Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Mục
1

Tên đề mục
Lý do chọn đề tài

Trang
2

2

Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3

Đối tượng nghiên cứu

3

4

Phạm vi nghiên cứu

3


Kết quả

24
PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Mục
1

Tên đề mục
Kết luận

Trang
24

2

Kiến nghị

24

PHẦN I

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong trường THCS, mơn tốn là mơn học cơ bản cung cấp những tri thức và kĩ năng
tốn học, những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động cần thiết để học tập các
mơn học khác. Vì vậy việc học tập mơn tốn là rất quan trọng, học phải liên tục khơng
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 1

- Góp phần nâng cao chất lượng bộ mơn tốn ở trường THCS, giúp học sinh lớp 6 giải
được các các dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật từ cơ bản đến nâng cao.
-Rèn cho học sinh kĩ năng giải tốn, khả năng dự đốn, tư duy sáng tạo, tính tự giác tích
cực.
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm về phương pháp tính tổng của dãy số viết theo
quy luật
- Bản thân rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm
Nhiệm vụ:
Những nhiệm vụ cụ thể của đề tài là:
- Liệt kê một số dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải
cho từng dạng, đề xuất bài tốn tổng qt thơng qua các ví dụ cụ thể đồng thời rèn cho học
sinh tìm tòi lời giải, xem xét bài tốn dưới dạng đặc thù riêng lẻ và lựa chọn phương pháp
giải hợp lý.
3. Đối tượng nghiên cứu:

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 2


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Phụ đạo và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 6A3, 6A4 trường THCS Lê Đình
Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk.
4. Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu về phương pháp giải một số dạng bài tập tính tổng của dãy số viết theo
quy luật .
- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao tốn 6.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí thuyết.

đối với cơng tác giáo dục, đảm bảo cơ sở vật chất tối thiểu cho dạy học hai ca. Xã

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 3


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Quảng Điền là xã văn hoá năm 2010 và hiện nay đang phấn đấu xây dựng xã nơng thơn
mới vào năm 2015
- Hội cha mẹ học sinh hoạt động tích cực , phối hợp tốt với nhà trường trong các hoạt
động, duy trì tương đối hiệu quả việc học tập của con em trong cộng đồng địa phương.
- Hội khuyến học hết sức nhiệt tình, quan tâm đến phong trào giáo dục xã nhà nói
chung và trường THCS Lê Đình Chinh nói riêng .
- Phòng giáo dục và lãnh đạo nhà trường thường xun quan tâm tới tất cả các hoạt
động chun mơn của trường.
- Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cơ
trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say cơng việc.
- Đa số các học sinh khá giỏi đều ham thích học bộ mơn tốn.
Khó khăn:
- Nhân dân xã Quảng Điền sống chủ yếu bằng nghề nơng đời sống kinh tế còn nhiều
khó khăn, tỉ lệ hộ nghèo còn khá cao, trình độ dân trí khơng đồng đều, thuộc lưu vực
sơng KrơngAna nên hằng năm xã Quảng Điền cũng chịu ảnh hưởng của lũ lụt. Do đó
một số bộ phận dân cư, hồn cảnh gia đình còn khó khăn, chưa thực sự quan tâm đến
việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng khơng nhỏ đến việc đầu tư thời gian, vật
chất, tinh thần cho con em học tập, nên ảnh hưởng phần nào đến kết quả học tập và rèn
luyện của một số học sinh và kết quả phấn đấu của nhà trường.
- Cơ sở vật chất còn chưa đảm bảo tốt cho việc dạy và học, nguồn đầu tư của địa
phương cho giáo dục hàng năm còn thấp.

toán này tương đới trừu tượng và phức tạp.
d. Ngun nhân:
Thực tế học sinh ở trường THCS Lê Đình Chinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng
kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa thành
thạo trong việc giải bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Ngun nhân chủ
́u của khó khăn trên là:
- Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của một số học sinh hạn chế.
- Học sinh khơng nhận ra được quy luật của dãy số.
- Học sinh chưa phân loại được các dạng bài tập và chưa xác định được phương pháp
giải cho từng dạng.
- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian để ơn
tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều.
- Học sinh chưa thật sự u thích và khơng hứng thú đối với việc học mơn Tốn nên
còn lười học ở nhà, trên lớp khơng chú ý nghe thầy cơ giảng bài.
e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Đề tài : “Kinh nghiệm giải các bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật” góp
phần nâng cao kiến thức, tư duy tốn học, khả năng phân tích, tính tốn cho học sinh,
đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng
dạy.
- Để giải được bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật đòi hỏi các em phải tìm ra
được quy luật của dãy số, nhận ra những dạng bài tâp cơ bản thường gặp và phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng. Các bài tập đưa ra trong đề tài này theo mức độ từ thấp
đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài tốn ở mức độ trung bình,
đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá.
- Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của mơn tốn 6 khơng có thời lượng
dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này. Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cần phải
lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ơn tập chương, các tiết ơn tập học kì 2, các tiết
phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, vai trò của người thầy trong việc tạo hứng thú
cho học sính đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xun đưa học sinh

đó.

