ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

LƯU THỊ LIỄU

NGHIÊN CỨU PHÉP TOÁN HÌNH THÁI TRONG XỬ LÝ ẢNH VÀ ỨNG
DỤNG NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH NHỊ PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

LƯU THỊ LIỄU

NGHIÊN CỨU PHÉP TOÁN HÌNH THÁI TRONG XỬ LÝ ẢNH VÀ ỨNG
DỤNG NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH NHỊ PHÂN

Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Truyền dữ liệu và mạng máy tính
Mã số: Chuyên ngành đào tạo thí điểm

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGÔ QUỐC TẠO

Hà Nội – Năm 2015


LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 5
CHƯƠNG 1................................................................................................................ 6
TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH ............. 6
1.1 Giới thiệu chung về xử lý ảnh……………………………………………………6
1.2. Một số vấn đề trong xử lý ảnh………………………………………………….8
1.2.1 Điểm ảnh (Picture Element)......................................................................... 8
1.2.2 Độ phân giải của ảnh................................................................................... 9
1.2.3 Mức xám của ảnh......................................................................................... 9
1.2.4. Quan hệ giữa các điểm ảnh......................................................................... 9
1.2.5. Lược đồ mức xám (Histogram) ................................................................. 10
1.2.6. Biểu diễn ảnh ............................................................................................ 11
1.2.7. Biến đổi ảnh (Image Transform) .............................................................. 12
1.2.8 Tăng cường ảnh – khôi phục ảnh ............................................................... 12
1.2.9. Nhận dạng ảnh.......................................................................................... 13
1.2.10. Các loại định dạng tập tin ảnh cơ bản .................................................... 14
1.2.11. Hiệu chỉnh gamma .................................................................................. 15
1.2.12. Phân vùng ảnh ........................................................................................ 15
1.3. Nâng cao chất lượng ảnh sử dụng các toán tử điểm…………………………..15
1.3.1. Điều chỉnh độ tương phản ......................................................................... 15
1.3.2.Phân ngưỡng nhị phân ............................................................................... 16
1.3.3. Biến đổi âm bản ........................................................................................ 16
1.3.4. Hiệu chỉnh ánh sáng trong ảnh ................................................................. 17
1.3.5. Đổi ảnh RGB sang ảnh grayscale ............................................................. 17
1.4. Nâng cao chất lượng ảnh dùng toán tử không gian…………………………..19
CHƯƠNG 2.............................................................................................................. 20
PHÉP TOÁN HÌNH THÁI TRONG XỬ LÝ ẢNH ................................................ 20
2.1. Giới thiệu………………………………………………………………………...20
2.2. Phần tử cấu trúc………………………………………………………………...20
2.3. Các phép toán với ảnh nhị phân……………………………………………….22
2.3.1. Phép giãn nhị phân (Dilation).................................................................. 22

PHỤ LỤC………………………………………………………………………………….....57


4

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Các bước cơ bản trong một hệ thống xử lý ảnh ........................................ 7
Hình 1.2. Biểu đồ Histogram của ảnh .................................................................... 11
Hình 1.3 Hệ tọa độ RGB........................................................................................ 18
hình 1.4 Chuyển ảnh màu rgb sang ảnh gray.......................................................... 19
Hình 2.1. Một số hình dáng của phần tử cấu trúc phẳng ......................................... 21
Hình 2.2. Hiệu quả của thao tác nhị phân đơn giản trên một ảnh nhỏ. .................... 22
Hình 2.3. Dãn A bởi B .......................................................................................... 23
Hình 2.4. Quá trình quét của phần tử cấu trúc trên hình ảnh nhị phân. ................... 24
Hình 2.5. Ví dụ quá trình thực hiện của phép mở ảnh ............................................ 24
Hình 2.6. Quá trình thực hiện phép co nhị phân dùng phần tử cấu trúc đơn giản .... 27
Hình 2.7. Quá trình lọc đối tượng sử dụng phép co nhị phân và phép giãn nhị phân
.............................................................................................................................. 28
Hình 2.8. Ứng dụng của phép co ảnh dưới dạng số nhị phân................................. 28
Hình 2.9. Quá trình thực hiệp phép mở ảnh. .......................................................... 29
Hình 2.10. Quá trình thực hiện phép đóng ảnh. ...................................................... 31
Hình 2.11. Ví dụ về phép toán co ảnh trên ảnh xám với phần tử cấu trúc không
phẳng..................................................................................................................... 31
Hình 2.12. Ví dụ về phép toán dãn ảnh trên ảnh xám với phần tử cấu trúc không
phẳng..................................................................................................................... 32
Hình 2.13. Ví dụ quá trình thực hiện phép dãn ảnh xám ........................................ 33
Hình 2.14. Ví dụ về phép toán hình thái Gradient .................................................. 34
Hình 2.15. Quá trình tìm biên của đối tượng trên ảnh nhị phân. ............................. 36
Hình 2.16. Ví dụ trích lọc biên của đối tượng ........................................................ 36
Hình 2.17. Quá trình làm đầy đối tượng trong ảnh. ................................................ 38

