1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM HỒNG QUÂN

B-SPLINES VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/


2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM HỒNG QUÂN

B-SPLINES VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số: 60 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH


cong nhờ các điểm điều khiển, B - splines, Ứng dụng B- splines trong đồ
họa
3. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung tìm hiểu lý thuyết về splines, B-splines và ứng dụng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu các kiến thức cơ sở về hình học đƣờng cong và mặt cong, các
phép biến đổi tọa độ trong không gian 2D và 3D.
 Tìm hiểu lý thuyết về splines, B-splines sinh đƣờng cong và mặt cong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/


4

 Từ những kết quả lý thuyết B-splines xây dựng ứng dụng cho bài toán
trong thiết kế hình học 2D và 3D.
 Cài đặt thuật toán và ứng dụng.
5. Những nội dung nghiên cứu chính
 Tìm hiểu các kiến thức tổng quan về mô hình hóa hình học.
 Tìm hiểu lý thuyết đƣờng cong B-splines và mặt cong B-splines.
 Tìm hiểu về các bài toán dựng hình.
 Ứng dụng B-splines vào các bài toán mô hình hóa hình học.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các thầy cô trong lĩnh
vực đồ họa, đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán và các lĩnh
vực có liên quan.
- Thu thập, nghiên cứu tài liệu từ các giáo trình, bài báo, tạp chí, bài giảng.
- Phƣơng pháp thực nghiệm: Cài đặt ứng dụng bằng ngôn ngữ
MATLAB.


(1.1)

x' = sxx;

y' = syy

(1.2)

x' = xcosθ – ysinθ;

y' = xsinθ + ycosθ

(1.3)

y

y

y

P’(x’,y’
)

P’(x’,y’
)

P’(x’,y’)

r

c

Hình 1.1: Phép biến đổi tọa độ 2D
Phép biến đổi tọa độ 3D là mở rộng của phép biến đổi tọa độ 2D. Tọa độ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/


6

(x', y', z') của điểm P(x, y, z) sau phép biến đổi tọa độ 3D, tƣơng ứng
với vector dịch chuyển t(tx, ty, tz); hệ số tỷ lệ s(sx, sy, sz) đƣợc xác định nhƣ
sau:
x' = x + tx;

y' = y + ty;

z' = z + tz

(1.4)

x' = sx.x ;

y' = sy.y;

z = sz.z

(1.5)



t y t z 1 
0 0

z 1).
0 0
0 0 
sz 0 

0 1

Đối với phép quay 3D, việc xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong
không gian là rất khó, do vậy phép quay quanh trục bất kỳ thƣờng đƣợc qui
về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ nhƣ trong Bảng 1.1:
Phép quay cơ bản

X'

Y'

Z'

x' = x

y' = ycosθ - zsinθ

z' = ysinθ + zcosθ

Quanh trục y


R ( x,  )  
0  s c 0 


0 0 0 1 

c
0
R( y,  )  
s

0

0 s
1 0
0 c
0 0

0
0 
0

1

 c s 0 0
s c 0 0

R( z, )  
 0 0 1 0




0 
 
1  

R*
t

0
0 
0

1

với

 r11
R*   r21
 r31

r12
r22
r32

r13 
r23 
r33 

hoặc ta có thể viết nhƣ sau:


 r1 , r2   r3



 

 r2 , r3   r1



 

 r3 , r1   r2



(1.12)

và ta còn có :

  
r1  r2  r3  1
1.1.2. Phép biến đổi đồng nhất
Biểu diễn điểm dƣới dạng tọa độ đồng nhất cho phép đơn giản hóa và
thống nhất hóa việc biểu diễn các phép biến đổi hình học nhƣ là phép nhân
ma trận.
Theo tọa độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều đƣợc ánh xạ vào
không gian (n+1) chiều.
Ví dụ 1.1: điểm P(x, y , z) trong hệ tọa độ Đề-các 3 chiều đƣợc biểu


1 0

T  0 1
t x t y


0

0 ;
1 

 sx
S   0
 0

0
sy
0

0
0  ;
1 

 cos 
R    sin 
 0

sin 
cos 


(1.16c)

1)

  
Kết quả trên đây cho thấy rằng các vector r1 , r2 , r3 của ma trận biến đổi

đồng nhất H trở thành vector trục của hệ tọa độ chuyển động (Hình 1.2) biến
đổi theo (1.12). Gốc hệ tọa độ chuyển động đƣợc xác định tƣơng tự:
P'h = (0 0 0 1)H = (tx ty tz 1) = (t

1)

(1.17)

Vì lý do này, ngƣời ta gọi ma trận biến đổi đồng nhất H là khung tọa độ.
Nhƣ vậy, phép biến đổi (1.9) chính là phép ánh xạ từ hệ tọa độ làm việc (hệ
tọa độ địa phƣơng hay hệ tọa độ chuyển động) sang hệ tọa độ hệ thống (hệ
tọa độ cố định).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/


