TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-TOÁN ỨNG DỤNG

ĐỒ ÁN TOÁN

 ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Giảng viên hướng dẫn Ths LÊ TRUNG NGHĨA
Sinh viên thực hiện:
LÊ ĐỨC HÙNG 081343T
ĐẶNG QUỐC THÁI 081350T
ĐẶNG THỊ TUYẾT VÂN 081355T
ĐỖ THANH TƠ 083163T
BÙI THỊ TUYẾT NGA 083154T
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
2

MỤC LỤC

Phần 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUÁT VỀ PHẦN MỀM MAPLE 5
Phần 2 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 14
CHƢƠNG 1: SỐ PHỨC 14
1.1 VÌ SAO PHẢI CÓ SỐ PHỨC: 14
1.2 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 14
1.3 DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: 16
1.4 CĂN CỦA SỐ PHỨC: 19
1.5 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOAN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC: 20
CHƢƠNG 2: MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 28
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU: 28
2.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN: 28
2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP – HẠNG CỦA MA TRẬN: 31
2.4 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH: 33
2.5 PHƢƠNG TRÌNH MA TRẬN: 34
2.6 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 34
2.7 PHƢƠNG PHÁP GAUSS GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 36
2.8 ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ MA TRẬN: 36
CHƢƠNG 3: ĐỊNH THỨC 48
3.1 HOÁN VỊ 48
3.2 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN. 48
3.3 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 53
3.4 QUY TẮC CRAMER 54
3.5. ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN 56

LỜI NÓI ĐẦU
Tiến sĩ Thân Nhân Trung - vị quan dƣới thời vua Lê Thánh Tông đã từng nói: “Hiền tài là nguyên khí
của quốc gia,nguyên khí thịnh thì thế nƣớc mạnh mà hƣng thịnh,nguyên khí suy thì thế nƣớc yếu mà
thấp hèn. Vì thế các bậc đế vƣơng thánh minh không đời nào không coi việc giáo dục nhân tài, kén
chọn kẻ sĩ, vun trồng nguyên khí quốc gia làm công việc cần thiết”. Câu nói này luôn đúng với mọi
thời đại và ngay cả ngày nay trong thời đại của tri thức thì câu nói trên càng chứng minh đƣợc tính
đúng đắn một cách toàn diện của nó. Và mới hơn cả, Thứ Trƣởng Bộ Giáo Dục và Đào Tạo Nguyễn
Vinh Hiển đã từng nói: “Đổi mới phƣơng pháp dạy học phù hợp với mục tiêu, nội dung dạy học là yếu
tố có thể coi là xƣơng sống của đổi mới giáo dục phổ thông”. Vì vậy, từ hai câu nói trên đã cho ta thấy
rõ tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nƣớc Việt Nam và việc đổi mới phƣơng pháp dạy học đang
trở thành một bài toán khó hay một vấn đề nan giải đối với nhà quản lý giáo dục. Làm sao để thu hút
ngƣời học tham gia vào bài nhiều hơn trƣớc đây để tránh tái diễn một hình ảnh không đẹp vốn dĩ có từ
lâu đời thầy đọc trò chép? Nếu ta để hình ảnh này còn xuất hiện nhiều tức là ta đang đi vào vết xe đổ
của quá khứ.Vậy đổi mới giáo dục nhƣ thế nào?
Môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng. Bởi, nó là môn học nền tảng giúp ta nhận thức mọi môn
học khác nhƣ Vật lý, Hóa học, Sinh học hay áp dụng trong các vấn đề bài toán kinh tế hay kỹ
thuật…Nhƣng nó lại đƣợc đánh giá là môn học khó ở hai nghĩa đó là khó cả về ngƣời dạy và khó cả về
ngƣời học. Câu hỏi đặt ra là: Làm sao để học môn Toán vừa thuận lợi vừa hiệu quả hơn?
Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong mọi nội dung, mọi lĩnh vực nhƣ vật lý,
Hóa học hay áp dụng vào bài toán kinh tế…Với khả năng tính toán, minh họa trực quan, Maple là một
công cụ rất tốt giúp cho ngƣời học và ngƣời dạy thuận lợi hơn trong quá trình tìm hiểu nó ở các lĩnh
vực khác nhau. Nhƣng cũng chính vì sự đa dạng của phần mềm này nên trong khuôn khổ có hạn của
bài báo cáo, nhóm chỉ tập trung khai thác Maple ở lĩnh vực quan trọng nhất của nó đó là: Toán học.
Đặc biệt, nhóm xin khai thác tập trung ở mảng Đại số tuyến tính với những phạm trù không gian vectơ
và ánh xạ tuyến tính vì nó có mặt trong mọi ngõ ngách của Toán học và Khoa học ứng dụng… Vì vậy,
nhóm quyết định chọn đề tài báo cáo của nhóm là: “ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH”.
Với sự hƣớng dẫn tận tình của Thầy Lê Trung Nghĩa, nhóm em đã hoàn thành bài báo cáo đồ án toán
này. Dù đã cố gắng hết sức nhƣng do năng lực còn hạn chế nên nhóm không thể không tránh khỏi
những khiếm khuyết và thiếu sót. Kính mong Thầy thông cảm và đóng góp ý kiến cho nhóm để báo

