F

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
……….……….

PHẠM THỊ NGÂN

ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Để có được thành quả như hôm nay trước tiên em xin bày tỏ lòng
kính trọng và biết ơn sâu sắc đến ban giám hiệu trường, các thầy cô
trong khoa toán đã tận tình chỉ dạy cũng như trang bị cho em những
nguồn tri thức quý giá trong suốt thời gian bốn năm học tập dưới mái
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo
TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Cô là người gợi ý ra đề tài khóa luận và cũng
là người trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình
thực hiện khóa luận.
Cuối cùng em xin gửi lời cám ơn đến Ban giám đốc, cán bộ Thủ thư
Thư viện Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ em có những tài liệu

1.3. Nghiệm của một đa thức .................................................................. 4
1.4. Đa thức bất khả quy ......................................................................... 5
1.5. Số nguyên tố .................................................................................... 5
1.6. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn ..................................................... 6
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ
QUY ...................................................................................................... 7
2.1. Đa thức bất khả quy trên trường ...................................................... 7
2.2. Đa thức bất khả quy trên trường số ................................................ 12
2.2.1. Đa thức bất khả quy trên trường số phức .................................... 12
2.2.2. Đa thức bất khả quy trên trường số thực ..................................... 12
2.2.3. Đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ ................................... 15
2.2.3.1. Đa thức nguyên bản ............................................................ 15
2.2.3.2. Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức ......................... 16
a. Điều kiện để đa thức bậc 2, bậc 3 bất khả quy ...................... 16
b. Tiêu chuẩn Eisenstien ........................................................... 17
c. Tiêu chuẩn Eisenstien mở rộng ............................................. 20
d. Tiêu chuẩn Polya .................................................................. 25
e. Tiêu chuẩn Perron ................................................................. 26
f. Tiêu chuẩn Osada .................................................................. 28
2.2.4. Đa thức có giá trị 1 hoặc -1 ......................................................... 29


CHƢƠNG 3. ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY VÀ SỐ NGUYÊN
TỐ ....................................................................................................... 39
3.1. So sánh tương tự giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố ........... 39
3.1.1. Định nghĩa ............................................................................ 39
3.1.2. So sánh về ước...................................................................... 39
3.1.3. Tính chất .............................................................................. 39
3.2. Mối liên hệ giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố ................... 40
KẾT LUẬN ......................................................................................... 45



3. Đối tƣợng nghiên cứu
Đa thức bất khả quy.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

2


CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn
Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1. Đặt
P   a0 ,..., an ,... / ai  A, ai  0 haàu heát

Trên P xác định 2 phép toán hai ngôi là phép cộng và phép nhân như
sau:

i )  a0 ,..., an ,...   b0 ,..., bn ,...   a0  b0 ,..., an  bn ,...
ii )  a0 , a1 ,.... b0 , b ,...   c0 , c1,... với ci 

 a b , i  0,1,2,... ,

k  l i

k l

Khi đó P là vành giao hoán có đơn vị (1,0,0...) .
Ta có ánh xạ

n

= a0 (1,0,...)  a1 (0,1,0,...)  ...  an (0,...,0,1,0,...)
n

= a0  a1 x  ...  an x n .

3


Vậy P  a0  a1 x  ...  an x n / ai  A, n 

.

P được gọi là vành đa

thức một ẩn x lấy hệ tử trên A . Kí hiệu A x  . Mỗi phần tử của A x 
được gọi là một đa thức, kí hiệu f ( x), g ( x),...
Chú ý. Giả sử f ( x)  A x  , f ( x)  a0  a1 x  ...  an x n thì
- ai x i là hạng tử thứ i.
- ai là hệ tử thứ i.
- Nếu an  0 thì n gọi là bậc của đa thức, kí hiệu deg f ( x)  n .
Qui ƣớc. Bậc của đa thức không là  .
1.2. Định lý phép chia với dƣ
Giả sử A là một trường, f ( x) và g ( x) khác không là hai đa thức
của vành A x  . Khi đó tồn tại duy nhất q( x), r ( x)  A x  sao cho

f ( x)  g ( x) q ( x )  r ( x )
với deg r ( x)  deg g ( x) .
1.3. Nghiệm của một đa thức

