Kinh nghim gii cỏc bi toỏn v hai s nguyờn t cựng nhau v phõn s ti gin.
A. Đặt vấn đề
Các bài toán về phân số tối giản và hai số nguyên tố cùng nhau có 1 vị trí đặc sắc
trong toán học nói chung và trong đời sống nói riêng. Đây là 1 trong những toán khó,
hay và thực sự thu hút nhiều ngời tham gia giải. Bài toán này giúp chúng ta giải đợc
nhều dạng toán có liên quan đến nó. Nhờ đó ta đã có nhiều kĩ năng biến đổi bài toán
và góp phần làm cho kho tàng toán học thêm phong phú và đa dạng.
Trong toán học ngời ta thờng sử dụng bài toán về 2 số nguyên tố cùng nhau và
phân số tối giản để:
- Chứng minh phân số tối giản với mọi tham số tự nhiên n.
- Chứng minh 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi tham số tự nhiên n.
- Tìm tham số tự nhiên n để phân số tối giản.
- Tìm tham số tự nhiên n để 2 số nguyên tố cùng nhau.
- ứng dụng giải 1 số bài toán liên quan .
Qua đó chúng ta thấy ứng dụng của nó rất to lớn. Tuy vậy mỗi bài toán có 1 cách
giải riêng đòi hỏi ngời học phải có kiến thức và kĩ năng giải các bài toán về phân số
tối giản và 2 số nguyên tố cùng nhau. Điều đó góp phần khắc sâu đợc kiến thức và rèn
luyện tính sáng tạo, phát triển t duy,kĩ năng cho học sinh.
Trong thực tế, sau khi học xong khái niệm số nguyên tố, phân số ở chơng trình số
học 6, học sinh chúng ta thờng gặp các dạng toán: Cho các cặp số, các phân số đều
chứa tham số tự nhiên n, ta chứng minh hoặc tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên
tố cùng nhau; để phân số là phân số tối giản mà đa số học đều gặp khó khăn, thấy rất
mới mẽ, khó hiểu và bở ngỡ khi giải nó.Vì vậy cần giúp học tháo gỡ đợc khó khăn
này đồng thời có thêm điều kiện phát triển t duy, rèn luyện kĩ năng giải các bài toán lí
thú và hóc búa.
Thực sự, đối với học sinh nói chung và học sinh lớp 6 nói riêng đa số đều bị
động, cha có kĩ năng giải bài toán loại này. Do đó tôi chọn đề tài: Kinh nghiệm giải
các bài toán về hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản để nghiên cứu.
B. Nội dung
I. Định nghĩa hai số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản:
- Định nghĩa hai số nguyên tố cùng nhau: Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có


d => 2

d => d


{ }
2;1
Ta có d

2 vì d là ớc của số lẻ. Vậy d = 1. Do đó: 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên
tố cùng nhau.
c. Gọi d

ƯC (2n + 1, 3n + 1) => 3(2n + 1) - 2(3n + 1)

d => 1

d => d = 1.
Do đó: 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
* Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố
cùng nhau:
a. 7n + 10 và 5n + 7
b. 2n + 3 và 4n + 8
Lời giải
a. Gọi d

ƯC (7n + 10, 5n + 7) thì 5(7n + 10) - 7(5n +7)

d => 1

+
n
n
Lời giải
a. Gọi d

ƯC (n + 1, 2n + 3). Ta có: 2n + 3 - 2(n + 1)

d => 1

d => d =

1.
Do đó: phân số
32
1
+
+
n
n
là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.
b. Gọi d

ƯC (3n + 2, 5n + 3). Ta có: 5(3n + 2) - 3(5n + 3) = 1

d => d =

1.
Do đó: phân số
35

3 vì 3n + 4
không chia hết cho 3. Muốn d

2 phải có ít nhất một trong hai số 9n + 24 và 3n + 4
không chia hết cho 2. Ta thấy:
9n + 24 là số lẻ

