luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng
MỤC LỤC

1. Lí do chọn đề tài

Ngày nay, với sự tiến bộ của khoa học - kỹ thuật , thì việc sử dụng
công nghệ thông tin vào dạy học là điều tất yếu và rất cần thiết. Có rất
nhiều công cụ để hổ trợ cho việc giảng dạy, và Mathcad là một trong số đó.
Trong khuôn khổ đề tài này, em xin trình bày việc : “Áp dụng Mathcad để
giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ”.
Mathcad là một phần mềm tính toán mạnh và có giao diện rất thân
thiện với word, nó dễ sử dụng và tính toán khá nhanh. Nó có thể giải các
Page 1


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

bài toán về phương trình, hệ phương trình, tính toán các đạo hàm và tích
phân một cách nhanh nhất. Bên cạnh đó, nó cũng cung cấp cho ta một công
cụ vẽ đồ thị một cách nhanh chóng và chính xác nhất. Chính vì vậy nó rất
thích hợp cho việc giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, hàm số là
một chủ đề không dễ dạy và nó được xem là then chốt trong chương trình
toán học giải tích 12, vẽ và khảo sát hàm số luôn được xem là một vấn đề
quan trọng và là một phần không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp và đại
học.
Nhằm tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thể giải dễ dàng và
nhanh chóng các bài toán khảo sát hàm số,em đã nghiên cứu đề tài này, đề

mới rút ra những kinh nghiệm và cải tiến phù hợp cho lớp sau.
•
Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu, tìm hiểu
những kết quả thảo luận với các thầy cô giáo và tìm hiểu thêm
trên internet, qua sách vở.
4. Nội dung đề tài:

Page 2


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN
1.1 Khảo sát hàm số

Để thực hiện một bài toán khảo sát hàm số, ta cần phải lần lượt
thực hiện qua các bước. Đầu tiên ta phải đi tìm tập xác định của
hàm số.
1.1.1 Tập xác định
Định nghĩa: tập xác định của hàm số y= f(x) là tập hợp tất cả các
số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
Page 3


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng


(a,b) nếu với mọi số thực x1 và x2 thuộc (a,b) ta có:
x1>x2 ⇒ f(x1)>f(x2)
Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) là xét xem hàm
số đó đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này.
Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng bảng gọi là
bảng biến thiên của hàm số.

Hàm số đồng biến trên (a;b)

Hàm số nghịch biến trên (a;b)
1.1.2.2 Tính đơn điệu của hàm số

Page 4


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Định lý. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) và đẳng thức chỉ xãy ra tại một điểm
trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng đó.
Ví dụ. Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số
y=x2-5x+4.
Giải.hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R.
5
Đạo hàm y’=2x-5 =2(x- 2 ) cũng xác định trên R.
5
 y ’> 0 khi x > 2
5

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

a) Khoảng (x0- δ ; x0+ δ ) kí hiệu là V( δ ), trong đó δ >0 được gọi là một lân cận

của điểm x0.
b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y=f(x) nếu với mọi x thuộc lân
cận V( δ ) ⊂ (a;b) của điểm x0, ta có:

f(x) < f(x0) (x ≠ x0)
lúc đó ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x0;
• f(x0) được gọi là giá trị cực đại và kí hiệu fCĐ=f(x0)
• điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y=f(x) nếu với mọi x thuộc
lân cận V( δ ) ⊂ (a;b) của điểm x0, ta có
f(x) > f(x0) (x ≠ x0)
lúc đó ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0;
• f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu và kí hiệu fCT=f(x0)
• điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số.
Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị .
Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm
số đã cho.
Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Giả thiết hàm số y =f(x) lien tục trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b).

1.1.3.2

Định lý Fecma (pierre de Fermat 1601-1665).Nếu hàm số y=f(x) có
đạo hàm tại x0 và đat cực trị tại điểm đó thì f’(x0)=0.
1.1.3.3 Điều kiện đủ ( dấu hiệu ) để hàm số có cực trị


Giải.hàm số xác định với mọi x ≠ 0,x ∈ R.
4 4.x 2 - 4 4.( x 2 − 1)
2
2
2
Đạo hàm của hàm số là: y’=4- x = x = x

y’ cũng xác định với mọi x ≠ 0 x ∈ R.Dấu của y’ là dấu của x2-1
chiều biến thiên được cho trong bảng biến thiên sau:

từ bảng biếm thiên ta thấy x=-1 là điểm cực đại và x=1 là điểm cực
tiểu của hàm số đã cho.
Dấu hiệu 2.
Định lý 2: giả sử hàm số y =f (x) có đạo hàm lien tục tới cấp 2 tại x 0 và
f’(x0)=0,f’’(x0) ≠ 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số. Khi đó,
• Nếu f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
• Nếu f’’(x0) 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
• Nếu f’(x0) =0,f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
1.1.3.3.2

Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số.
Page 7


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

trọng đó là xét tính lồi lõm của hàm số.
1.1.4 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
1.1.4.1
Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
Xét đồ thị ABC của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới đây: Ta
giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho điều có tiếp tuyến.
Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn ở phía trên của cung AC.
Ta nói cung AC là một cung lồi. Nếu a là hoành độ của A, c là hoành độ của
C, thì khoảng (a;c) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị.
Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn ở phía dưới của cung CB. Ta
nói cung CB là một cung lõm. Nếu c là hoành độ của C, b là hoành độ của
B, thì khoảng (c;b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị.

Page 8


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn.
Chẳng hạn, điểm C của đồ thị trong hình trên là một điểm uốn.
Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
(a;b).
• Nếu f’’(x0) < 0 với mọi x ∈ (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên
khoảng đó.
•Nếu f’’(x0) > 0 với mọi x ∈ (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên
khoảng đó.


b)giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực ,cho đường thẳng d.
kí hiệu MH là khoảng cách từ M(x,y) ∈ ( C) đến đường thẳng d.
d được gọi là đường tiệm cận hay tiệm cận của ( C) nếu MH dần đến 0
khi M dần đến ∞ trên (C).
Nói cách khác, d là tiệm cận của ( C) ⇔ lim MH =0
M→ ∞
1.1.5.2 Cách xác định tiệm cận
1.1.5.2.1 Tiệm cận đứng

Định lý. Nếu
thì đường thẳng d có phương trình x = x 0 là một tiệm cận của đồ thị
(C).
3.x − 4
Ví dụ. Cho hàm số : y = x + 5.x − 6
2

Ta có:
Cho nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng là x=1 và x=6.
1.1.5.2.2

Tiệm cận ngang
Page 10


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Định lý .Nếu lim (fx)=y0 thì đường thẳng d có phương trình y =y 0 là
một tiệm cận ngang của đồ thị (C)

Các phép tính toán trong Mathcad
Mathcad có rất nhiều các công thức toán học, nhưng trong
khuôn khổ đề tài này, em chỉ xin giới thiệu một vài công thức toán
học được Mathcad sử dụng trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số.
1.2.2.1
Giải phương trình và bất phương trình
a.
Cách giải
• Các dấu “ =, <, >, lần lượt được thực hiện từ bàn
phìm bằng các cách bấm sau : Ctrl-=, <, >, Ctrl-9,
Ctrl-0.
• nhấp biểu tượng

trong Math Palette, chọn Solve,
gõ biến, ấn Enter được kết quả.
Hoặc
Page 11


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

• Chọn biến
• Menu Symbolics / Variable / Solve.
b.

Ví dụ
giải phương trình x2+4x-5=0

• Điền biểu thức, biến, trị vào.
• Ấn Ctrl-.,Enter hoặc Menu Symbolics / Evaluate /
Symbolically.
Ví dụ
Tìm giới hạn bên phải của hàm số y = tại x = 2
x 1
1
lim
4
x 2+ x 2

b.

+

1.2.2.3
Đạo hàm
 Đạo hàm cấp 1
a. Cách giải

Cách 1:
•
•
•

Đưa biểu thức cần tính đạo hàm
chọn biến
Menu Symbolics / Evaluate /Diferentiate.

Cách 2:

5

4

Đạo hàm cấp n
Cách giải


a.

•
•
b.

Nhấp biểu tượng
, chọn
, hoặc gõ CtrlShift-?.
Điền vào các lổ trống, ấn Ctrl-., Enter.

Ví dụ
d2 . 2
3x
2
dx

4x

5

6


GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Có thể vẽ đồ thị theo phương trình bất kỳ dựa theo phương trình khác,
để chúng có thể dùng chung giá trị độc lập. Ngoài ra còn thể hiện được
nhiều đường biểu diễn trên cùng một đồ thị.
Hiệu chỉnh đồ thị
Để hiệu chỉnh đồ thị ta có thể làm các cách sau:
• Từ thanh công cụ chọn Format/Graph/X-Y Plot
• Nhấp đúp vào điều thị muốn hiệu chỉnh
Xuất hiện hộp thoại Formating currently selected X-Y Plot (hình
trên)
b.

