SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN


CHUYÊN ĐỀ DỰ THI
DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2015 - 2016
Chuyên đề bài tập
SỰ TRUYỀN CỦA ÁNH SÁNG TRONG MÔI
TRƯỜNG CÓ CHIẾT SUẤT BIẾN THIÊN

Môn

: Vật lí

Tên tác giả : Cao Văn Trung
GV môn

: Vật lí

Tổ

: Vật lí – Thể dục – Quốc phòng

Năm học: 2015 – 2016


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
- Cơ sở khoa học của đề tài:
+ Cơ sở lí luận: Đề tài được thực hiện trên cơ sở lý luận và phương pháp luận
của chủ nghĩa Mác-Lênin, tư tưởng Hồ Chí Minh về giáo dục, các văn kiện Đại hội
Đảng.Vai trò và nhiệm vụ của giáo dục và đào tạo đã được thể hiện trong các văn

bồi dưỡng học sinh giỏi
- Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các bài tập vật lí đại cương, các tài liệu
ôn thi học sinh giỏi, phần quang hình, các phép toán cao cấp được áp dụng vào
vật lí. Thực hiện ở lớp chuyên lí 11 – trường THPT Chuyên Thái Nguyên.

2


PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. CÁC KIẾN THỨC LÍ THUYẾT CÓ LIÊN QUAN
1.1 Ánh sáng khúc xạ liên tiếp qua các bản mặt song song ghép sát
nhau.

HÌNH VẼ 1

Các bản mặt song song ghép sát nhau, chiết suất của các bản tương ứng là
n0 ; n1 ; n2 ;..... như hình vẽ 1. Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng ta được:

n0 sin i0 = n1 sin i1 = .... = nk sin ik
Có hai trường hợp xảy ra:
TH1: Chiết suất tăng dần theo thứ tự trên, khi đó góc tới ở lớp kế tiếp sẽ
giảm dần. Trường hợp này không thể có phản xạ toàn phần ở bất cứ lớp nào.
TH2: Chiết suất giảm dần theo thứ tự trên, khi đó góc tới ở các lớp kế tiếp
sẽ tăng dần, dẫn đến tới một lớp nào đó tia sáng hướng đến mặt phân cách trong
điều kiện thỏa mãn điều kiện phản xạ toàn phần (Trong hình vẽ giả sử là tia sáng
hướng tới mặt phân cách từ lớp thứ 3) thì tia sáng sẽ bị phản xạ toàn phần. Ta dễ
chứng minh được đường đi của tia sáng đối xứng qua pháp tuyến tại điểm xảy ra
phản xạ toàn phần.
1.2 Nguyên lí Fec-ma
* Khái niệm quang trình của tia sáng


4


các em có thể tự kiểm tra và đối chiếu phương pháp giải, giúp ích nhiều cho
việc tự học của học sinh.
Bài toán 1: Biết phương trình đường đi của tia sáng, phải tìm hàm
chiết suất phụ thuộc vào tọa độ.
Bài toán 2: Biết hàm chiết suất của môi trường phụ thuộc tọa độ, tìm
phương trình quỹ đạo của tia sáng.
Bài toán 3: Vận dụng nguyên lí Fec-ma và nguyên lí Huy-ghen
Bài toán 4: Một số bài toán về ảo cảnh và phản xạ toàn phần

5


BÀI TOÁN 1: BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐI CỦA TIA SÁNG
PHẢI TÌM HÀM CHIẾT SUẤT CỦA MÔI TRƯỜNG PHỤ THUỘC TỌA
ĐỘ.
Bài toán tổng quát
Bài toán cho một tia sáng truyền trong một môi trường trong suốt có chiết
suất n biến thiên theo tọa độ. Biết rõ quỹ đạo của tia sáng dưới dạng hàm số
y = f ( x ) . Yêu cầu lập phương trình thể hiện sự phụ thuộc của chiết suất môi
trường vào tọa độ.
Phương pháp giải chung

HÌNH VẼ 3

Giả sử rằng chiết suất của môi trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ x. Như vậy
ta chia môi trường thành những lớp mỏng theo phương song song với trục Oy,

phương trình y = a.x 2
ĐS: n = n0 1 + 4ay
PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Vì chiết suất của môi trường chỉ biến thiên theo phương của trục Oy, nên ta
chia môi trường thành các lớp mỏng theo phương của trục Ox (tức là vuông góc
với Oy) như hình 5

