BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------------

LÊ NGUYỄN MAI ANH

ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG
TRONG MÔI TRƯỜNG
KHÍ NGUYÊN TỬ Rb DỰA TRÊN
HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------ ------

LÊ NGUYỄN MAI ANH

ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG
TRONG MÔI TRƯỜNG
KHÍ NGUYÊN TỬ Rb DỰA TRÊN
HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
MÃ SỐ: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

LÝ THUYẾT LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG.....................6

1.1. Sự dao động của nguyên tử theo mô hình cổ điển..............................6
1.2. Các phương trình Maxwell và các tính chất của môi trường............7
1.3. Mô hình Lorentz đối với độ cảm tuyến tính........................................8
1.4. Phương trình sóng và chiết suất phức.................................................9
1.5. Vận tốc pha và vận tốc nhóm.............................................................11
1.5.1. Vận tốc pha....................................................................................11
1.5.2. Vận tốc nhóm................................................................................11
1.6. Xung quang học lan truyền trong môi trường cộng hưởng.............12
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1...........................................................................................14
Chương 2....................................................................................................................15
ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG KHI
NGUYÊN TỬ Rb DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TƯ
.....................................................................................................................................15

2.1. Phương trình ma trận mật độ của hệ nguyên tử ba mức.................15
2.1.1. Cấu hình Lamda............................................................................15
2.1.1.1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức............15
2.1.1.2. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một :.....19
2.1.1.3. Độ cảm phức của môi trường.....................................................20
2.1.1.4. Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc....................................................22
2.1.1.5. Chiết suất nhóm và vận tốc nhóm..............................................22
2.1.2. Cấu hình bậc thang........................................................................23
2.1.2.1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức............23
2.1.2.2. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một :....25
2.1.2.3. Độ cảm phức của môi trường.....................................................25
2.1.2.4. Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc....................................................26
1


nói về ánh sáng "nhanh" hay "chậm" tùy thuộc vào giá trị của vận tốc nhóm "
vg " so với vận tốc ánh sáng " c ".

2


Trong những năm gần đây, điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng đã thu
hút nhiều sự chú ý của các nhà khoa học trên thế giới. Một số kỹ thuật mới
đây được phát triển và điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng có thể đạt đến ánh
sáng siêu chậm (vg

-72.9MHz

(c)

F” = 2

-229 MHz

2

ωc

3

2

3
2
ωp

ωp ω
c

52D5/2

F” = 1
-302 MHz

F” = 0

F=1

(ii)

4


Điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng bằng hiệu ứng EIT và tiềm năng ứng
dụng của ánh sáng chậm hay ánh sáng được làm "dừng lại" hiện đang được
nhiều nhóm tác giả trên thế giới quan tâm nghiên cứu cho các hệ nguyên tử ba
mức, bốn mức hay năm mức. Ở Việt Nam, trong những năm gần đây nhóm
nghiên cứu của trường Đại học Vinh đã tiến hành nghiên cứu hiệu ứng trong
suốt cảm ứng điện từ trong cấu hình 3 mức chữ V, Lamda, bậc thang [2] và
làm chậm vận tốc nhóm trong cấu hình nguyên tử lạnh Rb 87 cấu hình ba mức
[1]. Trên cơ sở những điều kiện thuận lợi ở trong và ngoài nước, chúng tôi
chọn "Điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng trong môi trường khí nguyên tử
Rb dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ" làm đề tài luận văn tốt
nghiệp của mình.
Mục đích của đề tài là nghiên cứu khả năng điều khiển vận tốc nhóm
ánh sáng trong môi trường nguyên tử 87Rb ba mức cấu hình bậc thang, lamda
và chữ V để nghiên cứu sự thay đổi công tua hấp thụ và công tua khúc xạ theo
độ lệch tần và cường độ của chùm laser liên kết. Chúng tôi giả thiết các
nguyên tử Rb trong mẫu được làm lạnh bằng laser và bẫy quang từ đến nhiệt
độ khoảng 100µK. Sự giả thiết này nhằm loại bỏ hiệu ứng Doppler và hiệu
ứng mở rộng vạch phổ do các quá trình va chạm dẫn đến tích thoát pha trong
nguyên tử.
Luận văn được trình bày trong hai chương có cấu trúc như sau:
Chương 1: Lý thuyết lan truyền ánh sáng trong môi trường
Chương này đề cập đến các tính chất của môi trường khi có sự lan
truyền của ánh sáng theo quan điểm cổ điển trên cơ sở các phương trình

