤ mλ(α − 1)qm M α−2 c¯ − c

X



U [c](t ) − U [c](t) =

t

F (s)ds −

t

A(s)c(s)ds −

t

t

N [c](s)ds.
t

Suy ra
t

t

|U [c](t ) − U [c](t)|1 ≤

|F (s)|1 ds + sup

A(s)

0≤s≤T

|N [c](s)|1 ds
t

ds + sup

A(s)

0≤s≤T

t

c

∗

X

ds

t

t

+ mλ

ψα (u(s)) ds
t

≤ F



= f (t), um (t) + g(t)um (1, t), (3.24)

16


Lấy tích phân từ 0 đến t theo biến thời gian, ta được
t

um (t)

2

+2

t

a (s; um (s), um (s)) ds + 2λ
0

um (s)

α
Lα (x,Ω)

ds

0
t
2

0

trong đó
t

Sm (t) = um (t)

2

t

umx (s)

+2

2

um (s)

ds + 2λ

0

α
Lα (x,Ω)

ds.

(3.27)


2

2
L2 (0,T ;L2 )

ds ≤ f

+

0

Sm (s)ds, (3.29)
0

và
t

t

|g(s)um (1, s)| ds ≤ 2

2

1−R
R

|g(s)| umx (s) ds

0


1
+ Sm (t).
2

Từ (3.26), (3.27), (3.28), (3.29) và (3.30) ta được
t

Sm (t) ≤

(1)
CT

+2

Sm (s)ds,
0

17

∀t ∈ [0, T ], ∀m ∈ N,

(3.30)


(1)

với CT = 2 C1 + f

2
L2 (0,T ;L2 )


1 d
um (t)
α dt

α
Lα (x,Ω)

= t2 f (t), um (t) + t2 g(t)um (1, t). (3.32)
Lưu ý rằng
t2 a (t; um (t), um (t)) =

1d
1
a (t; tum (t), tum (t)) − ta (t; um (t), um (t)) − b (t) tum (t)
2 dt
2

2

.

Do đó (3.32) được viết lại

2 tum (t)

2

+


sum (s)

2

ds + a (t; tum (t), tum (t)) +

2λ 2
t α um (t)
α

α
Lα (x,Ω)

0
t

=2

t

sa (s; um (s), um (s)) ds +
0

t

4λ
b (s) sum (s) 2 ds +
α
0


i=1


Do tính bức của dạng song tuyến tính a (t; ·, ·) ta suy ra
t

Xm (t) ≤ 2

t

sa (s; um (s), um (s)) ds +
0

ds

0

t

4λ
+
α

2

b (s) sum (s)

t

t

+2

2

ds.

(3.36)

0

Ta đánh giá các số hạng ở vế phải của (3.35).
Với mọi t ∈ [0, T ] ta có đánh giá
t

t

sa (s; um (s), um (s)) ds ≤ 2T a1

I1 = 2
0

2

umx (s)

(1)

ds ≤ T a1 Sm (t) ≤ T a1 C˜T , (3.37)

0

umx (s)
R

≤ ˜bT 2

2

ds

0

≤

˜bT 2 1
˜bT 2 (1)
Sm (t) ≤
C˜ .
R 2
2R T

(3.38)

Hơn nữa, với mọi t ∈ [0, T ] ta cũng có
t

4λ
I3 =
α

t

α
α T

(3.39)


Sử dụng bất đẳng thức H¨older và Cauchy ta có đánh giá
t

t

sf (s), sum (s) ds ≤ 2

I4 = 2
0

sf (s)

sum (s) ds

0
t

≤

t

2 sf (s)

1

2

2

s2 g(s) um (1, s)ds,

s g(s)um (1, s)ds = 2t g(t)um (1, t) − 2

I5 = 2
0

0

nên với mọi t ∈ [0, T ] ta có
t

I5 ≤ 2 g

2

L∞ (0,T )

t

1−R
umx (t) + 2
R

1−R
R

umx (s)

2

ds

0
T

1
1−R
g
≤ Xm (t) + 4T 2
4
R

2
L∞ (0,T )

1−R
+
R

s2 g(s)

2

1 (1)
ds + C˜T .
2

Vậy
(1)

Xm (t) ≤ 2T C˜T

a1 +

˜bT
2
+
2R α

20

+4 f

2
L2 (0,T ;L2 )

(2)

(3)

+ C˜T ≡ C˜T ,

(3.42)