Nếu m  2 ta nói c là nghiệm kép.
1.4. Đa thức bất khả quy
a. Định nghĩa
Cho A là một miền nguyên, P( x)  A x  , P( x) được gọi là đa thức
bất khả quy nếu P( x)  0, P( x) không khả nghịch và P( x) không có ước
thực sự.
Khi đó ta cũng nói P( x) là đa thức không phân tích được trên A .
b. Nhận xét
Đa thức P( x) là đa thức bất khả quy trên A x  nếu P  x  không
biểu diễn được dưới dạng

P x  G  x H  x
với G( x), H ( x)  A x  ,1  deg G( x), deg H ( x)  deg P( x) .
1.5. Số nguyên tố
a. Định nghĩa
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn một, không có ước nào khác
ngoài 1 và chính nó. Số tự nhiên lớn hơn 1, không phải là số nguyên tố
gọi là hợp số.
Kí hiệu tập số nguyên tố là .

5


b. Tính chất

i ) Ước số tự nhiên nhỏ nhất khác một của một số tự nhiên lớn hơn
một là một số nguyên tố.

ii ) Tập số nguyên tố là vô hạn.
iii) Ước nhỏ nhất khác một của một hợp số a là số nguyên tố p

a. Tính chất của đa thức trên trƣờng
Định lý 1. Cho A là trường, f ( x)  A x  . Khi đó f ( x) bất khả quy trên

A khi và chỉ khi ước của nó trong A x  có dạng  và  f ( x) , với

  A,   0 .
Chứng minh
Điều kiện cần. Giả sử A là một trường, f ( x)  A x  là đa thức bất
khả quy. Vì A là một trường nên   A,   0 là các phần tử khả nghịch
của A . Do đó ta có ước của f ( x) trong A x  có dạng  và  f ( x) với

  A,   0 .
Điều kiện đủ. Ngược lại nếu f ( x)  A x  mà ước của nó trong
A x  có dạng

 và  f ( x) với   A,   0 là phần tử khả nghịch, suy

ra  f ( x) là phần tử liên kết của f ( x) . Suy ra f ( x) không có ước thực
sự. Vậy f ( x) bất khả quy trong A x  .
Định lý 2. Cho A là trường và P( x), Q( x) A x  và P( x) bất khả quy
trên A thì hoặc Q( x) chia hết cho P( x) hoặc P( x) và Q( x) nguyên tố
cùng nhau.
Chứng minh
Giả sử D( x) là ước chung lớn nhất của hai đa thức P( x) và Q( x) .
Từ thuật toán Euclid ta có P( x) và Q( x) có hệ tử trong A thì hệ tử của

D( x) cũng thuộc A . Mặt khác P( x) là đa thức bất khả quy trên A , ta
suy ra

7

bằng 1. Khi đó P( x) biểu diễn được thành tích của những thừa số không
phân tích được trên A . Sự biểu diễn này là duy nhất (chỉ sai khác các
hằng số khác không trên A) , nghĩa là nếu

8


P( x)  P1 ( x) P2 ( x)...Pr ( x)  Q1 ( x)Q2 ( x)...Qs ( x)
là hai biểu diễn của P( x) như tích của những lũy thừa không phân tích
được trên A , thì r  s và Pi ( x)  iQk ( x) , với 0  i  A, ki 1,2,..., r.
i

Chứng minh
Giả sử P( x)  A x  sao cho deg P( x)  n với n 

*

.

Nếu n  1 thì P( x)  a0 x  a1 . Khi đó P  x  là đa thức bất khả quy
và ta có thể nói rằng P  x  được biểu diễn như tích của những thừa số
không phân tích được.
Nếu n là số tự nhiên bất kì và giả sử mọi đa thức bậc nhỏ hơn n có
thể biểu diễn như tích của những thừa số không phân tích được trên A .

P( x) không phân tích được trên A thì ta có thể nói rằng nó biểu diễn
như tích của một thừa số không phân tích được. Ngược lại, giả sử

P  x   Q  x  R  x  với Q  x  , R  x   A x  và 1  deg Q( x), deg R( x)  n
. Theo giả thiết quy nạp Q  x  và R  x  biểu diễn như tích của những