HÌNH VẼ 5

Định luật khúc xạ ánh sáng viết liên tiếp cho từng lớp có dạng
n0 sin i0 = n1 sin i1 = n2 sin i2 = ..... = n.sin i
Áp dụng cho gốc tọa độ O và điểm khảo sát có tọa độ (x;y) ta được:
n0 sin 900 = n.sin i
7


CHÚ Ý: Khi viết định luật khúc xạ ánh sáng tại vị trí biên ( Tại O trong
trường hợp này ) ta phải hiểu rằng điểm đang xét là điểm rất gần O thuộc
phần chứa môi trường khảo sát
Bình phương hai vế phương trình trên ta được:
n02 = n 2 sin 2 i (1)
Từ hình vẽ trên ta có:

( dx )
1
θ=
=
2
2
2

1
1
=
4a 2 x 2 + 1 4ay + 1 Thay

vào phương trình (1) ta được:
n = n0 1 + 4ay
BÀI 2
Một tia sáng chiếu vuông góc vào
mặt phẳng ngăn cách hai môi trường
(như hình vẽ 6), môi trường có chiết
suất n chỉ phụ thuộc vào tọa độ y. Tìm
dạng của hàm n( y ) để bên trong môi
trường này tia sáng truyền theo đường
hình sin, với phương trình quỹ đạo là
HÌNH VẼ 6
y = a cos ω x .
Biết rằng chiết suất của môi trường tại điểm mà tia sáng bắt đầu đi vào là n0
ĐS: n = n0 ω 2 ( a 2 − y 2 ) + 1
PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

8


HÌNH VẼ 7

Vì chiết suất của môi trường chỉ biến thiên theo trục Oy nên ta chia môi
trường trong suốt thành nhiều phần mỏng song song với trục Ox như hình vẽ 7.
Tại điểm J bất kì trong môi trường truyền ánh sáng ( điểm J phân cách bởi hai
lớp mỏng có chiết suất n và n + dn, góc tới tại môi trường chiết suất n là góc i).


n 2 − n02
= − aω sin ( ωt )
n0


Bình phương hai vế để rút ra n: n = n0 1 + a 2ω 2 sin 2 ( ωt )
Hay: n = n0 1 + ω 2 ( a 2 − y 2 )
BÀI TOÁN 2: BIẾT HÀM CHIẾT SUẤT CỦA MÔI TRƯỜNG PHỤ
THUỘC TỌA ĐỘ, TÌM PHƯƠNG TRÌNH QUỸ ĐẠO CỦA TIA SÁNG
Bài toán tổng quát
Bài toán cho một tia sáng truyền trong một môi trường trong suốt có chiết
suất n biến thiên theo tọa độ. Biết rõ sự phụ thuộc của chiết suất của môi trường
vào tọa độ, chẳng hạn n = f ( x ) . Yêu cầu lập phương trình đường đi của tia
sáng.
Phương pháp giải chung
Các bước giải ban đầu hoàn toàn giống bài toán 1. Nhắc lại cụ thể như
sau

HÌNH VẼ 8

Giả sử rằng chiết suất của môi trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ x. Như vậy
ta chia môi trường thành những lớp mỏng theo phương song song với trục Oy,
mỗi lớp mỏng đó có bề dày dx, và coi như chiết suất trong lớp mỏng đó có giá
trị không đổi và bằng n. Các lớp mỏng xếp liên tục liên tiếp nhau tạo thành hệ
thống nhiều bản mặt song song liên tiếp.
Như vậy ĐL khúc xạ ánh sáng được viết liên tiếp cho các lớp:
n0 sin i0 = n1 sin i1 = .... = nk sin ik
10



HÌNH VẼ 9

và ló ra ở điểm B với góc ló là α
a) Tính chiết suất tại điểm B ( nB )
b) Tính xB
c) Lập phương trình quỹ đạo của tia sáng truyền trong bản
Dữ kiện: n0 = 1,2 ; R = 13cm; α = 300

n 
ĐS: nB = n02 + sin 2 α ; xB = R 1 − 0 ÷ ;
 nB 
Quỹ đạo là một cung tròn bán kính R
11


PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Trong bài toán này dữ kiện đề bài cho biết hàm chiết suất của môi
trường phụ thuộc tọa độ. Yêu cầu tìm phương trình quỹ đạo của đường truyền
ánh sáng.
Chiết suất của môi trường biến thiên theo trục Ox nên ta chia môi trường
thành nhiều lớp mỏng theo phương song song với Oy.
Chiết suất của bản tại điểm A là nA = n0 , góc tới tại điểm A là i0 = 900 (như
hình vẽ 10)

HÌNH VẼ 10

Tại điểm B, chiết suất của môi trường là nB, góc tới là θ .
Ta có:
n0 = nB .sin θ

1−

x
R

Ta sẽ tìm được tọa độ của điểm B:

n 
xB = R  1 − 0 ÷
 nB 
c) Lập phương trình quỹ đạo của đường đi của tia sáng.
Xét tại một điểm tới C bất kì trong bản như hình vẽ 11.