dx
d 2x
+ b + kx = qE0eiωt .
2
dt
dt

(1.1)

trong đó, m là khối lượng và q là điện tích của electron, b là hệ số tắt dần, k là
hệ số mô tả sự hồi phục của điện tử khi nó bị lệch khỏi vị trí cân bằng.
Nghiệm của phương trình (1.1), có dạng:
qE 0
eiωt
x(t ) =
.
.
m (ω0 2 − ω 2 + iγω )

(1.2)
6


trong đó γ =b/m và ω02 = k/m.
Nếu ta tính toán môđun của x(t) thì ta thu được một đường cong dạng
chuông và có giá trị cực đại tại tần số cộng hưởng ωr 2 = ω0 2 − (γ / 2) .

Hình 1.1. Li độ dao động x(t) của điện tử trong nguyên tử.

Theo cơ học cổ điển, lân cận tần số cộng hưởng thì có rất nhiều dao


độ điện tích, µ là độ từ thẩm, σ và ε là độ dẫn điện và độ điện thẩm của môi
trường. Độ từ thẩm, độ dẫn điện và độ điện thẩm của môi trường là các thông
số gắn liền với các tính chất của môi trường, các hằng số này thường phụ
thuộc vào các điều kiện nhiệt động của môi trường.
Rõ ràng có mối liên hệ giữa các tính chất quang và điện của môi
trường, vì tất cả các chất dẫn điện thì không trong suốt trong khi đó các vật
chất trong suốt thì đều là chất cách điện. Tuy vậy, sự trong suốt của các vật
liệu cách điện cũng bị ảnh hưởng bởi cấu trúc hạt trong vật chất, mà có thể
7


sinh ra một phần hoặc hoàn toàn không trong suốt. Với giả thiết này thì các
phương trình
Maxwell có dạng rút gọn
là:
ur
ur
∇. E = 0, ur
∇. B = 0,

ur
ur
∂E
∇× B = µε .
(1.4)
∂t ur
ur
Ở đây, các hệ thức tuyến tính giữa cảm ứng điện D và điện trường E và giữa
ur

nguyên tử dưới tác
dụng của điện trường ngoài E được xác định bởi:
ur
r
(1.6)
P = ε0 χ E ,
ở đây, χ là độ cảm điện tuyến tính (mô tả các tính chất của vật chất), ε0 là độ
điện thẩm trong chân không.
Hằng số điện môi εr là tỷ số độ điện thẩm của môi trường ε và độ điện
thẩm chân không ε0. Độ từ thẩm tương đối µr là tỷ số của độ cảm từ µ và độ từ
thẩm trong chân không µo liên hệ với nhau theo công thức:
εr = ε/ε0 = (1 + χ),
µr = µ/µo = (1 + χm).

(1.7)

1.3. Mô hình Lorentz đối với độ cảm tuyến tính
Chúng ta suy ra công thức tán sắc cho độ cảm tuyến tính bằng cách
khảo sát mômen lưỡng cực cảm ứng mà electron sinh ra dưới tác dụng của
điện trường của trường ánh sáng tới. Mômen lưỡng cực vi mô p có dạng:
q2E0
eiωt
.
p = q.x(t) =
,
m (ω0 2 − ω 2 + iγω )

(1.8)

ở đây, ta đã thay nghiệm phức của x(t) trong phương trình (1.2). Trong mẫu


với c0 = ε µ , suy ra n = ε r µr .
0 0
Đối với vật liệu không có từ tính thì µr rất gần 1 nên n ≈ ε r
Từ các phương trình (1.7) và (1.15), ta có:
n = 1+ χ ≈ 1 +