Chương 1. Tổng quan về phương pháp nâng cao chất lượng ảnh: Chương
này gồm có các khái niệm ban đầu về xử lý ảnh, các kỹ thuật nâng cao chất lượng
ảnh.
Chương 2. Phép toán hình thái học trên ảnh: Chương này trình bày các
phép co – giãn-đóng – mở ảnh trên ảnh nhị phân, ảnh đa cấp xám và các thuật toán
ứng dụng dựa trên các phép toán hình thái.
Chương 3. Ứng dụng nâng cao chất lượng ảnh văn bản: Chương này trình
bày các kỹ thuật được sử dụng trong việc nâng cao chất lượng ảnh scan đen – trắng
của văn bản kém chất lượng (phép đóng ảnh, hiệu chỉnh gamma, phân ngưỡng nhị
phân), đồng thời tiến hành cài đặt các phép toán hình thái học, cài đặt chức năng
nâng cao chất lượng ảnh văn bản scan đen – trắng; trình bày những hình ảnh thực
nghiệm của chương trình.


6

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ẢNH

1.1 Giới thiệu chung về xử lý ảnh
Cũng như xử lý dữ liệu bằng đồ hoạ, xử lý ảnh là một lĩnh vực của tin học
ứng dụng. Xử lý dữ liệu bằng đồ họa đề cập đến những ảnh nhân tạo, các ảnh này
được xem xét như là một cấu trúc dữ liệu và được tạo ra bởi các chương trình. Xử
lý ảnh bao gồm các phương pháp và kỹ thuật để biến đổi, để truyền tải hoặc mã hóa
các ảnh tự nhiên. Mục đích của xử lý ảnh gồm:
Thứ nhất, biến đổi ảnh và làm đẹp ảnh.
Thứ hai, tự động nhận dạng ảnh hay đoán nhận ảnh và đánh giá các nội dung
của ảnh.
Nhận dạng ảnh là quá trình liên quan đến các mô tả đối tượng mà người ta
muốn đặc tả nó. Quá trình nhận dạng thường đi sau quá trình trích chọn các đặc tính

b) Tiền xử lý (Image Processing)
Do những nguyên nhân khác nhau có thể do thiết bị thu nhận ảnh, do nguồn
sáng hay do nhiễu, ảnh có thể có độ tương phản thấp, có thể bị suy biến. Do vậy
Chức năng chính của bộ tiền xử lý là lọc nhiễu, nâng độ tương phản, tăng cường và
khôi phục lại ảnh để làm nổi bật một số đặc tính chính của ảnh, hay làm cho ảnh
gần giống với trạng thái gốc- trạng thái trước khi ảnh bị biến dạng.
c) Phân đoạn (Segmentation) hay phân vùng ảnh
Phân vùng ảnh là tách một ảnh đầu vào thành các vùng thành phần để biểu
diễn phân tích, nhận dạng ảnh trên từng vùng.
d) Biểu diễn và mô tả
Tìm các vùng đặc trưng điểm ảnh như biên ảnh (Boundary), vùng ảnh
(Region),….và biểu diễn lại thông qua các điểm ảnh đặc trưng.
e) Nhận dạng và nội suy ảnh (Image Recognition and Interpretation)