2

r

Dễ thấy giữa những đa thức Qk ( x), Qk ( x),...., Qk ( x) sẽ là tất cả
1

2

r

những đa thức Q1 ( x), Q2 ( x),..., Qs ( x) nghĩa là r  s và k1 , k2 ,..., kr là thứ
tự nào đó trong đó các số 1, 2,..., r . Vì trong trường hợp ngược lại ta sẽ
nhận được đẳng thức giữa đa thức bậc không và đa thức bậc khác không.
b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Xét vành đa thức K  x  với K là một trường
a) Chứng minh rằng mọi đa thức bậc nhất của K  x  đều bất khả
quy. Nếu K là một miền nguyên thì điều đó còn đúng nữa không ?
b) Chứng minh rằng các đa thức bậc hai và bậc ba của K là bất khả
quy khi và chỉ khi chúng không có nghiệm trong K .
Lời giải
a) Giả sử f ( x)  ax  b  A x  có sự phân tích trong K  x  là

f ( x)  g ( x)h( x)

với

g ( x), h( x)  A x , deg g ( x)  deg f ( x)



trong

đó

g  x  , h  x   K  x  và hoặc g ( x) hoặc h( x) có bậc bằng 1 khi và chỉ
khi f ( x) có nghiệm trong K .
Vậy đa thức f ( x) bất khả quy khi và chỉ khi f ( x) không có
nghiệm trong K .
Ví dụ 2. Hãy phân tích các đa thức sau thành đa thức bất khả quy trong
vành

 x .
a) x 2  i

c) x 2  4i  3

b) x 4  1  i

d) x7  1  3
Lời giải

2
2
a) x  i  x  (

2
2
2
2







 i sin )  8 2(cos  i sin ) là một giá trị
4
4
16
16

1 i

Ta có  2  1i, 3  1i 2 ,  4  1i 3.
Do x4  1  i  x 4   4 nên ta có
x 4  1  i  ( x  1 )( x   2 )( x  3 )( x   4 ) .

c) Ta có

4i  3  1  2i và

4i  3  1  2i , do đó

x 2  4i  3  x 2  (1  2i)2  ( x  1  2i)( x  1  2i)

1
3




Ta có

2.2. Đa thức bất khả quy trên trƣờng số
2.2.1. Đa thức bất khả quy trên trƣờng số phức
Định lý. Mọi đa thức bất khả quy trên trường số phức đều là đa thức bậc
nhất.
Chứng minh
Giả sử P  x  

 x , giả sử có a ,..., a
1

n

và deg P  x   n  2 . Ta có

hay P( x)  a( x  1 )...( x   n ) với

P( x) có n nghiệm trên

ai  , i  1, n . Suy ra P( x) có ước thực sự ( x  i ), i  1, n . Suy ra P( x)

không bất khả quy trên

 x  . Vậy đa thức bất khả quy trên  x  là đa

thức bậc nhất.
2.2.2. Đa thức bất khả quy trên trƣờng số thực
a. Định lý

khả quy trên

 x .

b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Biểu diễn đa thức sau thành tích của các đa thức bất khả quy
trên

.
a) x 2  1

b) x 4  1
Lời giải

a) x 2  1  ( x  1)( x  1)
Theo định lý trên ta có đa thức x  1 và đa thức x  1 bất khả quy
trên

.
Vậy đa thức x 2  1 biểu diễn thành tích của hai đa thức bất khả quy
là x  1 và x  1.

trên

b) x 4  1  ( x 2  2 x  1)( x 2  2 x  1)
Đa thức x 2  2 x  1 và x 2  2 x  1 là đa thức bậc hai có định
thức âm trên
trên

 x . Theo định lý ta suy ra hai đa thức này là bất khả quy


2m
2m
 i sin
 cos   i sin   1
2m
2m

những số còn lại 1 ,  2 ,..,  m1,  m1,...,  2 m1 không phải là số thực nhưng

 k  cos

2k
2k
2k
2k
 i sin
 cos(2 
)  i sin(2 
)   2 mk
2m
2m
2m
2m

và ( x   k )( x   k )  ( x   k )( x   2 mk )  x 2  2cos
m 1

( x 2  2cos
Do đó x  1  ( x  1)( x  1) 

( x   k )( x   k )  ( x   k )( x   2 mk 1 )  x 2  2cos

k
x 1
m 1

với k  1, 2,..., m . Vì thế
m

x 2 m1  1  ( x  1)( x  1)  ( x 2  2cos
k 1

14

2k
x  1) .
2m  1


2.2.3. Đa thức bất khả quy trên trƣờng số hữu tỉ
2.2.3.1. Đa thức nguyên bản
a. Định nghĩa
Giả sử f ( x) là một đa thức với hệ số nguyên, f ( x) gọi là đa thức
nguyên bản nếu các hệ số của f ( x) không có ước chung nào khác
ngoài 1.
Nhận xét. Cho f  x  

 x . Khi đó
f ( x) 


