–1–

MỤC LỤC
Trang
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1

MÔĐUN ĐỀU, MÔĐUN CON CỐT YẾU, MÔĐUN

6

NỘI XẠ, BAO NỘI XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
1.1.2
1.1.4
1.1.5
1.1.9

Môđun con cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Môđun đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bao nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7
10
13

15
16
16
16
16
17
17

Chương II. CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ 18
2.1

Chiều đều của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Môđun con nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


–2–

BẢNG KÝ HIỆU





tổng của



*



E(M)
u(M)

đẳng cấu với

tích của
tập hợp các số tự nhiên
tập hợp các số nguyên dương
tập hợp các số nguyên
tập hợp các số hữu tỉ
tập hợp các số thực
bao nội xạ của môđun M
chiều đều của môđun M


–3–

MỞ ĐẦU
Từ năm 1958 khi Goldie công bố cấu trúc của vành nguyên tố dưới
chuỗi tăng có điều kiện và giới thiệu khái niệm chiều đều của môđun M

chương II của luận văn, phần thứ nhất cho kết luận là khi môđun M có
n

chiều đều hữu hạn thì u(M) =

 u (M / K ) nếu và chỉ nếu 0 = K1 ... 
i 1

i

Kn, ở đây Ki ( 1≤ i ≤ n ) là các môđun con của M sao cho Ki là một bù giao
của K1 ...  Ki–1 Ki+1  ... Kn trong M với mỗi 1 ≤ i ≤ n. Hơn nữa nếu thêm
điều kiện Ki là bất khả quy với mọi i thì u(M) = n. Trong phần thứ hai, luận văn
trình bày chiều đều của một môđun thương: u(M / N) =



n
i 1

u (Li / (Li  Ki)),

trong đó Li =  {Kj : 1 ≤ j ≤ n và Pj  Pi} với mỗi i, nếu Pi không là một
iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu của N và Li = M nếu Pi (1 ≤ i ≤ n) là
một iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu của N trong một sự phân tích
chuẩn N = K1  ...  Kn, ở đây Ki là môđun con Pi-nguyên tố, với Pi (1 ≤ i ≤ n)
là iđêan nguyên tố nào đó của R.
Ngoài phần mở đầu và kết luận,để giúp người đọc tiện theo dõi, nội
dung chính của luận văn được chia làm hai chương:
+ Chương I: Chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản như:

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn luôn giả thiết vành R là vành có đơn vị 1 và
mọi môđun là R-môđun trái unita.

1.1. MÔĐUN ĐỀU, MÔĐUN CON CỐT YẾU, MÔĐUN NỘI XẠ,
BAO NỘI XẠ
1.1.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun, A  M được gọi là môđun con cốt
yếu (hay lớn) trong M. Kí hiệu là A

* M hay A

e M, nếu  0  B  M

thì A  B  0, hay với  B  M sao cho A  B = 0 thì B = 0. Ta quy ước
0

* M khi và chỉ khi M = 0, và với mọi M thì M

* M.

1.1.2. Định nghĩa. Cho môđun RU, U được gọi là môđun đều (hay
uniform) nếu  0  A  U thì A * U, hay  0  A, B  U thì A  B  0.
1.1.3. Ví dụ. a) Xét  -môđun  . Lấy môđun con 0  A   thì A = k  ,
với k   * và lấy 0  B   thì B = n  , n   *. Khi đó 0  kn  A  B
cho chúng ta A

*  . Vậy  là môđun đều.

b) Xét  -môđun  thì  là môđun đều. Thậy vậy lấy 0  A, B  

* B

* M nếu và chỉ nếu 

2i) Cho A  B  RM, A

* Bi  RM, với 1 ≤ i ≤ n thì

n

A

i

i 1

* M

.

n

*

B .
i

i 1

Chú ý: Nếu i  I vô hạn thì 3i) không đúng.

mà Rx  X nên X  A  0.


–8–

2i) Với  0  C  B cho 0  C  M khi đó C  A  0 (vì A

* M), vì

* B và  0  X là M nên A  X 0 (vì A

* M) cho

thế chúng ta có A

chúng ta B  X  0 (do A  X  B  X). Nghĩa là B là môđun con của M.
Ngược lại với  0  Z  M, thì Z  B  0 do B * M và Z  B là
môđun con B, nên chúng ta có A  (Z  B)  0 (A

* B) cho A  Z  0.

* M.

