SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010

Đề chính thức

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009

Câu 1: (2,0 điểm)
1
=7
x2
1
1
Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + 3 và B = x5 + 5
x
x
 1
1
+ 2− = 2

y
 x
2. Giải hệ phương trình:

 1 + 2− 1 = 2
 y

đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK ⊥ BN .
2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2 .Vẽ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng 45 0
có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh
rằng: 2 2 − 2 ≤ DE < 1 .
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd ,trong đó ad − bc = 1 .
Chứng minh rằng: P ≥ 3 .
Hết
......................................................

1


SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010

Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
(Đáp án này gồm 04 trang)

2


Câu
1

ý

x
x
x
x
1
⇒ B = x5+ 5 = 7.18 - 3 = 123
x
1
1
1
1
+ 2− =
+ 2−
Từ hệ suy ra
(2)
y
x
x
y

Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = 9 ⇒ x +

Nếu

1
1
>
thì
x
y


b b
2 − 3. +  ÷
2
2
2a − 3ab + b
a  a  ( Vì a ≠ 0)
Khi đó Q =
=
2
b c
2a − ab + ac
2− +
a a

2 + 3(x1 + x 2 ) + (x1 + x 2 ) 2
=
2 + (x1 + x 2 ) + x1x 2
2
2
Vì 0 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 2 nên x1 ≤ x1x 2 và x 2 ≤ 4

0.25
0.25

⇒ x12 + x 2 2 ≤ x1x 2 + 4 ⇒ ( x1 + x 2 ) ≤ 3x1x 2 + 4
2 + 3(x1 + x 2 ) + 3x1x 2 + 4
=3
Do đó Q ≤
2 + (x1 + x 2 ) + x1x 2


0.25

0.25

1 ĐK: x ≥ A
2, y ≥I - 2009, zB≥ 2010

0.25

Phương trình đã
O với:
K
B cho tương đương
x − 2 +2 My + 2009
x+y+z=2 E
D

⇔(

x
x −x 2

0.25

+2 z − 2010

- 1)2 + (M y + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = 0

A


x x −1 x x +1
−
x− x
x+ x

1- Tìm điều kiện để M có nghĩa.
2- Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
3- Cho N=

1
6
1 
3
 6x + + x + 3 ÷. Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
18 
x
x 

y = x2

 z = xy
Bài 2(1,5) điểm): Giải hệ phương trình: 
1 = 1 + 2
 x y z

với x, y, z > 0

Bài 3(1,5 điểm):
Tính giá trị của biểu thức A = x 3 − 6x với x = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2

MÔN TOÁN
ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung

Bài 1(2,5 điểm): Cho M =

Điểm

x x −1 x x +1
−
x− x
x+ x

1- Tìm điều kiện để M có nghĩa.
2- Rút gọn M (với điều kiện M M có nghĩa)
3- Cho N=

1
6
1 
3
 6x + + x + 3 ÷. Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
18 
x
x 

1-(0,5 đ)
x ≥0

Để M có nghĩa, ta có:  x − x ≠ 0

= 2
x −x
2(x 2 − x)
=
= 2. Vậy M = 2
x2 − x

M=

3-(1,0 đ)

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

5


Với x > 0, ≠ 1 ta có: 2 =

1
1
1 
3
 6(x + ) + x + 3 ÷
18 
x

Đặt x +

2

3
39
⇔ y = 3 > 2 (vì y 2 + 3y + 12 =  x + ÷ +
>0)
2
4

1
Với y = 3 , ta có x + = 3 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ( ∆ = 9- 4= 5 > 0)
x
3
+
5
3− 5
3+ 5
3− 5
⇔ x1 =
, x2 =
(tmđk). Vậy với x1 =
, x2 =
thì M = N
2
2
2
2
y = x2

x 3 = 40 + 3ab(a+b) = 40 + 3ab x
Ta lại có ab = 3 20 + 14 2 .3 20 − 14 2 = 3 (20 + 14 2 )(20 − 14 2 ) = 3 20 2 − 2.14 2
= 3 8=2
Vậy A = x 3 - 6x = 40 + 6x – 6x = 40

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường
kính AH, đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Các tiếp
tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC thứ tự ở M và N.
1- Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng
hàng.