8

Nhận dạng ảnh là quá trình xác định ảnh. Quá trình này thường thu được bằng
cách so sánh với mẫu chuẩn đã được học (hoặc lưu) từ trước. Nội suy là phán đoán
theo ý nghĩa trên cơ sở nhận dạng. Ví dụ: một loạt chữ số và nét gạch ngang trên
phong bì thư có thể được nội suy thành mã điện thoại. Có nhiều cách phân loai ảnh
khác nhau về ảnh. Theo lý thuyết về nhận dạng, các mô hình toán học về ảnh được
phân theo hai loại nhận dạng ảnh cơ bản:
- Nhận dạng theo tham số.
- Nhận dạng theo cấu trúc.
Một số đối tượng nhận dạng khá phổ biến hiện nay đang được áp dụng trong
khoa học và công nghệ là: nhận dạng ký tự (chữ in, chữ viết tay, chữ ký điện tử),
nhận dạng văn bản (Text), nhận dạng vân tay, nhận dạng mã vạch, nhận dạng mặt
người…
f) Cơ sở tri thức (Knowledge Base)

Ví dụ: Độ phân giải của ảnh trên màn hình CGA (Color Graphic Adaptor) là một
lưới điểm theo chiều ngang màn hình: 320 điểm chiều dọc * 200 điểm ảnh
(320*200). Rõ ràng, cùng màn hình CGA 12” ta nhận thấy mịn hơn màn hình CGA
17” độ phân giải 320*200. Lý do: cùng một mật độ (độ phân giải) nhưng diện tích
màn hình rộng hơn thì độ mịn (liên tục của các điểm) kém hơn.
1.2.3 Mức xám của ảnh
Một điểm ảnh (pixel) có hai đặc trưng cơ bản là vị trí (x, y) của điểm ảnh và độ xám
của nó. Dưới đây chúng ta xem xét một số khái niệm và thuật ngữ thường dùng
trong xử lý ảnh.
a) Định nghĩa: Mức xám của điểm ảnh là cường độ sáng của nó được gán bằng giá
trị số tại điểm đó.
b) Các thang giá trị mức xám thông thường: 16, 32, 64, 128, 256 (Mức 256 là mức
phổ dụng. Lý do: từ kỹ thuật máy tính dùng 1 byte (8 bit) để biểu diễn mức xám:
Mức xám dùng 1byte biểu diễn: 28=256 mức, tức là từ 0 đến 255).
c) Ảnh xám: là ảnh mà các điểm ảnh có mức xám nằm trong khoảng từ 0 đến 255.
d) Ảnh nhị phân: ảnh chỉ có 2 mức đen trắng phân biệt tức dùng 1 bit mô tả 21 mức
khác nhau. Mỗi điểm ảnh của ảnh nhị phân chỉ có thể là 0 hoặc 1.
e) Ảnh màu: ảnh tổ hợp từ ba màu cơ bản (Red, Blue, Green) để tạo nên thế giới
màu, người ta thường dùng 3 byte để mô tả mức màu, khi đó các giá trị màu:
28*3=224≈ 16,7 triệu màu.
1.2.4. Quan hệ giữa các điểm ảnh
Lân cận của điểm ảnh
Giả sử có điểm ảnh p tại tọa độ (x, y), p có các lân cận gần nhất theo chiều
ngang và dọc là: (x+1,y), (x-1,y), (x,y+1), (x,y-1). Tập hợp các điểm ảnh này được


10

gọi là lân cận 4 của p, ký hiệu N4(p). Mỗi điểm ảnh có khoảng cách đơn vị đến
(x,y), và nếu (x,y) nằm trên biên của ảnh thì lân cận của nó có thể nằm ngoài ảnh.

ảnh là một hàm cung cấp tần suất xuất hiện của mỗi mức xám.
Lược đồ xám được biểu diễn trong hệ tọa độ vuông góc Oxy. Trong hệ tọa độ này,
trục hoành biểu diễn cho số mức xám từ 0-> N (N là số mức xám). Trục tung biểu
diễn số điểm ảnh cho một cho một mức xám (số điểm ảnh có cùng mức xám hay tỉ
lệ số điểm ảnh có cùng mức xám trên tổng số điểm ảnh.