10


r1

Phép ánh xạ đối tƣợng hình học từ một hệ tọa độ sang hệ tọa độ thứ hai
đƣợc định nghĩa nhƣ sự thay đổi mô tả đối tƣợng hình học từ hệ tọa độ thứ
nhất sang hệ tọa độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phƣơng
chiều của đối tƣợng hình học so với cả 2 hệ tọa độ.
Phép ánh xạ tƣơng đƣơng với phép biến đổi hệ tọa độ thứ nhất sang hệ
tọa độ thứ hai và đƣợc sử dụng rất phổ biến trong thiết kế đồ họa.
Thông thƣờng, ngƣời ta sử dụng định nghĩa hệ tọa độ làm việc
(còn đƣợc gọi là hệ tọa độ địa phƣơng hay hệ tọa độ đối tƣợng) gắn liền với
đối tƣợng thiết kế để đơn giản hóa việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/


11

Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) tọa độ đƣợc đo trong hệ tọa
độ làm việc sang hệ tọa độ hệ thống trƣớc khi lƣu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu
hệ thống.
Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trúc lắp ghép, khi mỗi
đối tƣợng (chi tiết hay bộ phận) đƣợc định nghĩa theo hệ tọa độ hệ thống
riêng và chúng cần đƣợc kết nối và quản lý trong hệ tọa độ hệ thống chủ.
Ví dụ 1.1: Ta có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ tọa độ sang
hệ tọa độ thứ hai nhƣ sau: Cho trƣớc tọa độ của điểm P xác định theo hệ tọa
độ (X, Y, Z), ta sẽ xác định tọa độ của điểm P theo hệ tọa độ (X', Y', Z'), sao
cho thỏa mãn điều kiện:
P' = f(P, thông số ánh xạ) hay P' = P.H
trong đó:
P: Vector vị trí của điểm P theo hệ tọa độ (X, Y, Z).

biết phƣơng trình toán học của nó ngƣời ta sử dụng một tập hợp các điểm cho
trƣớc gọi là tập các điểm điều khiển (control points). Giả sử ta dùng n+1
điểm điều khiển P0, P1, P2,..., Pn, khi đó một đƣờng cong C đƣợc tạo ra theo
một trong hai cách sau:
 Nội suy các điểm điều khiển: Đƣờng cong C đƣợc bắt đầu tại
điểm P0 và đi qua các điểm điều khiển trung gian theo thứ tự P0, P1,
P2,..., Pn. C kết thúc tại Pn.
 Xấp xỉ các điểm điều khiển: C không nhất thiết phải đi qua các
điểm điều khiển nhƣng hình dạng của nó đƣợc quyết định bởi các
điểm điều khiển.
Đƣờng cong là các đối tƣợng cơ bản thƣờng là kết quả của tiến trình thiết
kế và các điểm điều khiển đóng vai trò là công cụ để kiểm soát và mô hình
hoá đƣờng cong. Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực thiết kế mô hình hình
học nhờ máy tính (Computer Aided Geometric Design, viết tắt là CAGD).
Về mặt toán học, đƣờng cong đƣợc biểu diễn dƣới các dạng:
 Phƣơng trình ẩn:
f(x, y, z) = 0
 Phƣơng trình tƣờng minh:
y = f(x), z = g(x)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/


13

 Phƣơng trình tham số:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) trong đó t ∈ [0; 1].
Ví dụ 1.2: Xét đƣờng tròn đơn vị (O, 1) trên mặt phẳng Oxy, có


Giả sử Q cũng là một điểm thuộc đƣờng tròn, gọi góc tạo bởi PQ với trục
Ox là α. Khi đó ta đặt :
t = tgα = y/ (x+1)
kết hợp với phƣơng trình (2.1) ta có :
x = x(t) = (1- t2)(1- t2) ;

y = y(t) = 2t/(1+ t2)

Phƣơng trình trên đƣờng gọi là phƣơng trình tham số đa thức hữu tỷ của
đƣờng tròn. Quá trình thiết lập phƣơng trình tham số hữu tỷ của đƣờng cong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/


14

và mặt cong từ phƣơng trình đa thức ẩn đƣợc gọi là tham số hóa.
Mặc dù về mặt lý thuyết có thể sử dụng phƣơng trình toán học bất kỳ để
biểu diễn đƣờng cong, nhƣng mô hình toán học dƣới dạng đa thức đƣợc sử
dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần
lớn các loại đƣờng cong sử dụng trong kỹ thuật.
Mỗi đƣờng cong có các đặc tính đó là: Độ chảy, Vector tiếp tuyến đơn vị,
Vector pháp tuyến chính, Độ cong và bán kính cong [3].
xét đƣờng cong đƣợc biểu diễn bằng phƣơng trình tham số chuẩn tắc:
r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Độ chảy : Độ lớn của vector đạo hàm r’(t) đƣợc gọi là độ chảy của
đƣờng cong :
q’(t) = r '(t )