Do đó A

* B1 và A2

3i) Cho A1

* B2 ta sẽ chứng minh A1  A2

i 1

4i) Cho f: M  N là một đồng cấu, với X  M thỏa X  f 1 ( B) = 0 thì
f(X)  B = 0, do đó f(X) = 0 (do B

* N), điều này cho chúng ta X  Kerf

= f 1 (0) là môđun con của f 1 ( B) . Vậy X = X  f 1 ( B) = 0. Nghĩa
là f 1 ( B ) là môđun con cốt yếu của M.
5i) Cho 0  X  M. Nếu X  A cho X  K vì thế X  K = X  0. Do đó chúng
ta có K

* M, nếu X  A thì (X + A) / A  0 nên (X + A) / A  K / A  0


–9–

(K / A là môđun con cốt yếu của M / A) thế nên (X + A)  K  A, điều
này cho X  K  0. Do vậy K

* M.

6i) Trường hợp I có hạng I = n là tập hữu hạn. Dùng quy nạp theo n chỉ
cần chứng minh với n = 2. Cho A1
Theo Tính chất 3i), A1  A2

* M1, A2

* M2 và tồn tại A1  A2.


duy nhất. Vậy tồn tại  M i .
I

Lấy 0  X   M i , ta chỉ cần chứng minh X  A  0.
I


–10–

Thật vậy do X  0 nên tồn tại 0  x  X có dạng x = x1 + ... + xn, và
n

n

i 1

i 1

x   M i , vì đã đúng với hữu hạn nên  Ai
n

n

i 1

i 1

n

n


N
g
M

f

E
h


–11–

1.1.6. Bổ đề. Cho (Ei)i  I là một họ các R-môđun. Khi đó tích trực tiếp



iI

Ei , là nội xạ khi và chỉ khi Ei,  i  I là nội xạ.

Chứng minh. Đặt E   iI Ei , với mọi i  I ta ký hiệu Pi: E  Ei là một
toàn cấu chính tắc và ji: Ei  E là một đơn cấu chính tắc xác định bởi tích
trực tiếp E. Giả sử E là nội xạ. Ta sẽ chứng minh rằng Ei,  i  I, là nội xạ.
Thật vậy, cho f: N  M là R-đơn cấu và g: N  Ei là một R-đồng
cấu tùy ý. Vì E là nội xạ và ji  g là một R-đồng cấu từ N vào E, nên tồn
tại mở rộng h: M  E của ji  g để ji  g = h  f. Đặt k = pi  h: M  Ei là
một R-đồng cấu, dễ thấy rằng ánh xạ pi  ji = 1Ei, do đó ta suy ra k  f = pi
 h  f = pi  ji  g = g. Điều này chứng tỏ Ei là môđun nội xạ.
Ngược lại, giả sử Ei là nội xạ với mọi i  I. Cho f : N  M là Rđơn cấu và  : N  E là một R-đồng cấu tùy ý. Khi đó tồn tại một mở

Theo định lý đẳng cấu môđun ta có:


–13–

F / E’ (E + E’) / E’  E / (E  E’) = E.
Suy ra F / E’  (E + E’) / E’. Theo giả thiết E không có mở rộng thực sự
nên (E + E’) / E’ cũng không có mở thực sự nào. Do đó tồn tại một
môđun con Y của F sao cho Y  E’ và Y / E’  (E  E’) / E’ = 0.
Ta suy ra Y  (E + E’) = E’, tức là: Y  E  Y  (E + E’) = E’.
Vậy Y  E  E  E’ = 0, tức là Y   . Điều này trái với giả thiết cực đại
trong  của E’ và định lý được chứng minh. 
1.1.9. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. Một R-môđun E được gọi là bao
nội xạ của M, nếu E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M.
Ta ký hiệu bao nội xạ của môđun M là E(M).
Theo Định lý 1.2.8 cho ta:
1.1.10. Hệ quả. Cho môđun M, khi đó E(M) là mở rộng cốt yếu cực đại
của M.
Một tính chất quan trọng của bao nội xạ là định lý sau đây:

1.1.11. Định lý. Mỗi R-môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ và giả sử
E, E’ là những bao nội xạ của M, khi đó tồn tại một R-đẳng cấu f : E  E’
sao cho f(x) = x, với  x  M.
Chứng minh. Do M là R-môđun nên luôn tồn tại mở rộng F của M và F là
R-môđun nội xạ. Hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.2.4, ta chỉ ra
được sự tồn tại một mở rộng E của M là phần tử cực đại (theo quan hệ bao
hàm) trong tập  tất cả các môđun con của F là mở rộng của M. Ta
chứng minh E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M (và khi đó E chính là