11

Lược đồ xám cung cấp rất nhiều thông tin về phân bố mức xám của ảnh. Cho phép
phân tích trong khoảng nào đó phân bố phần lớn các mức xám của ảnh: Ảnh rất
sáng hay ảnh rất đậm.
Nếu ảnh sáng thì lược đồ xám nằm bên phải (mức xám cao)
Nếu ảnh đậm thì lược đồ xám nằm bên trái (mức xám thấp)

Hình 1.2. Biểu đồ Histogram của ảnh

1.2.6. Biểu diễn ảnh
Theo tài liệu [1] ảnh có thể được biểu diễn theo mô hình Vector hoặc mô hình
Raster.
Mô hình Raster: Đây là mô hình biểu diễn thông dụng nhất hiện nay. Ảnh được
biểu diễn dưới dạng ma trận các điểm ảnh. Tùy theo nhu cầu thực tế mà mỗi điểm
ảnh có thể được biểu diễn bởi một hay nhiều bit. Mô hình Raster rất thuận lợi cho
hiển thị và in ấn. Khi xử lý các ảnh Raster, chúng ta quan tâm đến mối quan hệ
trong vùng lân cận của các điểm ảnh. Các điểm ảnh có thể xếp hàng trên một lưới
(Raster) hình vuông, lưới hình lục giác hoặc theo một cách hoàn toàn ngẫu nhiên
với nhau.
Mô hình vectơ: Biểu diễn ảnh ngoài mục đích tiết kiệm không gian lưu trữ, dễ
dàng cho hiển thị và in ấn, còn phải đảm bảo dễ dàng trong lựa chọn, sao chép, di
chuyển, tìm kiếm,…theo những yêu cầu này, kỹ thuật biểu diễn Vector tỏ ra ưu việt

gốc càng tốt. Còn trong nâng cao chất lượng ảnh thì mục tiêu là làm cho ảnh sau khi
xử lý có được chất lượng tốt hơn khi chưa xử lý. Như vậy một ảnh không bị nhiễu
thì không thể được xử lý bằng các kỹ thuật khôi phục ảnh nhưng ảnh đó có thể được
xử lý bằng các kỹ thuật nâng cao chất lượng ảnh. Nhưng một ảnh bị nhiễu thì nó có
thể được xử lý vừa bằng các kỹ thuật khôi phục ảnh vừa bằng các kỹ thuật nâng
cao chất lượng ảnh.
Khôi phục ảnh
Khôi phục ảnh là quá trình loại bỏ hay tối thiểu hóa các ảnh hưởng của môi
trường bên ngoài hoặc do các hệ thống thu nhận ảnh gây ra. Về nguyên tắc, khôi
phục ảnh nhằm xác định mô hình toán học của quá trình đã gây ra biến dạng, tiếp
theo là dùng ánh xạ ngược để xác định lại ảnh.


13

Bất kỳ một ảnh nào được thu bằng các thiết bị điện, quang điện hay quang
học thường bị nhiễu bởi môi trường cảm biến của các thiết bị đó. Các loại nhiễu có
thể là nhiễu hệ thống, bị mờ do lệch tiêu điểm camera, nhiễu ngẫu nhiên do chuyển
động giữa camera và đối tượng được chụp, nhiễu do khí quyển …
Khôi phục ảnh là dùng các bộ lọc để lọc các ảnh bị nhiễu nhằm giảm tối
thiểu sự ảnh hưởng của các loại nhiễu này để cho ra ảnh kết quả càng gần giống ảnh
gốc càng tốt. Hiệu quả của các bộ lọc khôi phục ảnh phụ thuộc vào sự nhận biết về
quá trình nhiễu cùng với quá trình thu nhận ảnh. Khôi phục ảnh thường được xử lý
trên miền tần số là chủ yếu. Bao gồm các kỹ thuật lọc ngược, lọc bình phương tối
thiểu (wiener).
1.2.9. Nhận dạng ảnh
Nhận dạng đối tượng chính là quá trình tiến hành phân lớp đối tượng cần
nhận dạng vào các lớp. Có hai lớp phương pháp tiếp cận chính trong quá trình phân
lớp các đối tượng, đó là các phương pháp phân lớp dựa vào đường ranh giới phân
biệt giữa các lớp và các phương pháp phân lớp dựa vào phân bố thống kê của các