1
χ .
2

(1.15)
(1.16)

Vì độ cảm điện tuyến tính χ có dạng phức nên chiết suất n cũng có
dạng phức, bây giờ để làm rõ ý nghĩa vật lý của chiết suất phức, ta tách phần
9


thực và phần ảo của chiết suất: n = n' + in" (với n' và n" là các phần thực và
phần ảo của n: đặc trưng cho sự tán sắc và hấp thụ của môi trường) và thay q
= e, ta suy ra:
ω0 − ω
Ne 2
1
.
n' = 1 + χ' = 1 +
,
4mε 0ω0 (ω0 − ω )2 + (γ / 2) 2
2


1.5.2. Vận tốc nhóm
Chúng ta khảo sát sự lan truyền của một xung là sự chồng chất của
nhiều sóng qua một môi trường vật chất với tần số góc ω (xung là một bó
sóng bao gồm nhiều tần số rất sát nhau và rất gần với tần số ω). Chúng ta viết
lại pha của sóng này là [18],
11


φ=

nω
z − ωt .
c

(1.28)

Vì φ không thay đổi bậc nhất đối với ω, tức là: dφ/dω = 0.
Do đó:

ω z dn nz
+ −t = 0,
c dω c

(1.29)

mà z = vg.t vì vậy vận tốc nhóm vg được cho bởi :
c

dω

.
.
4mε 0ω0 (ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2

(1.33)

Do đó chiết suất nhóm có dạng:
ω0 − ω
Ne 2
Ne 2 (ω0 − ω ) 2 − (γ / 2) 2
dn '
.
ng = n' + ω
= 1 + 4mε ω (ω − ω ) 2 + (γ / 2) 2 + 4mε . [(ω − ω )2 + (γ / 2)2 ]2
dω
0 0
0
0
0
Ne 2 (ω0 − ω ) 2 − (γ / 2) 2
≅ 4mε . [(ω − ω )2 + (γ / 2)2 ]2 .
0
0

(1.34)

Bây giờ, chúng ta xét các cực trị của hệ số tán sắc bằng cách lấy đạo hàm của
hệ số tán sắc theo tần số ω:

(ω0 − ω ) 2 − (γ / 2) 2

max

Ne2 1
. = 1 − δ n min ,
2mε 0ω0 γ

(1.36)
(1.37)

Ne 2 1
= 2mε ω . γ .
0 0

Khi đó, chúng ta có thể viết lại các hệ số tán sắc và hệ số hấp thụ:
n' = 1 +

(ω0 − ω )(γ / 2)
(ω0 − ω )(γ / 2)
Ne 2
δ n max .
.
,(1.38)
2
2 = 1 +
(ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2
2mε 0ω0γ (ω0 − ω ) + (γ / 2)

2 Ne 2
(γ / 2) 2
2δ n max

4cmε 0 [(ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2 ]2
.
.
Ne 2
(ω0 − ω ) 2 − (γ / 2) 2

(1.41)

Khi độ lệch tần bằng không, (ω0 − ω ) = 0 thì vận tốc nhóm có biểu thức:
4cmε 0
(γ / 2) 2 .
2
Ne
Khi độ lệch tần, (ω0 − ω ) =

vg = -

vg =

(1.42)
3(γ / 2) thì vận tốc nhóm có biểu thức:

32cmε 0
(γ / 2) 2 .
Ne2

(1.43)

Thay số, ω0 = 5.1014Hz và γ = 109Hz [18] ta thấy chiết suất nhóm biến thiên
trong khoảng: -5.104 đến 5.104. Nghĩa là, vận tốc nhóm của xung ánh sáng có

tán sắc thường là miền có chiết suất nhóm dương và là miền ánh sáng chậm.
Như vậy, đối với một hệ nguyên tử nhất định với một chùm ánh sáng
thì chúng ta rất khó điều khiển độ tán sắc của môi trường. Để khắc phục khó
khăn này thì chúng ta sẽ khảo sát hệ nguyên tử ba mức được kích thích bởi hai
chùm laser, một chùm có cường độ yếu và một chùm có cường độ mạnh.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