1.1 Các cửa sổ giao diện Maple 13
Maple 13 cung cấp hai loại giao diện:
 Classic Worksheet
 Standard Worksheet Hình 1 . Giao diện classic
6
Hình 2 . Giao diện Standard
1.2. Quy tắc gõ lệnh
- Các lệnh của Maple đƣợc gõ sau dấu nhắc lệnh > , kết thúc lệnh bằng dấu chấm phẩy (;) nếu muốn
Maple hiển thị kết quả của việc tính toán, hoặc dấu hai chấm(:) nếu chỉ yêu cầu Maple tính toán mà
không hiển thị kết quả. Các bạn dùng phím Enter để yêu cầu Maple bắt đầu thực hiện tính toán. - Để viết các lời giải thích câu lệnh bạn có thể viết chúng sau dấu thăng (#).

- Để xuống dòng trên cùng một dấu nhắc lệnh các bạn dùng tổ hợp phím Shift-Enter.

7

- Để gán giá trị cho biến ta dùng dấu hai chấm bằng (:=) .

- Có thể gọi lại kết quả vừa thực hiện bằng lệnh % (%% lấy kết quả trƣớc kết quả vừa thực hiện ).

- Các lệnh của Maple có thể chỉnh sửa, copy,…
1.3. Các thành phần cơ sở của Maple

e
x
ln(x)
Log
e
(x)
log10(x)
Log
10
(x) max(x
1
,x
2
,
…)
Tính giá trị lớn
nhất của
x
1
,x
2
,…
min(x
1
,x
2
,…)

> 2011+2012;
4023

> 30*11*2011;
663630

2.1 Tính toán trên số nguyên
Các hàm thông dụng :
Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
factorial(n)
Tính n giai thừa
isqrt(n)
Căn bậc hai
nguyên của
n
iroot(x,n)
Căn bậc n
nguyên của x
ifactor(n)

Phân tích n thành
tích các thừa số
nguyên tố
irem(m,n)
Số dƣ khi

,
x
2
,
m mod n
Số dƣ khi chia
m cho n
Phép tóan
Kí hiệu
Phép tóan
Kí hiệu
Phép tóan
Kí hiệu
Cộng
+
Nhân
*
Giai thừa
!
Trừ
-
Chia
/
Mũ
^
9

isprime(n)
n có là số nguyên
tố không?Trả về

> igcd(24,18);
6

> a:=123:b:=32:
>irem(a,b);
>iquo(a,b);
27

2.2 Tính toán trên biểu thức

Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
Hàm
Ý nghĩa
expand(bt)
Khai triển
biểu thức bt
simplify(bt)
Đơn giản biểu
thức
factor(bt)
Phân tích đa
thức thành nhân
tử

nomal(pt)

Tối giản phân


> expand(bt1);
  2 x
2
x 2 y x y

> collect(bt1,x);
 2 x
2
( )2 y 1 x y

10

> bt2:=(x+y)^3 - (x^2 + 2*y^2)*(x+3*y);
:= bt ( )x y
3
( )x
2
2 y
2
( )x 3 y

> simplify(bt2);
x y
2
5 y
3

> subs(x=3,y=5,bt);
40

60 x
2

> diff(f(x),x$3);
d
d
3
x
3
( )f x

> diff(f(x,y),x);


x
( )f ,x y

> diff(f(x,y),y);


y
( )f ,x y

> diff(f(x,y),[x,y]);
 

2
y x
( )f ,x y


 
4
1
2
 ( )ln 2

2.4 Tính toán trên ma trận
2.4.1 Khai báo ma trận : Có 2 cách
Cách 1 : A:=matrix(m,n, [ dãy phần tử]) ;// dãy phần tử cách nhau bởi dấu phẩy (,).
> A:=matrix(2,2,[sin(x),cos(x),sin(2*x),cos(2*x)]);
:= A








( )sin x ( )cos x
( )sin 2 x ( )cos 2 x

Cách 2 : A:=array( [ [Dòng 1], [Dòng 2], ,[Dòng n] ] );
> A:=array([[1,2,3],[4,5,6]]);
:= A