nhiều định dạng ảnh khác nhau từ ảnh đen trắng (với định dạng IMG), ảnh đa cấp
xám cho đến ảnh màu: (BMP, GIF, JPEG…). Tuy các định dạng này khác nhau,
song chúng đều tuân theo một cấu trúc chung nhất. Nhìn chung, một tệp (file) ảnh
bất kỳ thường bao gồm 3 phần (theo tài liệu [2]):
- Đầu tệp (Header): Đầu tệp là phần chứa các thông tin về kiểu ảnh, kích
thước, độ phân giải, số bit dùng cho 1 pixel, cách mã hóa, vị trí bảng màu…
- Dữ liệu nén (Data Compression): Số liệu ảnh được mã hóa bởi kiểu mã hóa
chỉ ra trong phần Header.
- Bảng màu (Palette Color): Bảng màu không nhất thiết phải có, ví dụ khi
ảnh là đen trắng. Nếu có, bảng màu cho biết số màu dùng trong ảnh và bảng màu
được sử dụng để hiện thị màu của ảnh. Một số các định dạng khác, cấu hình, đặc
trưng của từng địng dạng và các tham số.
Ảnh BPM (Bitmap): Là ảnh được mô tả bởi một ma trận các giá trị số xác
định màu và bảng màu của các điểm ảnh tương ứng khi hiển thị. Ưu điểm của ảnh
Bitmap là tốc độ vẽ và tốc độ xử lý nhanh. Nhược điểm của nó là kích thước rất lớn.
Ảnh JPEG (Joint Photographic Experts Group): Là một định dạng ảnh
được phát triển để nén dung lượng và lưu trữ ảnh chụp. Được sử dụng tốt nhất cho
đồ họa có nhiều màu sắc, ví dụ như là ảnh chụp được scan. File ảnh JPEG là ảnh
Bitmap đã được nén lại.
Ảnh GIF (Graphics Interchange Format): Được phát triển dành cho
những ảnh có tính chất thay đổi được. Nó được sử dụng tốt nhất cho đồ họa có ít
màu, ví dụ như là ảnh hoạt hình hoặc là những bức vẽ với nhiều đường thẳng. File
ảnh GIF là những ảnh Bitmap được nén lại.
Có 2 sự khác nhau cơ bản giữa ảnh GIF và ảnh JPEG:
+ Ảnh GIF nén lại theo cách giữ nguyên toàn bộ dữ liệu ảnh trong khi ảnh
JPEG nén lại nhưng làm mất một số dữ liệu trong ảnh.
+ Ảnh GIF bị giới hạn bởi số màu nhiều nhất là 256 trong khi ảnh JPEG
không giới hạn số màu mà chúng sử dụng.
Ảnh TIFF (Tagged Image File Format): Định dạng TIFF cho ta nhiều
thông tin về ảnh hơn JPEG, và cũng là file ảnh có kích cỡ lớn nhất trong các định

Độ tương phản biểu diễn sự thay đổi độ sáng của đối tượng so với nền. hay
nói cách khác độ tương phản là độ nổi của điểm ảnh hay vùng so với nền. Như vậy,
nếu ảnh có độ tương phản kém ta có thể thay đổi theo hàm sau:
(theo tài liệu [2])