1.2.2. Định nghĩa. Cho R-môđun M, H  M được gọi là có một sự phân
tích nguyên sơ nếu H là giao hữu hạn các môđun con nguyên sơ của M.
Hơn nữa, khi H có sự phân tích nguyên sơ thì H là môđun con thực sự của M.
1.2.3. Định nghĩa. Cho N  M-môđun. Khi đó N = K1  ...  Kn được gọi
là sự phân tích không rút gọn được của N khi và chỉ khi N  K1  ...  Ki–1
 Ki+1  ...  Kn với mọi 1 ≤ i ≤ n.
1.2.4. Định nghĩa. Cho R-môđun M, N  M sao cho N có sự phân tích
nguyên sơ. Khi đó N được gọi là có sự phân tích chuẩn (trực giao) nếu và
chỉ nếu N có một sự phân tích không rút gọn được là N = K1  ...  Kn, với n
là số nguyên dương và các môđun Ki là môđun Pi-nguyên sơ (1 ≤ i ≤ n) ở
đây Pi là các iđêan nguyên tố phân biệt nào đó của R.
1.2.5. Bổ đề. Cho R là một vành, P là iđêan nguyên tố của R, n là một số
nguyên dương và Ki là các môđun con P-nguyên sơ của M với mỗi 1 ≤ i ≤ n.
Khi đó



n

K i cũng là môđun con P-nguyên sơ của M.

i 1

Chứng minh. Với mỗi 1 ≤ i ≤ n thì Ki là P-nguyên sơ, do đó tồn tại một số
nguyên dương ti sao cho PtiM  Ki  PM  PtM 
t là giá trị lớn nhất của các ti). Do đó



n

H j khi đó K1 là P1-nguyên sơ. Lập lại lý luận này cho đến

j 1

hết ta có N = K1  ...  Kn là sự phân tích chuẩn. 
1.2.7. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. Một môđun K con của môđun M
được gọi là môđun con nguyên tố nếu K  M và (K : M) = (K : L) với
mỗi L  M thực sự chứa K. Nếu K là môđun con nguyên tố của M khi đó
P = (K : M) là một iđêan nguyên tố của vành R và trong trường hợp này,
chúng ta gọi K là P-nguyên tố.
1.2.8. Hệ quả. Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó các phát
biểu sau cho K  M là tương đương:
(i) K là P-nguyên tố;
(ii) K là P-nguyên sơ và P  (K : M).
Chứng minh. Hiển nhiên đúng do định nghĩa.
1.2.9. Định nghĩa. Cho R-môđun M, N M được gọi là căn môđun con
của M khi và chỉ khi N là giao của những môđun con nguyên tố của M.
1.2.10. Định nghĩa. Cho R-môđun M, N M được gọi là có một sự phân
tích nguyên tố khi và chỉ khi N = K1  ...  Kn với n là số nguyên dương,
Ki (1 ≤ i ≤ n) là những môđun con nguyên tố của M.
1.2.11. Định nghĩa. Cho R-môđun M, N M được gọi là có một sự phân
tích nguyên tố không rút gọn được khi và chỉ khi N = K1  ...  Kn với n


–17–

là số nguyên dương, Ki (1 ≤ i ≤ n) là các môđun con nguyên tố của M, và
N  K1  ...  Ki–1  Ki+1  ...  Kn với mọi 1 ≤ i ≤ n.
1.2.12. Định nghĩa. Cho R-môđun M, N M được gọi là có một sự phân
tích nguyên tố chuẩn khi và chỉ khi N = K1  ...  Kn với n là số nguyên

* M.


–19–

Trường hợp 2: Tồn tại C  M sao cho C  N = 0. Khi đó C  K
(Do K là phần tử cực đại có tính chất K  N = 0), vì thế C  K ≠ 0 nên
C  (K  N) ≠ 0, do đó chúng ta có K  N

* M. 

(Chứng minh bổ đề này có thể tham khảo [4, 1.10]).
Một môđun K con của môđun M được gọi là đóng trong M nếu K
không có sự mở rộng cốt yếu thật sự trong M, nghĩa là nếu L  M sao
cho K

* L thì K = L. Ở đây có nghĩa là mỗi bù giao trong M là đóng

trong M. Định lý này được chứng minh qua kết quả sau:
2.1.2. Bổ đề. Cho K  M. Các phát biểu sau đây là tương đương:
i) K là một bù giao trong M;
ii) K là đóng trong M;
iii) Với mỗi L

* M và K  L thì L / K

* M / K.

Chứng minh. i)  ii) K là một bù giao trong M nên tồn tại N  M sao cho
K là một bù giao của N trong M, nếu K tồn tại một mở rộng cốt yếu trong

cầu cần xét đến để nó phù hợp với yêu cầu. Chú ý xa hơn, một cách đơn
giản dùng bổ đề Zorn cho lý luận là mỗi môđun con của M là môđun con
cốt yếu của một môđun con đóng của M. Để nắm thêm thông tin về
môđun đóng và môđun bù giao ta có thể tham khảo thêm [4,1.10].
2.1.3. Bổ đề. Cho N, K  M nếu K đóng trong M, K  N = 0 và K  N là
môđun con cốt yếu của M thì K là một bù giao của N trong M.
Chứng minh. Cho H  M chứa K thực sự thỏa mãn H  N = 0, Khi đó K
không là môđun con cốt yếu của H (Do K đóng trong M), nên tồn tại 0 ≠ L
là môđun con của H (với H  M, nên L ≠ 0 trong M) sao cho K  L = 0.