9n lẻ

n lẻ
3n + 4 là số lẻ

3n lẻ

n lẻ.
Vậy (9n + 24, 3n + 4) = 1 khi n lẻ.
* Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau:
a. 4n + 3 và 2n +3
b. 7n + 13 và 2n + 4
c. 18n + 3 vàg 21n + 7.
Lời giải
a. Giả sử 4n + 3 và 2n + 3 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì :
2(2n + 3) - (4n + 3)

d => 3

d => d = 3.
Để (2n + 3, 4n + 3) = 1 thì d

3.Ta có :


3.
Vì 21n + 7 không chia hết cho 3.
Để (18n + 3, 21n + 7) = 1 thì d

7 tức là 18n + 3 không chia hết cho 7 (ta luôn có
21n + 7 chia hết cho 7) nếu 18n + 3 - 21 không chia hết cho 7

18(n - 1) không chia
hết cho 7

n - 1 không chia hết cho 7

n

7k + 1(k

N).
Kết luận:với n

7k + 1(k

N) thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng
nhau.
4. Dạng 4: Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản.
Cũng giống nh mối quan hệ giữa dạng 1 và dạng 2 ta có dạng 3 và dạng 4 cũng
hoàn toàn tơng tự. Từ hai ví dụ ở dạng 3, nếu gọi hai số nguyên tố cùng nhau là tử và
mẫu của phân số thì hãy chng minh phân số tối giản ta mở rộng các bài toán ở dạng
4 nh sau:
* Ví dụ 1: Tìm các số tự nhiên n để phân số


3k + 2 (k

N
*
)
Ta cũng có:d

5 khi n - 2 không chia hết cho 5 (khi đó n + 13 không chia hết cho 5)
=> n

5k + 2 (k

N
*
).
Kết luận:Với n

3k + 2 và n

5k + 2 (k

N
*
) thì phân số
2
13

+
n

+
n
n
là phân số tối giản thì phân số
2
15
n
là phân số tối giản.
Muốn vậy 15 và n - 2 phải là hai số nguyên tố cùng nhau.Vì 15 có hai ớc khác 1, khác
15 là 3 và 5. Từ đó suy ra n 2 không chia hết cho 3 và không chia hết cho 5 tức là n

3k + 2 và n

5k + 2 (k

N
*
).
Các bài toán có thể giải nhiều cách khác nhau, tuy nhiên ta nên sử dụng cách 1 để
học sinh có một cách giải quen thuộc và khắc sâu kiến thức hơn.
*Ví dụ 2: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản.
a.
14
32
+
+
n
n
b.
17

Kết luận: Với mọi số tự nhiên n có tận cùng khác 1 và khác 6 thì phân số
14
32
+
+
n
n
là
phân số tôi giản.
b. Gọi d là ớc nguyên tố của 3n + 2 và 7n + 1. Ta tìm đợc d = 11 => d


{ }
11;1

Ta thấy: 3n + 2

11 (khi đó 7n + 1

11) nếu 3n + 2 - 11

11

3(n - 3)

11

n - 3

11


31k + 12(k

N) thì phân số đã cho tối giản.
5. Dạng 5: Một số bài toán mở rộng:
Sáng kiến kinh nghiêm
4
Kinh nghim gii cỏc bi toỏn v hai s nguyờn t cựng nhau v phõn s ti gin.
Từ phơng pháp giải các dạng toán trên, ta có thể áp dụng để giải các bài toán tơng
tự sau:
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số
46
321
+
+
n
n
rút gọn đợc.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số
34
1938
+
+
n
n
là phân số tối giản.
C.Thực nghiệm.
Đối với học sinh bậc THCS đặc biệt là học sinh lớp 6 các em băt đầu làm quen với
các bài toán về 2 số nguyên tố cùng nhau và phân số tối giản và các bài toán liên quan
thì thờng gặp rất nhiều khó khăn,không biết bắt đầu giải từ đâu.Đa số mới làm đợc