Dạng 1: Tính tổng của các số tự nhiên cách đều.
Phương pháp giải:
Muốn tính tổng của các số tự nhiên cách đều, ta làm như sau:
- Tính số các số hạng của tổng theo cơng thức:
(Số lớn nhất – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + 1
- Tính tổng theo cơng thức: (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + ...+ 100
Giải:
Tổng A có: 100 − 1 + 1 = 100 (số hạng)
A=

( 1 + 100 ) .100 = 101.100 = 5050
2

2

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1 + 2 + 3 + ...+ n (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 1, ta có:
1 + 2 + 3 + ... + n =

n ( n + 1)
2

Ta có cơng thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n (Với n ∈ N* ) như sau:
n ( n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =

Giải:
Tổng C có: ( 49 − 1) : 2 + 1 = 25 (số hạng)
C=

( 1 + 49 ) .25 = 50.25 = 252 = 625
2

2

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1 + 3 + 5 + ...+(2n – 1) (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 3, ta có:
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) =

( 1 + 2n − 1) .n = n.n = n 2
2

Ta có cơng thức tính tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n - 1 (Với n ∈ N* ) như
sau:
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2 (Với n ∈ N* )
Ví dụ 4: Tính tổng D = 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 301
Giải:
Tổng D có: ( 301 − 4 ) : 3 + 1 = 100 (số hạng)
D=

( 4 + 301) .100 = 305.50 = 15250
2

Ví dụ 5: Tính tổng E = 98 + 93 + 88 + 83 + … + 13 + 8 +3
Giải:

k(k + 1)(k + 2) (k − 1)k(k + 1)
−
Vậy: k( k+1) =
(Với k ∈ N* )
3
3
⇒ k( k+1) =

Áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100
1.2.3 0.1.2
−
3
3
2.3.4 1.2.3
2.3 =
−
3
3
3.4.5 2.3.4
3.4 =
−
3
3

Ta có: 1.2 =

………………..
99.100 =

99.100.101 98.99.100

3
3

Ta có: 10.11 =

………………………….
98.99 =

98.99.100 97.98.99
−
3
3

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
B= −

9.10.11 98.99.100 98.99.100 9.10.11
+
=
–
= 98.33.100 – 3.10.11 = 323 070
3
3
3
3

Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n+1) (Với n ∈ N* )
Giải:
1.2.3 0.1.2
−


Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được: S = −
Ta có cơng thức:
1.2 + 2.3 + 3.4... + n ( n + 1) =

0.1.2 n(n + 1)(n + 2)
+
3
3

n(n + 1)(n + 2)
(Với n ∈ N* )
3

Ví dụ 3: Tính tổng C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200
Phương pháp giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Do đó, để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp số hạng với
nhau ta nhân cả hai vế với 6. Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (6 - 0) ở số hạng thứ
nhất, (8 - 2) ở số hạng thứ hai, (10 - 4) ở số hạng thứ ba, ..........,(202 - 196) ở số hạng
cuối cùng.
Giải:
6.C = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 + … + 196.198.6 + 198.200.6
6.C = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+ … +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196)
6.C = 2.4.6+4.6.8-2.4.6+6.8.10-4.6.8+…+196.198.200-194.196.198+198.200.20296.198.200
6.C = 198.200.202
⇒ C = 198.200.202 : 6 = 1 333 200
Bài tốn tổng qt:
Tính tổng S = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + (2n – 2).2n (Với n ∈ N, n > 1 )
Giải:


6.D = 3 + 97.99.101
D = (3 + 97.99.101) : 6 = 161 651
Bài tốn tổng qt:
Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n – 1).(2n + 1) (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 4, ta có:
6.S = 3 + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3) ⇒ S =

3 + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3 )
6

Ta có cơng thức:

3 + ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3 )
(Với n ∈ N* )
6
Ví dụ 5: Tính tổng E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
Phương pháp giải: Để tính tổng E ta khơng nhân nhân cả 2 vế với cùng một số thích hợp
mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết
cách tính hoặc dễ dàng tính được.
Giải:
E = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101
= 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1)
= 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99
= (1.2 + 2.3 +3.4 +...+ 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99)
1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + (2n - 1).(2n + 1) =

=

99.100.101

= 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + ... + 99.100 + 99.2
= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + 2(1 + 2 + 3 + ... + 99)
=

99.100.101
99.100
+ 2.
= 333300 + 9900 = 343200
3
2

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 10


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) (Với n ∈ N* )
Giải:
Với cách làm như ví dụ 6, ta có:
1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n+3) =

n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1) n(n + 1)(n + 5)
+ 2.
=
3
2
3

4
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k(k + 1)(k + 2)
−
Vậy: k( k+1)(k+2) =
(Với
4
4

⇒ k( k+1)(k+2) =

k ∈ N* )

Áp dụng: Tính tổng: G = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100
1.2.3.4 0.1.2.3
−
4
4
2.3.4.5 1.2.3.4
2.3.4 =
−
4
4
3.4.5.6 2.3.4.5
3.4.5 =
−
4
4

Ta có: 1.2.3 =



Ta có: 1.2.3 =

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 11


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
3.4.5 =

3.4.5.6 2.3.4.5
−
4
4

………………..
n(n + 1)(n + 2) =

n(n + 1)(n + 2) ( n + 3 )
4

−

(n − 1)n(n + 1)(n + 2)
4

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n+1)(n+2) =


3 + 32 + 33 + 34 +... + 3100 + 3101
3B – B = 3101 – 1
2B = 3101 – 1
B=
c) C = 1 + 7 + 7 2 + 7 3 +... + 7 2007
7C =

7 + 7 2 + 7 3 + ... + 7 2007 + 7 2008

7 C − C = 7 2008 −1
6C = 7 2008 −1

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 12


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

C=

7 2008 −1
6

Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + … + an (Với a ∈ N,a > 1, n ∈ N )
Giải: Với cách làm như ví dụ 1, ta có:
a.S – S = an+1 – 1
(a – 1)S = an+1 – 1
S=


2
3
6
6
6

Ta có cơng thức tính tổng các bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến n như sau:
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + 42 + ... + n 2 =
(Với n ∈ N* )
6
Ví dụ 3: Tính tổng 13 + 23 + 33 + … + 1003
Giải: 13 + 23 + 33 + … + 1003
= 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 +…+ 1003 – 100 + ( 1 + 2 + 3 + …+ 100 )
= 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + …+ 100( 1002 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + …+ 100 )
= (1.2.3 + 2.3.4 + …+ 99.100.101) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100 )
= 101989800 + 5050 = 101994850
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 13 + 23 + 33 + … + n3 (Với n ∈ N* )
Giải: Với cách làm như ví dụ 2, ta có:
13 + 23 + 33 + … + n3
Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 13


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

= 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 +…+ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + …+ n )
= 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + …+ n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n )
= 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + … + n )

3
3
3
3
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 
(Với n ∈ N* )

 2 
3
3
3
3
Ví dụ 4: Tính tổng 1 + 3 + 5 + … + 99
Phương pháp giải: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp. Muốn tính tổng trên
ta lập một tổng là tổng các lập phương của các số tự nhiên liên tiếp rồi trừ đi phần
cộng thêm.
Giải:
13 + 33 + 53 + … + 993 = (13 + 23 + 33+…+ 993) - (23 + 43 + 63+…+983)
= (13 + 23 + 33+…+ 993) - 23(13 + 23 + 33 +…+493)
2

2

 99.100 
3  49.50 
2
2
=
÷ −2 
÷ = 4950 − 8.1225 = 24502500 − 12005000 = 12497500

 ( 2n + 1) ( 2n + 1 + 1) 
 2 ( 2n + 1) ( n + 1) 
3  n ( n + 1) 
3  n ( n + 1) 
=
 −2 
 =
 −2 

2
2


 2  

 2 
2

2

2

2

n 2 ( n + 1)
2
2
= ( 2n + 1) ( n + 1) − 8.
= ( n + 1) ( 2n + 1) − 2n 2 



Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 14


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Ví dụ 1: Tính tổng
Giải:
Với k ∈ N* , ta có:

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
2014.2015

( k + 1) − k = k + 1 − k = 1 − 1
1
=
k(k + 1)
k(k + 1)
k(k + 1) k(k + 1) k k + 1

Thay k lần lượt bằng 1; 2; 3; …; 2004 ta có:

2014
+
+
+ ... +
−
= 1−
=
= 1 − + − + − + ... +
2 2 3 3 4
2014 2015
2015 2015
1.2 2.3 3.4
2014.2015
1
1
1
1
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) (Với n ∈ N* )

Giải:
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
n
+

5
5
5
5
+ +
+ + + + +
6 12 20 30 42 56 72 90

(Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krơng Ana năm học 2011 2012)
Nhận xét: Tổng trên là tổng của các phân số có tử là 5, mẫu là tích của 2 số tự nhiên
liên tiếp. Do đó, nếu ta đặt 5 làm thừa số chung thì biểu thức trong ngoặc sẽ có dạng
như ví dụ 1.
Giải:
5 5 5
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1 
1 1 1
+ +
+ + + + +
= 5 + +
+ +
+ + + ÷

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 15


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Ví dụ 3: Tính tổng
Giải:
Với k ∈ N* , ta có:

2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
2013.2015

( k + a) − k = k + a − k = 1 − 1
a
=
k(k + a)
k(k + a)
k(k + a) k(k + a) k k + a

Thay k lần lượt bằng 1; 2; 3; …; 2003 và a = 2 ta có:
2

−
=
=1 − + − + − + ... +
= 1−
1.3 3.5 5.7
2013.2015
3 3 5 5 7
2013 2015
2015 2015
2
2
2
2
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + n.(n + 2) (Với n ∈ N , n lẻ)

Giải:
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1
1
1
n +1
+
+
+ ... +
− + − + − + ... + −
1−

1.3 3.5 5.7
2009.2011

(Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krơng Ana năm học 2010 - 2011)
Giải:
1
1
1
1
1 2
2
2
2

+
+
+ ... +
= 
+
+
+ ... +
÷
1.3 3.5 5.7
2009.2011 2  1.3 3.5 5.7
2009.2011 
1 1 1 1 1 1
1
1  1
1  1 2010 1005
= 1 − + − + − + ... +

+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
2009.2011

S=

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 16


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
1 1 1 1 1
1
1
2S = 1 − + − + − + ... +
−
3 3 5 5 7
2009 2011
1
2S = 1 −
2011
2010
2S =
2011
1005
S=
2011

Ta có cơng thức :
1
1
1
1
1 n +1
+
+
+ ... +
= .
1.3 3.5 5.7
n.(n + 2) 2 n + 2
Ví dụ 5: Tính tổng

(Với n ∈ N,n lẻ )

5
5
5
5
+
+
+ ... +
11.16 16.21 21.26
61.66

(Trích đề kiểm tra nghiệm thu lớp 6 huyện Krơng Ana năm học 2012 - 2013)
Giải:

5

1
1
1
1
1
+ +
+
+ ... +
=
+
+
+ ... +
6 66 176 336
248496 1.6 6.11 11.16
496.501
1 5
5
5
5
1
1 
 1 1 1 1 1 1
+
+
+ ... +
−

÷ = 1 − + − + − + ... +
÷
5  1.6 6.11 11.16

1.6 6.11 11.16
(5n − 4)(5n + 1) 5  6 6 11
5n − 4 5n + 1 
1
1  1 5n
n
= 1 −
=
÷= .
5  5n + 1  5 5n + 1 5n + 1

Ta có cơng thức :

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 17


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
(Với n ∈ N* )


= ×
+
+
+ ... +
÷
3  1002.1005 1005.1008 1008.1011
2010.2013 
5  1
1
1
1
1
1
1
1 
= ×
−
+
−
+
−
+ ... +
−
÷
3  1002 1005 1005 1008 1008 1011
2010 2013 
5  1
1  5
1011

*
=
−
n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 ) n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 ) (Với n ∈ N )

………………………………………………………………………………
k
1
1
=
−
n, k ∈ N* )
n(n + 1)(n + 2)...(n + k) n(n + a)... ( n + k − 1) (n + 1)(n + 2)...(n + k − 1)(n + k) (Với

- Tiến hành rút gọn từng cặp số hạng đối nhau kể từ số hạng thứ hai đến số hạng kề cuối
rồi tính ra kết quả.
Các ví dụ:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1
1 2
1 1
1 