Hình 2.
Sau khi đã suất hiện hộp thoại trên:
• Trong hộp thoại Axes Style ta chọn Crossed để có hệ trục tọa độ vuông
góc thong thường ,nếu chọn None thì
•Nếu chọn equal Scales thì đơn vị 2 trục tọa độ sẽ bằng nhau.
•Ở X-Axis ( hoặc Y-Axis)
 Nếu chọn Gride line: được lưới tọa độ
 Không chọn Auto grid để sửa lại số trong ô Number of
Grids- đó là số đoạn chia trên trục,chẳng hạn nếu ta chọn
sửa số 5 nghĩa là trong khoảng 0..10 có 5 đoạn chia.
•Nhấp Apply-OK
c. Đưa các tiêu đề vào đồ thị
• Chọn đồ thị: nhấp vào đồ thị
• Menu Format / Graph / X-Y Plot
Page 14



GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng
Trỏ chuột vào đường biểu diễn hoặc rê chuột thì
trong hộp sẽ thấy tọa độ tương ứng với vị trí dấu
+ ở khung X-value,Y-value.
• Muốn lấy tọa độ đưa vào mành hình của Mathcad
: chon X-copy (Y-copy) để copy vào clipboard
rồi dán vào màn hình x(y).
•

Chương 2: VẬN DỤNG MATHCAD ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.

khảo sát một số bài toán:
ví dụ 1: khảo sát hàm số y= -x3+3x+2
ta có thể áp dụng Mathcad để giải bài toán này như sau:
khao sat ham sô:

3

y ( x)

x

3 .x

2

TXD : D=R


d2
y ( x)
2
dx

h( 1) = 6

6 .x
h( 1) = 6

y( 1) = 4

y( 1) = 0

Vi h(-1) = 6 > 0 nen ham so dat cuc tieu tai x = -1 và co gia tri cuc tieu
bang 4.
h(1) = -6 < 0 nên hàm sô dat cuc dai tai x= 1 va co gia tri cuc dai
bang 0.
Cac gioi han vô cuc:
lim

y ( x)
∞

x
lim
x

y ( x)

Ví dụ 2: khảo sát hàm số y=x3+4x2+4x
khao sat ham sô:

x3

y ( x)

2

4 .x

4 .x

TXD : D=R
Su bien thien:
s ( x)

d
y ( x)
dx

s ( x) 0 solve , x

2

3 .x

8 .x

4


2
2
factor ,
3
3

6 .x

8

h( 2) = 4
32
27

y( 2) = 0

Vi h(-2/3) = 6 > 0 nen ham so dat cuc tieu tai x = -2/3 và co gia tri cuc
tieu bang -32/27.
h(-2) = -4 < 0 nên hàm sô dat cuc dai tai x= -2 va co gia tri cuc dai
bang 0.
Cac gioi han vô cuc:
lim

y ( x)
∞

x
lim
x

x
Truc Ox

Ví dụ 3. khảo sát hàm số y = -x4+8x2-1
4
2
khao sat ham sô:
y ( x)
x
8 .x

1

TXD :: D=R
D=R
TXD
Su bien thien:

s ( x)

d
y ( x)
dx

3

4 .x

16 .x


nên ham
ham sô nghich biên.
Cuc tri:
h ( x)

d2
y ( x)
2
dx

h ( 0 ) = 16
y( 0) = 1

2

12 . x

16

h ( 2 ) = 32
y ( 2 ) = 15

h ( 2 ) = 32
y ( 2 ) = 15

Page 20


luận văn tốt nghiệp



y( x)
5

0
20
x
Truc Ox

Ví dụ 4. khảo sát hàm số y=

Page 21

5


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

khao sát hàm sô :

x 2
x 1

y ( x)

ta có : x 1 0 solve , x
TXD D = R\ {-1}
khao sat su bien thiên

Cuc tri
hàm sô da cho khong co cuc tri
Tiem cân
lim
y ( x)
∞
x
1
lim

1+

∞

y ( x)

x
Do do duong thang x = -1 là tiem cân dung
lim

y ( x)

1

y ( x)

1

∞


4
x, 1

Ví dụ 5: khảo sát hàm số y = x4 + x2 khao sát hàm sô :

y ( x)

ta có :
TXD D = R
khao sat su bien thiên
s ( x)

d
y ( x)
dx

s ( x) factor , x

1. 4
x
2

3

2 .x

2

1 .x



GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Cuc tri
h ( x)

d

2

d x2

y ( x)

2

6 .x

2

h( 0) = 2

3
= 1.5
2
vay : vi h(0) = 2 > 0 nen ham so dat cuc tieu tai x = 0 va gia tri cuc tieu
y = -3/2
ham so khong co cuc dai
y ( 0 ) factor , x


x
truc Ox

Ví dụ 6: khảo sát hàm số y = -2x3+5
khao sat ham sô:

y ( x)

3

2 .x

5

TXD :: D=R
D=R
TXD
Su bien thien:

s ( x)

d
y ( x)
dx

2

6 .x
0