1 2 x x
4 2 x 1 x

- Tạo ma trận đơn vị cấp n : IdentityMatrix ( n );
> IdentityMatrix(4);






















- Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A: inverse(A) ;
> inverse(A);


















 1 x
 1 3 x
x
 1 3 x
2
 1 3 x

1
 1 3 x

1.1 Vì sao phải có số phức
Đối với trƣờng số ta có rất nhiều trƣờng số nhƣ: N(tập hợp các số tự nhiên), Z( tập hợp các số
nguyên), Q( trƣờng số hữu tỷ), R(trƣờng số thực). Theo những kết quả mà các nhà toán học đã có đƣợc
trƣờng số thực là một trong những trƣờng số lớn nhất và có thể giải đƣợc nhiều bài toán khác nhau.
Nhƣng sau đó họ đã nhận thấy có nhiều bài toán không thể giải đƣợc trên trƣờng số thực, kết luận vô
nghiệm điển hình là các phƣơng trình bậc 2.Chúng ta cũng biết không phải phƣơng trình bậc 2 nào
cũng có nghiệm trong R.
Ví dụ
+1=0 (1)
Phƣơng trình trên hoàn toàn không có nghiệm thực. Điều này đồng nghĩa nếu ta giải phƣơng trình trên
trƣờng số thực ta sẽ kết luận nó vô nghiệm. Bài toán đặt ra là phải mở rộng trƣờng số thực bằng cách
xây dựng một trƣờng số mới lớn hơn trƣờng số thực để phƣơng trình (1) có nghiệm. Tập hợp số đó ta
gọi tên là trƣờng số phức ký hiệu là C. Khi đi sâu vào trƣờng số phức ta sẽ nhận thấy tất cả các phƣơng
trình có bậc lớn hơn bằng 1 đều có nghiệm chứ không riêng gì phƣơng trình (1).
Ta đặt :
C={(a,b)/a,b thuộc R}
Với một cặp (a,b) ta có một số phức. Trên trƣờng số phức ta vẫn có thể định nghĩa hai phép toán cơ bản
cho số phức là phép cộng và phép nhân :

(a,b) + (c,d)= (a+c,b+d)
(a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
1.2 Dạng đại số của số phức
Đặt f: R-> C định bởi f(a)= (a,0). Ta có f đơn ánh. Ngoài ra, ta có phép cộng và nhân trong f(R)
trùng với phép cộng và nhân trong R
f(a) + f(b)= (a,0)+(b,0) =(a+b,0) = f(a+b)
f(a) . f(b) = (a,0).(b,0)= (ab,0) = f(ab)
Do đó, ta có thể đồng nhất số thực a với số phức (a,0). Điều này chứng tỏ rằng trƣờng số thực R là một
tập con của trƣờng số phức C. Ta chọn một số phức (0,1) và đặt tên nó là i. Ta có theo định nghĩa phép
nhân trên trƣờng số phức:
= i.i = (0,1).(0,1) =(0.0-1.1,0.1-1.0) =(-1,0)

z-z’=-2-5i
z.z’= 9 +23i
=
Tính chất 3: Những hằng đẳng thức thực cũng đúng trong số phức.
Ví dụ: z= = 4+12i -9=-5+12i.
Định lý 1.2.2 Cho số phức z=a+ib ta gọi số phức liên hợp là z’=a-ib.Với mọi số phức z và z’ ta có:
i) z’=0=a-ib=0 => a=b=0 =>z=a+ib=0;
ii) z’’=z;
iii) Re(z)=(z+z’)/2 và Im(z)=(z-z’)/2i;
Chứng minh: Ta có: (z+z’)/2=( a+ib +a-ib)/2=a=Re(z).
(z-z’)/2i= (a+ib –a +ib)/2i= 2ib/2i=b=Im(z).
Nhận xét:
1) z=z’  a+ib=a-ib  ib=0  Im(z)=0 , nghĩa là z thuộc R.
2) z=-z’  a+ib= -(a-ib)  a+ib=-a+ib  a=0  Re(z)=0 nghĩa là: z=ib với b thuộc R. Trong
trƣờng hợp này ta gọi z là số thuần ảo.
Định nghĩa 1.2.3 Cho số phức z= a+ib. Ta gọi môđun hay giá trị tuyệt đối của z ký hiệu |z| =
là một số thực không âm.