HÌNH VẼ 11

n0 R
 sin i = R − x
n
=
n
.sini
=
sin
i
0
Ta có
R−x
R

13

R−x
2 Rx − x 2

dx
dx

Thực hiện phép tích phân bằng cách đặt u = 2 Rx − x 2  du = 2 ( R − x ) dx
Kết quả thu được: x 2 + y 2 − 2 Rx = 0
Kết luận phương trình đường đi của tia sáng là một cung tròn tâm I có
tọa độ ( R;0 ) bán kính R
BÀI 4
1) Một vỏ cầu có bán kính ngoài R 1 bán
kính trong R2 được làm bằng chất trong suốt có
chiết suất n2. Từ môi trường ngoài có chiết suất
n1, một tia sáng được chiếu tới vỏ cầu dưới góc
tới i1. Trước khi đi vào bên trong, tia sáng
chiếu tới mặt trong của vỏ cầu dưới góc tới i 2.
(Xem hình vẽ 12). Hãy thiết lập mối quan hệ
giữa các đại lượng i1; i2 ; n1; n 2 ; R1; R2
HÌNH VẼ 12

2) Một quả cầu tâm O bán kính R được làm bằng một chất trong suốt. Chiết
suất tại một điểm bên trong quả cầu biến thiên theo khoảng cách r từ điểm đó tới
tâm quả cầu theo hệ thức nr =

2R
. Từ không khí chiếu vào quả cầu một tia
R+r

sáng với góc tới i = 300. Xác định khoảng cách ngắn nhất từ tâm O đến quỹ đạo


R2 sin i2
. Biến đổi về dạng đối xứng ta được
R1
n1 R 1 sin i1 = n2 R2 sin i2

Nhận xét: Dạng của ĐL khúc xạ ánh sáng qua các lớp mỏng liên tiếp khác
với trường hợp lớp mỏng được chia thành nhiều bản mỏng song song. Đó là vì
góc khúc xạ tại lớp này không bằng góc tới của lớp kia.

15


a) Chia quả cầu thành nhiều lớp mỏng
giới hạn bởi các mặt cầu bán kính r và r + dr.
Chiết suất của lớp mỏng này là n và coi như
không đổi (Xem hình vẽ 13)
Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng cho các
lớp cầu mỏng liên tiếp ta được:
n.r.sin θ = 1.R.sin 300
Dễ thấy rằng khi khoảng cách giữa tâm
của quả cầu và tia sáng nhỏ nhất thì góc tới tại
điểm đó bằng 900.
Thay ĐK đó vào phương trình trên ta
HÌNH VẼ 13

được:

2R
R

16


HÌNH VẼ 14

Tại điểm tới C bất kì từ lớp mỏng có chiết suất n, góc tới của tia sáng từ lớp
này là i.
Ta có: cot i =

dx
y
dx A
y
= cos
, mặt khác x = A.sin ⇒
dy
B
dy B
B
Từ đó: cot i =

A
y
cos
B
B

Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng liên tiếp cho các điểm từ gốc tọa độ O đến
điểm C ta có: n0 sin i0 = n sin i (1)
Góc i0 được cho bởi hệ thức: cot i0 =

B
= .
(4)
n
n A2 + B 2

Từ (3) và (4) sử dụng hệ thức

1
= 1 + sin 2 i biến đổi ta thu được:
2
cot i

x2
n = n0 1 − 2
A + B2

17

(2)


Đồ thị chiết suất phụ thuộc tọa độ x như hình bên dưới

HÌNH VẼ 15

BÀI 6
Giữa hai môi trường trong suốt có chiết suất n 0 và n1 ( n0 > n1 > 1 ) có một
bản hai mặt song song bề dày e. Bản mặt được đặt dọc theo trục Ox của hệ trục
tọa độ Oxy như hình vẽ. Chiết suất của bản chỉ thay đổi theo phương vuông góc


cos 2 α
>e
k

en02 sin 2α en02 sin α n12
− 2
− sin 2 α ; y2 = e
Thì tọa độ điểm ló là x2 = 2
2
2
2
n0 − n1
n0 − n1 n0
PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Lập phương trình quỹ đạo.