–21–

Tiếp nửa L  (K  N) ≠ 0 (Do K  N

* M) nên tồn tại 0 ≠ x  L sao cho

x = y + z, ở đây y  K, z  N. Chú ý rằng 0 ≠ z = x – y  L  N  H  N.
Như vậy ta có K là lớn nhất trong M có tính chất K  N = 0. Hay K là một
bù giao của N trong M. 
2.1.4. Bổ đề. Cho K, L  M sao cho K  L = 0, khi đó tồn tại K’, L’  M
sao cho K  K’ và L  L’, K’ L’= 0, K’ là một bù giao của L’ và L’
cũng là một bù giao của K’ trong M.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.1 thì tồn tại K’ là một bù giao của L trong M
sao cho K  K’. Cho L’ là môđun con đóng tùy ý của M thỏa L
Chú ý rằng K’  L = 0 và L

* L’.

* L’ nên K’  L’ = 0 (Vì K’ L’  L’, nếu

với mọi 1 ≤ i ≤ n. Hơn nữa nếu k là số nguyên dương và Vi (1 ≤ i ≤ k) là
các môđun con đều độc lập của M sao cho V1  ...  Vk

* M thì n = k.

Chứng minh. Nếu mọi môđun 0  X, Y  M sao cho X  Y  0. Khi đó
M là môđun đều nên M

* M. Nếu có 0  A, B là hai môđun con của M

thỏa mãn A  B = 0. Khi đó theo Bổ đề 2.1.4 tồn tại X, Y  M sao cho A
 X và B  Y và X là một bù giao của Y, Y là một bù giao của X trong M,
theo Bổ đề 2.1.1 thì X  Y

* M.

Xét môđun X, giả sử X không là môđun đều, khi đó lập lại lý luận
trên phải tồn tại 0  X1, X2  X sao cho X1  X2 = 0, và hai môđun con
của X khác 0 là Z1, Z2 thỏa điều kiện: X1  Z1, X2  Z2, Z1 là một bù giao


–23–

của Z2, Z2 là một bù giao của Z1 trong X và Z1  Z2

* X. Theo Tính chất

6i) 1.2.4 cho Z1  Z2  Y là môđun con cốt yếu của X  Y, do đó Z1  Z2
Y



–24–

Cuối cùng ta chứng minh n = k. Theo chứng minh trên thì chúng ta
có (U1  ...  Un )  Vj  0, với 1 ≤ j ≤ k, do Vj là môđun đều nên có duy
nhất môđun Ui (1 ≤ i ≤ n) sao cho Ui  Vj  0 và Ut  Vj = 0 với mọi t  i
Điều này cho ta kết quả k ≤ n. Tương tự như chứng minh này bằng cách
thay vai trò giửa môđun Ui và Vj cho ta n ≤ k. Từ đó cho ta n = k. 
(Chứng minh bổ đề này có thể tham khảo [4, 5.1, 5.5, 5.7] hoặc [10, 2.2.7,
2.2.8, 2.2.9]).
Cho môđun M khác 0 có chiều đều hữu hạn, thì số nguyên dương n
trong Bổ đề 2.1.6 được gọi là chiều đều (hay chiều uniform, chiều goldie)
của môđun M và ký hiệu là u(M) = n, nếu M = 0 ta có u(M) = 0, nếu M là
môđun đều thì u(M) = 1 và nếu môđun M có chiều đều không hữu hạn ta
nói u(M) = .
2.1.7. Bổ đề. Cho M là môđun có chiều đều hữu hạn và cho tùy ý K  M.
Khi đó u(M) ≤ u(K) + u(M / K). Hơn nữa K là đóng trong M nếu và chỉ
nếu M / K có chiều đều hữu hạn và u(M) = u(K) + u(M / K).
Chứng minh. Với K M, theo Tính chất 1.2.4,7) tồn tại L  M sao cho
(K  L) là môđun con cốt yếu của M, nên u(M) = u(K  L) = u(K) + u(L).
Nhúng L vào M / K cho ta u(K) + u(L) ≤ u(K) + u(M / K). Vậy
u(M) ≤ u(K) + u(M / K).
Do K là đóng trong M nên K là một bù giao của L, với 0  L là
môđun con M, Bổ đề 2.1.1 cho (K  L)

* M, do đó (L  K) / K là

môđun con cốt yếu của M / K bởi Bổ đề 2.1.2, và (L  K) / K  L nên