14


Trên cơ sở lý thuyết cổ điển lan truyền ánh sáng trong môi trường điện
môi, chúng tôi đã rút ra được các hệ thức hấp thụ, tán sắc của môi trường và
các hệ thức chiết suất nhóm và vận tốc nhóm. Chúng tôi thấy rằng, tại lân cận
tần số cộng hưởng nguyên tử thì sự hấp thụ của môi trường đối với xung ánh
sáng là lớn nhất, đồng thời tại lân cận này là miền tán sắc dị thường có độ tán
sắc dn/dω lớn và âm, và do đó đây là miền ánh sáng nhanh. Phía ngoài tần số
cộng hưởng có độ hấp thụ giảm dần, là miền tán sắc thường, có độ tán sắc
dn/dω lớn và dương, đây là miền ánh sáng chậm.
Chương 2
ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG
KHÍ NGUYÊN TỬ Rb DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG SUỐT
CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
2.1. Phương trình ma trận mật độ của hệ nguyên tử ba mức
2.1.1. Cấu hình Lamda
2.1.1.1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức
Xét một hệ nguyên tử 87Rb ba năng lượng cấu hình lambda như hình:
5P3/2 F’=2

ωc


ma trận mật độ bởi phương trình Liouville [4]:
d ρˆij

i
= − [ Hˆ , ρˆ ]ij + (Λρˆ )ij .
dt
h

Hay

i
i
ρ&(jjn ) = − [H 0 , ρ ( n ) ] − [H1 , ρ ( n −1) ]+ ∑ γ ji ρii( n ) − ∑ γ ij ρ (jjn )
h
h
Ei > E j
Ei < E j
i
i
ρ&ij( n ) = − [H 0 , ρ ( n ) ] − [H1 , ρ ( n −1) ] − γ ij ρij( n )
h
h

(2.1)

Trong đó:
là ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức năng lượng [4] và được
ρˆ
•
biểu diễn dưới dạng ma trận 3 × 3 :

*

Hˆ 0 là Haminton của nguyên tử tự do được xác định theo công thức :
Hˆ = hω 1 1 + hω 2 2 + hω 3 3
0

1

2

3

0
0 
 hω1


và dạng ma trận của nó là: Hˆ 0 =  0 hω2 0  .
 0
0
hω3 
Trong gần đúng lưỡng cực điện, Hˆ I được xác định: Hˆ I = − µˆ .E%,

16

(2.3)
(2.4)
(2.5)




− iω p t

j ) = −d 21E p ( 1 2 + 2 1 ) − d 32 Ec ( 2 3 + 3 2 ) ,

+ 2 1e

iω p t

) − hΩ2 ( 3
c

)

2 e − iωc t + 2 3 eiωct .

2
Ω
Trong đó, p = d 21 E p / h là tần số Rabi của chùm dò,
Ω c = d32 Ec / h là tần số Rabi của chùm điều khiển.
h


− iω t
0
− Ω pe p
0


2

Do đó, Haminton toàn phần có dạng ma trận:

 hω1

h
iω t
ˆ
H = − Ω pe p
 2


0


h
− iω t
− Ω pe p
2
hω2
h
− Ωc e − iωct
2




h
iωc t 
− Ωce
 ,

Trong đó:
Γ ji là tốc độ phân rã tự phát của mức j về mức i .