Vì T là vector đơn vị (T.T = 1), do đó vector N vuông góc với vector T.
Mặt phẳng địng nghĩa bởi vector T và N đƣợc gọi là mặt phẳng mật tiếp.
Vector B vuông góc với vector N và T đƣợc gọi là vector pháp tuyến đôi xác
định bởi quan hệ: B = TxN.
Độ cong và bán kính cong: Cho s là tham số tự nhiên và T là vector tiếp
tuyến đơn vị của đƣờng cong r(t). Độ cong đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

k  dT / ds
Xét đƣờng tròn trên mặt phẳng mật tiếp đi qua điểm hiện thời r(t) và độ
cong của nó bằng chính độ cong của đƣờng cong tại điểm này. Đƣờng tròn
này đƣợc gọi là đƣờng tròn mật tiếp, bán kính của đƣờng tròn mật tiếp đƣợc
gọi là bán kính cong và đƣợc xác định bởi:



1
k

1.3. Mặt cong
1.3. 1. Mô hình hóa mặt cong
Mô hình hóa các mặt cong ta có thể xây dựng đƣợc bằng ba cách sau:
a. Mặt kẻ - Ruled Surface
Mặt kẻ đƣợc xây dựng bằng cách cho trƣợt một đoạn thẳng trên hai
đƣờng cong. Hai đƣờng cong này gọi là đƣờng cong biên. Các mặt kẻ nhận
đƣợc bằng phép nội suy tuyến tính từ hai đƣờng cong biên cho trƣớc tƣơng
ứng với hai biên đối diện của mặt kẻ P1(u) và P2(u).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Mặt trƣợt là mặt đƣợc tạo bằng cách trƣợt một thực thể theo một đƣờng
thẳng hoặc đƣờng cong trong không gian. Thực thể đó có thể là một đƣờng
thẳng, đa giác, một đƣờng cong…
1.3.2. Biểu diễn mặt cong
Mặt cong đƣợc định nghĩa trực quan là quỹ đạo chuyển động của một
đƣờng cong tạo nên.
Theo hình học vi phân, mặt cong đƣợc định nghĩa nhƣ là ảnh của phép
ánh xạ tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và đƣợc biểu
diễn bởi phƣơng trình:
x= x(u, v)

với u, v [0, 1]

y= y(u, v)
z= z(u, v)
S(u, v ) = S[x= x(u, v), y= y(u, v), z= z(u, v)] ,

(1.19)

trong đó: u, v là tham số mặt cong.
để biểu diễn phƣơng trình tham biến cho mặt cong ta có thể:
 Dựa vào việc xây dựng và tạo bề mặt toán học từ các điểm điều
khiển,
 Dựa vào việc xây dựng nên bề mặt phụ thuộc vào biến số có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/



Bezier đã sử dụng đa giác kiểm soát cho đƣờng cong tại những đỉnh của đa
giác và tiếp tuyến tại đó.
2.1.1. Đƣờng cong Bezier
Giả sử một đƣờng cong Bezier C đƣợc tạo ra từ (n+1) điểm điều khiển P0,
P1, P2,…,Pn. Kí hiệu tọa độ của mỗi điểm điều khiển là Pi(xi,yi,zi) trong đó 0 ≤
i ≤ n. Tập hợp các điểm điều khiển ta gọi là đa giác kiểm soát (control
polygon). Khi đó các điểm trên đƣờng cong Bezier C đƣợc tính theo công
thức [3]:
n

C (t )   PB
i i , n (t )

(2.1)

i 0

i
n i
trong đó Bi ,n (t )  C (n, i)t (1  t ) 

n!
t i (1  t ) ni đƣợc gọi là
k !(n  k )!

công thức Bernstein bậc n, còn gọi là các hàm trộn (blending function) vì nó
tạo ra đƣờng cong bằng cách pha trộn các điểm P0, P1, P2,…,Pn .
Để dễ hình dung ta xét trƣờng hợp đơn giản nhất khi chỉ có 2 điểm điều
khiển P0 và P1 , khi đó các điểm thuộc đƣờng cong C đƣợc xác định bởi công



C(t
)

a(t)

P0

P0
a

e(t)

b(t)
c(t)

a(t)
P2

d(t)

c(t)

P0

b

c

a(t)

trong công thức (2.4), C(t) là một hàm bậc 3 theo biến t và đƣợc gọi là
đƣờng cong Bezier bậc 3. Công thức này cũng có thể xây dựng một cách tuần
tự bằng thuật toán Casteljau cho 4 điểm.