−
÷
3.4.5 2 3.4.5 2  3.4 4.5 

………………………..
1
1
2
1 1
1 
= .
= 
−
÷
37.38.39 2 37.38.39 2  37.38 38.39 

Giải:
1 1
1  1 1
1 
1 1
1 
1
1
1
1
−
+
+
+ ... +

2 38.39 2 38.39 2 741 741
1
1
1
1
Bài tốn tổng qt: Tính tổng 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) (Với n ∈ N* )

Giải:

1
1
1
1
1 1
1
+
+
+ ... +
= . −
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2) 2  2 (n + 1)(n + 2) 
n ( n + 3)
1  (n + 1)(n + 2) − 2  (n + 1)(n + 2) − 2 n 2 + 2n + n + 2 − 2
= .
=
=
=

2  2(n + 1)(n + 2) 
4(n + 1)(n + 2)

1 1
1 
= .
= 
−
Phương pháp tách:
÷
1.2.3.4 3 1.2.3.4 3  1.2.3 2.3.4 
1
1
3
1 1
1 
= .
= 
−
÷
2.3.4.5 3 2.3.4.5 3  2.3.4 3.4.5 
1
1
3
1 1
1 
= .
= 
−
÷
3.4.5.6 3 3.4.5.6 3  3.4.5 4.5.6 

Ví dụ 2: Tính tổng

= 
−
+
−
+ ... +
−
÷
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30 3  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5
27.28.29 28.29.30 
1 1
1
1353
451
 1 4059
= 
−
=
=
÷= .
3  1.2.3 28.29.30  3 24360 24360 8120

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 19


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.
1


÷=


1 1
1
−

3  1.2.3 ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 )


÷
÷


Ta có cơng thức :

1
1
1
1 1
1
+
+ ... +
= 
−
÷÷ (Với n ∈ N* )
1.2.3.4 2.3.4.5
n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 3  1.2.3 ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 
Ví dụ 3:
18

−
÷
11.12.13.14
11.12.13.14
 11.12.13 12.13.14 
18
3
1
1


= 6.
= 6. 
−
÷
12.13.14.15
12.13.14.15
 12.13.14 13.14.15 

Tính tổng

………………………..
18
3
1
1


= 6.
= 6. 

1
1
1
1
1
1
1


= 6. 
−
+
−
+
−
+ ... +
−
÷
96.97.98 97.98.99 
 10.11.12 11.12.13 11.12.13 12.13.14 12.13.14 13.14.15
1
1
97.49.3 − 20
14239


= 6. 
−
=
÷= 6 ×

÷
3  1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
96.97.98.99 
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
96.97.98.99
1
1
1
1
1
1
1
5  1

−
+
−
+
−
+ ... +
−
= ×
÷
96.97.98 97.98.99 
3  1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 20


(Với n, k ∈ N* )
n(n + k) n n + k
2k
1
1
=
−
n, k ∈ N* )
(Với
n(n + k)(n + 2k) n(n + k) (n + k)(n + 2k)
3k
1
1
=
−
n, k ∈ N* )
(Với
n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) n(n + k)(n + 2k) (n + k)(n + 2k)(n + 3k)
4k
1
1
=
−
(Với n, k ∈ N* )
n(n + k)(n + 2k)(n + 3k)(n + 4k) n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) (n + k)(n + 2k)(n + 3k)(n + 4k)

……………………………………………………………….
ak
1
1

=
−
5.7.9 5.7 7.9
4
1
1
=
−
7.9.11 7.9 9.11

Ví dụ 1: Tính tổng

…………………
4
1
1
=
−
23.25.27 23.25 25.27

Giải:
4
4
4
4
+
+
... +
3.5.7 5.7.9 7.9.11
21.23.25

=
3.5 25.27
675 675
36
36
36
36
+
+
+ ... +
Ví dụ 2: Tính tổng
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
36
4
1 
 1
= 9.
= 9. 
−
Phương pháp tách:
÷
1.3.5
1.3.5
 1.3 3.5 
36
4
1 
 1
= 9.

 25.27 27.29 

Giải:
36
36
36
36
+
+
+ ... +
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
4
4
4
 4

= 9. 
+
+
+ ... +
÷
25.27.29 
 1.3.5 3.5.7 5.7.9
1 
1 
260 260
 1
 1
= 9. 

7.10.13 7.10 10.13
6
1
1
=
−
10.13.16 10.13 13.16

…………………
6
1
1
=
−
25.28.31 25.28 28.31

Giải:
6
6
6
6
+
+
... +
4.7.10 7.10.13 10.13.16
25.28.31
1
1
1
1


Kinh nghiệm giải các bài toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật.