16

Các độ dốc

xác định độ tương phản tương đối. L là số mức xám cực đại. Ta

có:
ảnh kết quả trùng với ảnh gốc
dãn độ tương phản
co độ tương phản
1.3.2.Phân ngưỡng nhị phân
Hay nói cách khác là đổi một ảnh màu sang ảnh đen trắng ta dùng kỹ thuật tác
ngưỡng. Giả sử ta có ảnh I kích thước (mxn), hai số Min, Max và ngưỡng . Khi
đó, kỹ thuật tách ngưỡng được thể hiện qua thuật toán sau:
B1: Thực hiện vòng lặp, thay đổi giá trị độ xám của từng điểm ảnh
For (i=0,i
Để hiệu chỉnh ánh sáng phương pháp đơn giản nhất là thay đổi giá trị điểm ảnh của
ảnh. Ý tưởng của phương pháp này là thay đổi một cách đồng đều giá trị tại mỗi
điểm ảnh, được thực hiện bằng cách cộng giá trị mỗi điểm ảnh với một số nguyên
nằm trong khoảng [-255, 255].
Giả sử ta có ảnh I với kích thước (mxn) và một số nguyên c. Khi đó thuật toán được
mô tả như sau:
For (i=0,i
Thường là ảnh thu nhận có nhiễu cần phải loại bỏ nhiễu hay ảnh không sắc
nét bị mờ hoặc cần làm rõ các chi tiết như đường biên ảnh. Các toán tử không gian
dùng trong kỹ thuật tăng cường ảnh được phân nhóm theo công dụng: Làm trơn
nhiễu, nổi biên. Để làm trơn nhiễu hay tác nhiễu người ta sử dụng các bộ lọc tuyến
tính (lọc trung bình, lọc thông thấp) hay lọc phi tuyến (lọc trung vị, giả trung vị, lọc
đồng hình). Từ bản chất của nhiễu (thường tương ứng với tần số cao) và từ cơ sở lý
thuyết lọc là: bộ lọc chỉ cho tín hiệu có tần số nào đó thông qua do đó để lọc nhiễu
người ta thường dùng lọc thông thấp hay lấy tổ hợp tuyến tính để san bằng (lọc
trung bình). Để làm nổi cạnh (ứng với tần số cao) người ta dùng các bộ lọc thông
cao, lọc Laplace. Chúng ta có thể tham khảo kỹ thuật và thuật toán các bộ lọc trong
tài liệu [2].


20

CHƯƠNG 2
PHÉP TOÁN HÌNH THÁI TRONG XỬ LÝ ẢNH
2.1. Giới thiệu
“Morphology” là thuật ngữ chỉ sự nghiên cứu về cấu trúc hay hình học (topo)
của đối tượng trong ảnh. Hình thái học có vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực
ngôn ngữ học và sinh học. Trong ngôn ngữ học, hình thái học là sự nghiên cứu về
cấu trúc của từ, tập hợp từ, câu. Còn trong sinh học, hình thái học lại chú trọng tới
hình dạng của một cá thể hơn, chẳng hạn có thể phân tích hình dạng của một chiếc
lá để từ đó có thể nhận dạng được đó là loại cây gì, nghiên cứu hình dạng của một
nhóm vi khuẩn, dựa trên các đặc điểm nhận dạng để phân biệt chúng thuộc nhóm vi
khuẩn nào,…
Trong các ứng dụng thị giác máy tính, xử lý hình thái học có thể được sử
dụng để nhận dạng đối tượng, nâng cao chất lượng ảnh, phân đoạn ảnh và kiểm tra
khuyết điểm trên ảnh. Các phép toán xử lý hình thái học được thực hiện chủ yếu
trên ảnh nhị phân và ảnh xám. Phần lớn các phép toán hình thái học được định

0

1.3 0

1.5 1

1.4

0
1.6 0
Khi một phép toán hình thái được thực hiện thì các gốc của phần tử cấu trúc
thường dịch chuyển lần lượt trên các điểm ảnh. Và khi đó giá trị của các điểm ảnh
vừa được quét qua sẽ được so sánh với nhau, các kết quả thu được sau khi so sánh
phụ thuộc vào phép toán hình thái đang được sử dụng.


22

2.3. Các phép toán với ảnh nhị phân
2.3.1. Phép giãn nhị phân (Dilation)
Trong luận văn này, ta coi đối tượng ảnh là những điểm đen và nền là những
điểm trắng. Trước hết, để bắt đầu ta hãy xem hình 2.2a -Tập hợp các điểm ảnh đen
tạo nên đối tượng ảnh hình vuông) và trong 2.2b -đối tượng ảnh cũng là hình vuông
nhưng là hình vuông lớn hơn so với 2.2a một điểm ảnh về mọi phía, nghĩa là thay
mọi lân cận trắng của các điểm ảnh trong 2.2a thành các điểm ảnh đen. Đối tượng
trong 2.2c cũng được thao tác tương tự. Thao tác đó có thể coi như một phép dãn
đơn giản, phép dãn một điểm ảnh về mọi phía. Việc dãn đó có thể được thực hiện
cho đến khi toàn bộ ảnh được thay bằng các điểm ảnh đen. Tuy nhiên trong thực tế,
đối tượng ảnh được xem như là một tập hợp toán học của các điểm ảnh đen, mỗi
điểm ảnh đen được coi như là một điểm trong không gian hai chiều và nó được xác