HÌNH VẼ 17

19


Ta chia bản mặt song song thành nhiều lớp mỏng, mỗi lớp coi như có chiết
suất không đổi n. Xét một lớp bất kì như hình vẽ trên. Lớp này có chiết suất n,
góc tới của tia sáng từ lớp này tới mặt phân cách là i (Xem hình 17)
Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng liên tiếp từ điểm O đến điểm đang xét ta có:
n sin i = n0 sin α với n = n0 1 − ky
Từ đó ta có: sin i =
Theo hình vẽ ta có: cot i =


∫
0

dy
cos 2 α − ky

x

dx
sin α
0

=∫

2
y
x
−1 d ( cos α − ky )
dx
=∫
Thực hiện đổi biến:
∫
k 0 cos 2 α − ky
sin α
0

Sau khi thực hiện phép lấy tích phân và vài biến đổi đơn giản ta đi điến
biểu thức:
y=−


−
2.
x
.
+

÷+
4sin 2 α 
k
k2 
k
2

−k 
sin 2α  cos 2 α
y=
x−
÷ +
4sin 2 α 
k 
k
Ta thấy: ymax
TH1: Nếu

cos 2 α
=
k

cos 2 α
< e thì tia sáng sẽ ló ra khỏi bản ở mặt dưới. Tọa độ


n = n ( x ) = n1 1 − α 2 x 2 trong đó x là khoảng cách từ trục của lõi và α là
hằng số. Lõi được bao bọc bởi một lớp vỏ trong suốt có chiêt suất n 2. Bên ngoài
sợi quang là không khí có chiết suất n0
Đặt Oz là trục của sợi quang. O là tâm của một đầu sợi
Cho: n0 = 1,000 ; n1 = 1,500 ; n2 = 1,460 ; a = 25µ m
1) Một tia sáng đơn sắc chiếu tới điểm O với góc tới θi , mặt phẳng tới là
mặt xOz.
a) Chứng tỏ rằng tại mỗi điểm trên quỹ đạo của tia sáng trong sợi quang,
điểm có chiết suất n và tia sáng tới điểm đó hợp với trục Oz góc θ thỏa mãn mối
quan hệ n.cos θ = C trong đó C là hằng số.
Tìm giá trị hằng số C theo n1; θi
b) Sử dụng kết quả vừa tìm được trong phần 1.a và mối quan hệ lượng giác
1

cos θ = ( 1 + tan 2 θ ) 2 trong đó tan θ =

dx
= x ' là hệ số góc của quỹ đạo tại điểm
dz

có tọa độ (x,z) thu được một phương trình của x’.
c) Tìm phương trình tường minh của x phụ thuộc vào z. Đây là phương
trình quỹ đạo của tia sáng trong sợi quang.
d) Hãy vẽ quỹ đạo của tia sáng trong một chu kì, với hai góc θi khác nhau.
2) Tia sáng truyền đi trong sợi quang
a) Hãy tìm giá trị góc tới lớn nhất θiM để tia sáng có thể truyền đi được bên
trong lõi của sợi quang.
b) Hãy xác định tọa độ z, tại vị trí giao điểm của quỹ đạo và trục Oz. Trong
trường hợp θi ≠ 0

1

Dùng công thức lượng giác cos θ = ( 1 + tan 2 θ ) 2
Suy ra:

n12 ( 1 − α 2 x 2 )
C

2

Đạo hàm hai vế và thu gọn ta được: x ''+

= 1 + ( x ')

2

n12α 2
x=0
C2

Giải điều kiện biên của n để tính giá trị α ( n = n ( x ) = n1 1 − α 2 x 2 )
n ( a ) = n2 = n1 1 − α 2 a 2
2
Thu được: α =

n12 − n22
n12 a 2

Thay biểu thức trên vào phương trình vi phân của x ta được :
23

Từ đó tính được: A =

dx
= A.ω .
dz

a.sin θi
n12 − n22

Vậy phương trình quỹ đạo của tia sáng là:
x=

1
.cos 
a
n12 − n22


a.sin θi

n12 − n22
π
÷
z
−
2
2
÷
2
n