15


Tính chất 2. Nếu f ( x) là một đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn
0 và f ( x) không bất khả quy trong
trong

 x

thì f ( x) không bất khả quy

 x .
Chứng minh

Giả sử f ( x) không bất khả quy trong

 x  , khi đó f ( x)

có thể

f ( x)   ( x) ( x)

viết

với  ( x) và  ( x) là những ước thực sự của f ( x) trong

a
b

 ( x)  g ( x),  ( x) 

pei
phải là số nguyên, do đó q
q

vì ( p, q)  1 . Ta suy ra

q  1 , tức là

f ( x)   pg ( x)h( x) . Vì   x  và   x  là những ước thực sự của f ( x)
trong

 x  , nên g ( x)

 x .

và h( x) là những đa thức bậc khác 0 của

Suy ra f ( x) có ước thực sự. Vậy f ( x) không bất khả quy trên
2.2.3.2. Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức
a. Điều kiện để đa thức bậc hai, bậc ba bất khả quy

16

.


Điều kiện để đa thức bậc hai, bậc ba bất khả quy trên

khi và chỉ


nghiệm hữu tỉ (điều này mâu thuẫn). Vậy điều giả sử sai, tức P( x) bất
khả quy trên

.

b. Tiêu chuẩn Eisenstein
Giả sử P  x   a0 x n  a1 x n1  ...  an là một đa thức hệ số nguyên,
và giả sử có một số nguyên tố p sao cho p không chia hết hệ số cao
nhất a0 nhưng p chia hết các hệ số còn lại và p 2 không chia hết số hạng
tự do an . Khi đó đa thức P( x) bất khả quy trên

 x .

Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử P( x) có ước thực sự trong

17

 x . Khi đó, ta có thể viết


P x  G  x H  x
trong đó

G( x)  b0 xl  b1 xl 1  ...  bl

và

H ( x)  c0 x m  c1 x m1  ...  cm


Thật vậy, áp dụng tiêu chuẩn Eisentein với p  3 , ta có 3 chia hết
12; 42; 18; 6 và 32 không là ước của 12.

18


Ví dụ 2. Đa thức x n  px n1  ...  p với p là số nguyên tố tùy ý là đa
thức bất khả quy trên

.

Thật vậy áp dụng tiêu chuẩn Eisentien với p ta suy ra đa thức trên
là đa thức bất khả quy trong

 x .

Ví dụ 3. Xét tính bất khả quy của đa thức
f ( x)  x3  3nx 2  n3 (n  )

Lời giải
Với n  0 thì f ( x)  x3 . Đa thức này có các ước thực sự ax, bx 2
với a, b

. Vậy f  x  không bất khả quy trên
3

 x .

2

.

Ví dụ 4. Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng đa thức
f ( x)  1  x  ...  x p1

bất khả quy trên

 x .
Lời giải

Đặt x  y  1. Khi đó f ( y  1)  1  ( y  1)  ...( y  1) p1

( y  1) p  1
=
y 11


19

y p  C1p y p 1  ...  C pp 1 y  1  1
y

.


= C pp1  C pp2 y  ...  C pp1 y p 2  y p1
= g ( y)
k
Nhận xét rằng với 1  k  p  1 thì C p là số nguyên và chia hết cho



b2. Một số bài tập
Bài 1. Chứng minh các đa thức sau đây bất khả quy trong

.

a) x4  8x3  12 x2  6 x  3

b) x4  x3  2 x  1

c) 3x2  15x3  10 x2  20 x  35

d) 2 x5  14 x2  35x2  56 x  63 .

Bài 2. Cho n là một số tự nhiên n  2 . Chứng minh đa thức x n  2 bất
khả quy trên tập số hữu tỉ.
Bài 3. Tìm điều kiện cần và đủ để x 4  px 2  q là bất khả quy trong
Bài 4. Xét tính bất khả quy của các đa thức sau trên tập số hữu tỉ
a) f ( x)  x3  3nx 2  n3 (n  ) ;
b) f ( x)  x3  3nx 2  n3 (n  );
c) f ( x)  x3  mn2 x  n3 với m, n ;
d) f ( x)  x3  m2nx 2  mn2 x  n3 với m, n .

c. Tiêu chuẩn Eisenstien mở rộng

20

.