16

Ví dụ: Với số phức z= 5-2i. Ta có:
|z|= = .
Định lý 1.2.4 Cho các số phức z và z’ ta có:
i) |z|=0

z=0;
ii) =z. ;
iii) |Re(z) | ≤ |z| và |Im(z)| ≤ |z|
iv) |z. (
v) |z +

|z|(cos .
Ta suy ra:

Và do đó
Ví dụ
Cho số phức 1 +i = 2( ) = 2(cos )
Lƣu ý: Mọi số phức đều đƣợc viết dƣới dạng lƣợng giác nhƣng có những trƣờng hợp để xác định
argument của z không dễ dàng.
Định lý 1.3.2 Cho các số phức z, z .Khi đó:
i) arg(z
ii) arg(z/
Chứng minh
Với i) ta viết dƣới dạng lƣợng giác:
z=r(cos
Khi đó:
z.

Do đó:

18

Với ii) Với ta có:

Do đó:
arg(1/
Từ đây theo i) ta có:
arg ( )
Hệ quả 1.3.3
Cho các số phức z, dƣới dạng lƣợng giác:
z=r(cos

Định nghĩa 1.4.1
Căn bậc n>0 của số phức u là số phức z thỏa .
Định lý 1.4.2
Mọi số phức u đều có đúng n căn bậc n được định bởi:

Chứng minh. Ta viết u dƣới dạng lƣợng giác

Với z =

Với 0 .
Do đó ứng với k n căn bậc n khác nhau của u. Bây giờ ta cho k tùy ý thuộc Z dùng
thuật chia Euclide trong Z ta viết k dƣới dạng:

Khi đó:

Điều này chứng tỏ căn bậc n có đƣợc ứng với k trùng với căn bậc n ứng với r. Từ đó kết luận u có đúng
n căn bậc n ứng với k .
Ví dụ Tìm căn bậc 5 của 1.
Ta viết 1 dƣới dạng lƣợng giác:
1=cos0+isin0.
Theo công thức trên ta có căn bậc 5 của 1 là:

Đó là các số phức:

. 20

Nhận xét

- Để tạo số phức a +bi ta nhập lệnh:
complex(a,b).
- Để tạo số phức bi ta nhập lệnh:
complex(b).
21

1.5.2 Các phép toán trên số phức
Các phép toán cộng , trừ, nhân, chia hay lũy thừa tƣơng ứng là các ký hiệu +, -,*, /. Nhƣng thông
thƣờng kết quả thu đƣợc khi ta thực hiện những phép toán trên các số phức không phải là dạng đại số
do đó ta sử dụng hàm sau để cho kết quả dạng đại số nhƣ mong muốn:
evalc(…)
- Để xác định phần thực của z ta nhập lệnh:
re(z);
- Để xác định phần ảo của z ta nhập lệnh:
im(z);
- Để xác định modun của z ta nhập lệnh:
abs(z);
- Để xác định argument của z ta nhập lệnh:
argument(z);
- Để xác định số phức liên hợp của z ta nhập lệnh:
conjugate(z);
- Để đơn giản biểu thức ta nhập lệnh:
simplify(expr) với expr là biểu thức.
1.5.3 Căn của số phức, giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình
- Để xác định căn bậc n của số phức ta nhập lệnh:
solve(x^n=z,x)
- Để giải phƣơng trình hay hệ phƣơng trình hoặc hệ bất phƣơng trình eqns với các biến vars. Nếu có
nhiều phƣơng trình hoặc bất phƣơng trình thì eqns là {eqn1,eqn2,…}; nếu nhiều biến thì vars là
{var1,var2…} với dòng lệnh sau đây:
solve(eqns,vars)


> z2:=evalc(z2); // Đƣa z2 về dạng đại số.

> simplify(abs(z2));// Mô đun của z2.

> simplify(argument(z2));// Argument của z2.

Vậy số phức z2 đƣợc viết dƣới dạng lƣợng giác là:
Z2 = 1 * (cos0 +isin0) = 1.

Nhập vào Maple ta có:

> z1:=(sqrt(3)-I);

> z1:=evalc(z1);

> simplify(abs(z1)); > simplify(argument(z1));

Vậy số phức z1 đƣợc viết dƣới dạng lƣợng giác là:
Z1 = 2. (cos +isin ).
Bài 1.4

Ta có: |z| = r = .
với cos và sin .
Vậy ta có .

23

> argument(z2); Vậy theo công thức Moivre : Vậy .

24

Bài 1.6

Nhập vào Maple và giải:
> solve(z^4 = I,z);

Vậy căn bậc 4 của I là:

> solve(z^3= 2-2*I,z);

Vậy căn bậc 3 của 2- 2i là: Bài 1.7

Nhập vào Maple ta có:
> z:=x+i*y;


2 
7