Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
Phương trình PT
Bất phương trình BPT
Hệ phương trình HPT
Hệ bất phương trình HBPT
Học sinh giỏi HSG
Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Như chúng ta biết, trong các đề thi đại học và đề thi HSG cấp tỉnh những
năm gần đây bao giờ cũng có ít nhất một bài toán chứa tham số. Nó có thể rơi
vào phần câu hỏi phụ trong bài khảo sát hàm số, cũng có khi là trong một bài
toán hình học, nhưng thông thường nhất vẫn là trong các bài toán về PT, HPT,
BPT, HBPT. Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không
thể giải được bằng phương pháp đại số thông thường, kinh điển hoặc có thể giải
được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp.
Bên cạnh đó, đạo hàm là một nội dung quan trọng của chương trình toán
THPT. Nó vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công cụ hữu hiệu để giải
quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT. Trong đó có việc ứng dụng đạo
hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số.
Về vấn đề này, cũng đã có rất nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm
(SKKN). Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống về những ứng dụng của
đạo hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số không nhiều
và học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng trong việc nhận diện, giải quyết
dạng toán.
Do đó việc chọn lựa một đề tài SKKN nhằm góp phần giải quyết vấn đề
trên là việc làm phù hợp với thực tiễn, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của
người cán bộ giáo viên. Chính vì vậy tôi chọn đề tài SKKN là: “Ứng dụng đạo
hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi
đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi”.

động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối
tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương
pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách
nhiệm học tập cho học sinh.
Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn
luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây
dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự
giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm
vụ đã được đề ra.
2. Kiến thức vận dụng:
a) Định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo
hàm của các hàm số thường gặp, công thức tính đạo hàm của hàm hợp.
b) Để giải các PT, HPT, BPT, HBPT có chứa tham số bằng phương pháp
đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững các mệnh đề (MĐ) sau:
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
2
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Cho hàm số
( )y f x=
liên tục trên tập
D
MĐ1: Số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) bằng số giao điểm của hai
đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x).
MĐ2: Phương trình
( )f x m=
có nghiệm
( ) ( )
min max

x D f x m
∈
∈ ⇔ ≥
MĐ6: BPT
( )f x m≥
, nghiệm đúng với mọi
( )
min
x D
x D f x m
∈
∈ ⇔ ≥
MĐ7: Cho hàm số
( )y f x=
đơn điệu trên tập
D
Khi đó
( ) ( )
f u f v u v= ⇔ =
(với mọi
,u v D∈
)
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:
Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy ứng dụng của đạo
hàm trong giải các bài toán cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là trong giải các
PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số. Nhưng học sinh thường không mạnh dạn,
tự tin sử dụng công cụ rất mạnh này (hay nói cách khác là chưa có kỹ năng sử
dụng) trong giải toán vì:
- Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện
đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11. Trong khi đó từ

( ) ( )
f x g m≤
. Hay còn gọi là cô lập m).
Bước 2: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
f x
Bước 3: Tính
( )
'f x
Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
Bước 5: Xác định
( )
min
x D
f x
∈
và
( )
max
x D
f x
∈
Từ đó vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở phần kiến thức bên trên
rút ra kết luận cho bài toán.
Lưu ý: Trường hợp các PT, BPT chứa các biểu thức phức tạp, ta có thể
xem xét đặt ẩn phụ để đơn giản chúng. Nếu được ta làm như sau:

( ) ( )
f t h m≤
).
+ Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
trên tập K.
+ Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán.
2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + − + + − =

Lời giải:
điều kiện
81
≤≤−
x
.
Đặt f(x)=
1 8 (1 )(8 )x x x x+ + − + + −
, với
81 ≤≤− x

'
1 1 7 2 8 1 7 2
( )
2 1 2 8 2 1 8 2 1 8 2 1 8
1 1
(7 2 )

Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
4
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
x
-1
7
2
8
f’(x) + 0 -
f(x)

9
3 2
2
+
3 3
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x)
và đường thẳng y=m. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có
nghiệm thì
[ ]
[ ]
)(max)(min
8;1
8;1
xfmxf
−
−
≤≤
⇔

2
11 7
4 1
2
x
x x
 
+ + +
 ÷
 
ta có
'
2
2 2
11 28
1
2
4 28
y
x
x x
= − −
+

'
2
2 2
11 28
0 ( ) 1
2

15
2
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và
đường thẳng y=m. Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương
phân biệt
⇔
( )
∞+
>
;0
min ym

⇔
m>
15
2
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
5
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Nhận xét:
Cũng giống như Ví dụ 1, bài toán trên có điểm dễ là biến m đã được cô
lập từ đầu. Tuy nhiên nó lại gây khó khăn cho học sinh không chỉ ở công đoạn
tính đạo hàm mà còn cả trong việc giải phương trình y
’
=0 và xét dấu của đạo
hàm. Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng vững
vàng mới giải được. Ngoài cách dùng đạo hàm ta cũng có thể tiếp cận bài toán
trên theo cách khác như sau :
2