γ nm là tốc độ tắt dần của độ kết hợp ρ nm và có mối liên hệ với tốc độ

phát xạ tự phát như sau :
 1
1
γ ij =  ∑ Γik + ∑ Γ jl ÷ = ( Γi + Γ j ) .
(2.14)
÷ 2
2  Ek < Ei
El < E j

Trong đó: Γ i là tốc độ phân rã tự phát xuống các mức thấp hơn và Γ1 = 0 vì 1

là trạng thái cơ bản
Lij ρ =

1
(2.15)
(2σ ji ρσ ij − σ ijσ ji ρ − ρσ ijσ ji ),
2
j là toán tử mật độ nếu i = j và là toán tử lưỡng cực nếu i ≠ j .

với σ ij = i
Các số hạng phân rã viết dưới dạng ma trận:
 −Γ 21 ρ 22 − Γ 31 ρ33

Λρˆ = 

iω p t

( ρ11 − ρ 22 ) +

iΩc
ρ31eiωc t − γ 21 ρ 21 ,
2

iΩc iωct
e ρ 21 − γ 31 ρ31 ,
2
2
iΩ − iω t
iΩ
ρ&32 = i ρ32 (ω2 − ω3 ) − p e p ρ31 + c eiωct ( ρ 22 − ρ33 ) − γ 32 ρ32 .
2
2

ρ&31 = i ρ31 (ω1 − ω3 ) −

e

− iω p t

ρ32 +

Vì các phần tử ma trận biến thiên chậm nên chúng ta có thể đặt:
18

(2.17.1)

iΩ p
iΩ
%
%
%
ρ&
( ρ11 − ρ 22 ) + c ρ%
21 = i ρ 21∆ p +
31 − γ 21 ρ 21 ,
2
2
& = i ρ% (∆ − ∆ ) − iΩ p ρ% + iΩc ρ − γ ρ% ,
ρ%
31
31
p
c
32
21
31 31
2
2
iΩ p
iΩ c
%
%
ρ&
=
i
ρ


(0)
(0)
(0)
(0)
ρ11(0) = 1 , ρ22
= ρ33
= 0 và ρ31
= ρ 21
=0.

Từ các phương trình (2.19.1), (2.19.2), (2.19.3), ta có các phần tử ma
trận của độ liên kết giữa các mức:
(1)
0 = i ρ%
∆p +
21
(1)
0 = i ρ%
∆c −
32

0=−

iΩ p
2

iΩ p

2


(2.20.2)

( ρ 11(0) − ρ 22(0) ) +

ρ%(1) +
31

iΩc (1)
(1)
(1)
ρ 21 + i ρ%
( ∆ p − ∆ c ) − γ 31 ρ%
31 .
31
2

(2.20.3)

Áp dụng gần đúng trường yếu, cường độ trường dò (cỡ µW) được giả
thiết là rất bé so với trường điều khiển (có cỡ mW). Nghĩa là, biên độ của
trường dò Ep rất bé so với biên độ trường điều khiển Ec. Do đó, chúng ta có

19


thể bỏ qua các số hạng

iΩ p
2


ρ 21(1) =

( ρ 11(0) − ρ 22(0) )

γ 21 − i∆ p +

4
γ 31 − i (∆ p − ∆ c )

2

(1)
ρ%
[trong
32

(2.21)
(2.22)

iΩ p
2

=

Ω 2c

γ 21 − i∆ p

iΩ c (1)

− iω t
iω t
ε0E( χ e p + χ * e p ),
2
r
iω t
− iω t
mà
< d > = dij(ρij + ρji ) = dij( ρ ji e p + ρije p ).
1
iω t
− iω t
− iω t
iω t
Do đó: Nd 2 ij( ρ ji e p + ρije p ) = - ε0ħΩp( χ e p + χ * e p ).
2

Trong đó, giả sử :

P=

(2.25)
(2.26)
(2.27)

Cân bằng các hệ số của e −iω t ta được độ cảm của môi trường đối với chùm dò:
p

χ =2


mức [4]: vg = n + ω dn = n + ω dn = n ,
p
p
g
dω p

d∆p

1
χ': là chiết suất của môi trường và
2
dn
dn
ng = n + ω p d ω ≈ ω p d ω : là chiết suất nhóm.
p
p

(2.36)

trong đó n = 1 +

(2.37)

Trong cấu hình lambda ba mức, các biểu thức tường minh của chiết
suất nhóm và vận tốc nhóm có dạng:
Chiết suất nhóm:
•

22