N

H

C

0,25
0,25

2-(1,0 đ)
Vì AH ⊥ BC tại H ⇒ BC là tiếp tuyến của (O)
Ta có MD = MH (hai tiếp tuyến của (O) cùng xuất phát từ M)
OD = OH =

1
AH (vì ADHE là hình chữ nhật)
2

⇒ OM là đường trung trực của DH
⇒ OM ⊥ DH
0,25
⇒
∠
ADH
⊥
Vì
=1v (theo (2))
AB DH tại D
⇒ OM//AB
0,25

2

Lại có DE = AH (vì ADHE là hình chữ nhật)
1 1
1
1
Do đó: SDENM = . BC.AH = AB.AC = .10.7 = 17,5 (cm2)

0,25

Bài 5(1,5 điểm): Tìm tất cả các bộ ba số (x; y; z) với x, y, z ∈ Z để:
P = (x − zy) 2 + 6(x − zy) + x 2 + 16y 2 − 8xy + 2x − 8y + 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
P = [( x − zy )2 + 6 ( x − zy ) + 9 ] + [ (x2 – 8 xy + 16 y2) + 2 ( x − 4y ) + 1 ]
= [( x − zy ) + 3 ]2 + [( x − 4y )2 + 2 ( x − 4y ) + 1 ]

0,25

2 2

4

4

7


= ( x − zy + 3 )2 +( x − 4y + 1 )2 ≥ 0
 x − zy + 3 = 0 (1')
 x − 4y + 1 = 0 (2 ')
Lấy (1’) – (2’) , ta có −zy + 4y + 2 = 0 ⇔ (z − 4)y = 2


KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2008-2009
Môn TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao
đề )
Bài 1 ( 1 điểm ):
a) Thực hiện phép tính:

3 10 + 20 − 3 6 − 12

.

5− 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x − x − 2008 .

Bài 2 ( 1,5 điểm ):
mx − y = 2
3x + my = 5

Cho hệ phương trình: 

a) Giải hệ phương trình khi m = 2 .
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ
m2
thức x + y = 1 − 2
.
m +3



ABCD).

9


Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O;
C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M
là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.
b) OM ⊥ BC.
c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 6 ( 1 điểm ):
x2 y2
+
≥ x+y.
y
x
b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 + 4 n là hợp số.

a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2008-2009
Môn TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC

= ( x − 2008 − ) +
≥
0,25
2
4
4
1
8033
Dấu “ = “ xảy ra khi x − 2008 = ⇔ x =
(thỏa mãn). Vậy giá trị
2
4
8031
8033
khi x =
nhỏ nhất cần tìm là
.
0,25
4
4
 2 x − y = 2
a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình 
0,25
3x + 2 y = 5

10


0,25


vào

hệ

x + y = 1−

thức

0,25

0,25
2

m
;
m2 + 3

ta

được 0,25

2m + 5 5m − 6
m2
+
= 1− 2
m2 + 3 m2 + 3
m +3
4
Giải tìm được m =
7

2

b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3( x 2 + x ) − 2 x 2 + x − 1 = 0
Đặt t = x 2 + x ( điều kiện t ≥ 0 ), ta có phương trình 3t 2 − 2 t − 1 = 0
1
Giải tìm được t = 1 hoặc t = − (loại)
3

Với t = 1, ta có
hoặc x =

x 2 + x = 1 ⇔ x 2 + x − 1 = 0 . Giải ra được x =

−1+ 5
2

0,25
0,25

−1− 5
.
2

0,25
Hình vẽ

0,25

11


+
= 1 (2)
b) Tương tự câu a) ta có
CD AB
MO + NO MO + NO
MN MN
+
= 2 hay
+
=2
(1) và (2) suy ra
CD
AB
CD AB
1
1
2
+
=
Suy ra
CD AB MN
S AOB OB S AOD OA OB OA
S
S
=
;
=
;
=
⇒ AOB = AOD


O
M
B

5
(3đ)

C

a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau
- sđ góc AMB bằng sđ cung AB
Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau
O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp
b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1)
- M nằm trên đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra OM ⊥ BC
c) Từ giả thiết suy ra d ⊥ OM
Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AOMB, suy ra góc OMI bằng 90 0 , do đó OI là đường kính của đường
tròn này

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

-Với n = 2k+1, tacó
n 4 + 4 n = n 4 + 4 2 k .4 = n 4 + (2.4 k ) 2 = (n 2 + 2.4 k ) 2 − (2.n.2 k ) 2

= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 +
0,25
22k ]. Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số

13