Để thực hiện giải pháp, biện pháp như đã nêu trên phải đảm bảo những điều kiện sau:
- u cầu học sinh phải nắm thật chắc các kiến thức có liên quan đến bài tốn tính
tổng của dãy số viết theo quy luật. Ghi nhớ được các dạng bài tốn và phương pháp giải
cho từng dạng.
- Học sinh biết nhận dạng được từng bài tốn cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải
hợp lí.
- Học sinh biết cách biến đổi từ một bài tốn chưa biết cách giải về bài tốn quen thuộc
đã biết cách giải.
- Học sinh biết trình bày bài giải một cách đầy đủ, chính xác và khoa học.
- Giáo viên cần phân loại học sinh để có phương pháp và bài tập cũng như u cầu phù
hợp.
- Thường xun kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi
của học sinh để có hướng điều chỉnh.
d. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Dạng tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật là dạng tốn khơng thể thiếu trong
chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học cơ sở . Các dạng tốn đưa ra trong
đề tài này có mối liên quan mật thiết với nhau, đề tài này khơng chỉ áp dụng cho học
sinh khối lớp 6 mà còn làm cơ sở để giải các bài tốn liên quan ở lớp trên. Trong q
trình áp dụng vào thực tiễn giảng dạy, vai trò của giáo viên trong việc tạo hứng thú học
tập cho học sinh đặc biệt quan trọng. Vì vậy mỗi giáo viên phải thường xun đưa học
sinh vào các tình huống có vấn đề các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng
tốn. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân
trọng thành quả đạt được của các em dù là rất nhỏ.
e. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
-Kết quả khảo nghiệm:
Đề tài này được thực hiện đối với lớp 6A3 và lớp 6A4 năm học 2013 - 2014. Mặc dù
hai lớp này có rất nhiều học sinh yếu nhưng sau khi áp dụng đề tài, các em đã có sự


12

SĨ SỐ

6A3

36

SL
4

6A4

34

3

35,3

YẾU

KÉM

SL
8

%
22,2


SL
12

%
33,3

TRUNG
BÌNH
SL
%
12 33,3

17,6

11

32,4

10

SĨ SỐ

6A3

36

SL
7

6A4


-Giá trị khoa học:
Bằng chút kinh nghiệm của bản thân và thực tiễn giảng dạy, tơi đã mạnh dạn đưa ra đề
tài “Kinh nghiệm giải các bài tốn tính tổng của dãy số viết theo quy luật” và đã đưa
vào áp dụng. Với kết quả đạt được như đã thống kê ở trên tuy chưa cao nhưng phần nào
cũng đã góp phần khơi dậy niềm say mê trong học tập của các em học sinh. Tơi hy vọng
rằng đề tài này sẽ được góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao được chất lượng đại trà
trong dạy học bợ mơn toán trong ngành giáo dục nói chung và trường THCS Lê Đình
Chinh nói riêng.
4. KẾT QUẢ
- Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy việc hướng dẫn phương pháp giải
tốn theo từng dạng sẽ giúp cho học sinh hình thành kỹ năng tự giải tốn tốt hơn, học
sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức một cách có hệ thống và hình thành được khả năng tư
duy logic, nâng cao năng lực tự học cho bản thân. Cụ thể, khi dạy học về bài tốn tính
tổng của dãy số viết theo quy luật, tơi đã hướng dẫn cho học sinh cách tìm ra quy luật
của dãy số, nhận dạng bài tập, tìm ra phương pháp giải và ghi nhớ cơng thức tổng qt
cho từng dạng. Kết quả đã cho thấy học sinh đã tiếp thu bài tốt hơn và có thể tự làm
được các bài tập tương tự và một số bài tập đòi hỏi sự tư duy sáng tạo.
PHẦN III

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Khi nghiên cứu đề tài: “Kinh nghiệm giải các bài tốn tính tổng của dãy số viết theo
quy luật” tơi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh dễ hiểu và hứng
thú trong q trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác sâu bài tốn, biết tự đặt
ra các bài tốn mới, tránh được những sai lầm mà mình hay mắc phải.
Trên đây là những kinh nghiệm nhỏ khi giảng dạy bộ mơn tốn, tuy bước đầu chưa
đem lại kết quả mĩ mãn như mong đợi nhưng tơi nhận thấy tính ham học và lòng say mê
học tốn của các em được nâng cao rõ rệt. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn rằng
tơi chưa thể đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, rất mong các đồng chí đồng nghiệp

Nguyễn Văn Dũng – TrườngTHCS Lê Đình Chinh

Trang 25