Dạng biểu diễn ma trận của đường cong Bezier

Để thích hợp cho việc biểu diễn trên máy tính, ta biểu diễn 2 mảng
Bn(t) và P nhƣ sau :
Bn(t) = (B0,n(t) , B1,n(t),…,Bn,n(t))
P = (P0, P1, P2,…, Pn)

 P0 
P 
T
P   1
=>
 P2 
 
 P3 
khi đó theo công thức (2.1) ta có:
C(t) = Bn(t).PT

(2.5)

các hàm trộn có thể biểu diễn dƣới dạng đa thức tổng quát :
Bi,n = a0 + a1t + a2t2 + …+ antn = (t0 , t1 , …, tn).(a0 ,a1 ,…an)

(2.6)


0 
0

1

(2.9)

Vẽ đường cong Bezier

Để tạo ra một đƣờng cong Bezier từ một dãy các điểm điều khiển ta sẽ
áp dụng phƣơng pháp lấy mẫu hàm C(t) ở các giá trị cách đều nhau của tham
số t, chẳng hạn có thể lấy ti = i/n, i = 0, 1, …, n. Khi đó ta sẽ đƣợc các điểm
C(ti) từ công thức Bezier.
Nối các điểm này bằng các đoạn thẳng ta sẽ đƣợc đƣờng cong Bezier
gần đúng. Để tính C(ti) ta có thể áp dụng ma trận C(t) ở công thức (2.8) trong
đó chỉ có thành phần Pow(ti) là thay đổi, còn tích Ben.PT với P = (P0, P1, P2,…,
Pn) là không đổi [3].


Các tính chất của đường cong Bezier

Đƣờng cong Bezier có các tính chất :
 Nội suy các điểm đầu và cuối : C(0) = P0 và C(1) = Pn .
 Tính bất biến affine : Khi biến đổi một đƣờng cong Bezier, ta
không cần biến đổi mọi điểm riêng rẽ trên đƣờng cong mà chỉ cần
biến đổi các điểm điều khiển của đƣờng cong đó rồi sử dụng công
thức Bernstein để tái tạo lại đƣờng cong đã đƣợc biến đổi.
 Tính chất của bao lồi : Đƣờng cong Bezier P(t) không bao giờ đi
ra ngoài bao lồi của nó. Ở đây, bao lồi của các điểm điều khiển là
tập đỉnh nhỏ nhất chứa tất cả các điểm điều khiển đó.

tƣờng minh mà sẽ biểu diễn chúng thông qua các điểm điều khiển. Chẳng
hạn :
S(u, v) = (1 - v).((1 - u).P00 + u.P10) + v.((1 - u).P01 + u.P11) dùng 4 điểm
điều khiển ở 4 góc là Pij với các hàm trộn là tuyến tính theo u, v.
Đƣờng cong Bezier trong không gian 3 chiểu có thể đƣợc viết dƣới
dạng là một hàm của tham số v với K+1 điểm điều khiển tùy thuộc vào tham
số u theo một cách nào đó. Chẳng hạn :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/


24
K

C (u, v)   Pi (u ) Bi ,n (v)
i 0

(2.11)

nghĩa là mỗi đƣờng viền u là một đƣờng cong Bezier chuẩn, nhƣng ở
những giá trị u khác nhau thì các điểm điều khiển cũng nằm ở những vị trí
khác nhau [4].
Khi u biến thiên thì mỗi điểm điều khiển Pi(u) sẽ chạy trên một đƣờng
cong cụ thể. Do đó, mặt cong có thể xem nhƣ là một sự dịch chuyển hay trƣợt
đƣờng Bezier trong không gian.
Ta tƣởng tƣợng một đa giác kiểm soát chuyển động trong không gian và
thay đổi dạng khi chuyển động. Ở mỗi vị trí, đa giác này tạo nên một đƣờng
cong Bezier và do đó tạo thành mặt cong trong quá trình trƣợt. Giả sử ta có

thu đƣợc một lƣới các đƣờng cong Bezier, đó chính là mặt cong Bezier nhƣ
minh họa trong (Hình 2.2).
P30

C3(v)

C2(v)

P20

P32

C3

P31

P33
P21

P22

C2

C1(v)

P10

P23
P11


B-spline). Đối với các hàm B-spline, mỗi đa thức riêng phần tạo ra nó có một
bậc m nào đó. Do đó, thay vì dùng ký hiệu Ri(t) nhƣ trong phƣơng trình
n

đƣờng cong spline: C (t )   PR
cho các hàm từng mẩu này ta sẽ ký
i i (t )
i 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

http://www.lrc-tnu.edu.vn/