2 2
7 7 7 7
3 3.1 7 9 7 1 16 1
x x x x
 
     
+ = + ≤ + + = +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 

2
2
7 1 7
4 1 3
2x x
   
⇒ + ≥ +
 ÷  ÷
   
Dấu = xảy ra khi
3 7
3
1
x
x
x
= ⇔ =
Từ

Nhận xét:
Cách giải này giúp học sinh không phải tính đạo hàm và xét dấu của đạo
hàm nhưng lại gặp khó khăn trong việc lựa chọn điểm rơi trong bất đẳng thức
Cô- si và Bunhiacopxki – một kỹ năng cần rèn luyện rất nhiều mới có thể có
được . Mặt khác cách giải này không mang tính thuật toán như dùng đạo hàm.
Vì thế rất khó khăn để vận dụng cho một lớp bài toán về PT, HPT, BPT, HBPT
chứa tham số.
Ví dụ 3: (Câu IV.2 khối A năm 2008)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm
thực phân biệt:

4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =

Lời giải: Điều kiện
0 6x≤ ≤
Đặt
( )
[ ]
4 4
2 2 2 6 2 6 ; 0;6f x x x x x x= + + − + − ∈
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
6
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
3 3

u x v x
x x
x x
= − = − ∈
−
−
, x
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
, 0, 0,2
2 2 0
, 0, 2,6
u x v x x
u v
u x v x x
 > ∀ ∈

⇒ = =


< ∀ ∈


( )
( )
( ) 0, 0,2
( ) 0, 2,6


236 +4
2 6 2 6+4
12 2 3+

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là:
4
2 6 2 6 3 2 6m+ ≤ < +
.
Nhận xét:
Trong ba ví dụ trên, chúng ta thấy một điểm chung là trong các PT, biến
m đã được cô lập cho nên bước 1 (trong phương pháp giải) không phải làm.
Nhưng trên thực tế có rất nhiều PT mà biến m chưa được cô lập. Khi đó ta phải
thực hiện bước 1 một cách khéo léo để cô lập biến m (có nhiều mức độ) thì mới
có thể tiến hành các bước tiếp theo được. Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 4: (Câu II.2 khối B năm 2006)
Tìm
m
để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt:
( )
2
2 2 1 1x mx x+ + = +
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với

7
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Xét hàm số
( )
2
3 4 1 1
3
x x
f x x x
x x
+ +
= = + −
trên
( )
1
;0 0;
2
 
− ∪ +∞
÷

 
, ta có
( )
2
1
' 3 0f x
x
= + >

Điều kiện:
2x ≥
.
Biến đổi phương trình ta có:
(1)
( ) ( ) ( )
2 6 2x x m x⇔ − + = −
( ) ( ) ( )
2 2
2 6 2x x m x⇔ − + = −
( )
( )
( )
3 2 3 2
2 6 32 0 2 V g x 6 32x x x m x x x m⇔ − + − − = ⇔ = = + − =
.
Yêu cầu bài toán
( )
g x m⇔ =
có đúng một nghiệm thuộc khoảng
( )
2;+∞
.
Thật vậy ta có:
( ) ( )
3 4 0, 2g x x x x
′
= + > ∀ >
. Do đó
( )

được tương đối phức tạp (Việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm tương đối khó
khăn). Khi đó để có thể giải quyết bài toán theo hướng dùng đạo hàm một cách
đơn giản ngắn gọn hơn, ta cần xem xét đặt ẩn phụ một cách thích hợp để
chuyển sang xét hàm số khác đơn giản hơn với biến vừa đặt. Ta xét ví dụ sau:
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
8
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Ví dụ 6: (Câu II.2 khối A năm 2007)
Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm thực:
4 2
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
Lời giải: Điều kiện:
1x ≥
.
Phương trình đã cho
( )
4
1 1
3 2 1
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ − + =
+ +
.

1
' 6 2; ' 0
3
f t t f t t= − + = ⇔ =
.
Ta có bảng biến thiên:
t
0
3
1
1
f’(t) + 0 -
f(t)

3
1
0 -1
Do đó phương trình đã cho có nghiệm thực (thõa mãn
1x ≥
) khi và chỉ
khi phương trình (2) có nghiệm
[
)
0;1t ∈
1
1
3
m⇔ − < ≤
Nhận xét :
- Trong ví dụ này sau khi biến đổi đến phương trình (1) ta có thể làm như các ví

x
x
+
>
−
, tuy nhiên lúc đó điều kịên của ẩn phu sẽ thay đổi theo

1 2
1 1 [1; )
1 1
x
t
x x
+
= + > ⇒ ∈ +∞
− +
Từ đó ta lại được một hàm số mới với tập xác
định tương ứng .
- Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện chuẩn
cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số .Ta xét bài toán
sau:
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
2
9 9x x x x m+ − = − + +
(1)
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
9
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Lời giải:

9
t’ + 0 -
t

9
2
0 0
Do đó
9
0
2
t≤ ≤
. Khi đó phương trình (2) trở thành
2
9 2t t m+ = +
2
2 9t t m⇔ − + + =
(3)
Xét hàm số
2
( ) 2 9f t t t= − + +
, với
9
0
2
t≤ ≤
.
( ) ( )
' 2 2; ' 0 1.f t t f t t= − + = ⇔ =
Lập bảng biến thiên hàm

0;
2
t
 
∈
 
 
. Điều này
xảy ra khi và chỉ khi
)(max)(min
2
9
;0
2
9
;0
tfmtf












≤≤

;
= − − ≤ ⇒ ≤ = = ±
2 4
2 2 1 2 2; 2 1t x t t khi x
Suy ra tập giá trị của t là
 
 
0; 2
(t liên tục trên đoạn [-1;1]).
Phương trình đã cho trở thành:
− + +
+ = − + + ⇔ =
+
2
2
2
( 2) 2 (*)
2
t t
m t t t m
t
Xét
− + +
= ≤ ≤
+
2
2
( ) ;0 2.
2
t t

( 2)
t t
f t t f t
t
nghịch biến trên đoạn
 
 
0; 2 .
   
   
= = − = =
0; 2 0; 2
Suy ra : min ( ) ( 2) 2 1; max ( ) (0) 1f t f f t f
Vậy giá trị cần tìm là:
− ≤ ≤2 1 1.m
Nhận xét :
Trong bài này ta đã linh hoạt trong việc đánh giá, nhận xét để tìm ra tập giá
trị của biến t. Cách làm này trong một số tình huống nên được phát huy vì nó có
thể nhanh gọn hơn việc dùng đạo hàm khảo sát hàm số. Tuy nhiên cũng giống
như nhận xét trong ví dụ 2, cách làm này không phải lúc nào cũng thực hiện
được. Vì vậy cách dùng đạo hàm vẫn là tổng quát nhất.
Ta xét thêm một số phương trình siêu việt khác:
Ví dụ 9: Cho phương trình
( )
2 2
2 1 2
2
log log 3 log 3x x m x+ − = −
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm

Đặt
( )
2
log , 5t x t= ≥
. PT(2) trở thành
( )
2
2 2 2
1
2 3 3
3
t
t t m t m
t
+
− − = − ⇔ =
−
(3)
Xét hàm số
( )
1
3
t
f t
t
+
=
−
(với
5t ≥

32;x∈ +∞
khi và chỉ khi PT (3) có nghiệm
5t ≥
điều này xảy ra khi
2
1 3m< ≤
. Kết hợp với
0m ≥
, ta được
1 3m< ≤
■
Ví dụ 10: Tìm m để PT:
( ) ( )
3 tan 1 sin 2cos sin 3cos (1)x x x m x x+ + = +
có nghiệm duy nhất thuộc khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
Lời giải:
Xét
0;
2
x
π
 
∈
 ÷

. PT (2) trở thành
2
3 1.
3
t
t m
t
+
⇔ + =
+
(3)
Xét hàm số
( )
2
3 1.
3
t
f t t
t
+
= +
+
, (với
0t >
).
( )
( )
2
3 2 3 1
' . 0; 0

Ứng với mỗi t > 0 thỏa mãn phương trình (3) ta được đúng một nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
của phương trình (1). Do đó phương trình (1) có duy nhất nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
khi và chỉ khi phương trình (3) có duy nhất nghiệm t > 0.
Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là:
2m >
. ■
Đối với các bài toán về Hệ PT chứa tham số thì bước đầu ta phải vận dụng
các phương pháp cơ bản để giải Hệ PT (như phương pháp: Biến đổi tương
đương; Thế; Đặt ẩn phụ; dùng hàm số; đánh giá…). Rồi sau đó cũng quy về
các bài toán PT có chứa tham số như trên. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 11: (
Câu V- khối D năm 2011)
Tìm
m


Đặt
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y= − ≥ − = −
. Hệ phương trình đã cho trở thành
( ) ( )
2
2 1 0 1
1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u
=
+ − + =

⇔
 
+ = −
= − −


Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thoả mãn
1
4
u ≥ −

; ta có:
( )
( )
( )
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0
2
2 1
u u
f u f u u
u
+ − − +
= − = ⇔ =
+
Bảng biến thiên
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
13
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.

Suy ra giá trị cần tìm là:
2 3
2
m
−
≤

Ví dụ 12:

+ − − − + =


Điều kiện xác định:
2 x 2
0 y 4
− ≤ ≤


≤ ≤

Ta có
( ) ( )
3
3
(1) x 12x y 2 12 y 2⇔ − = − − −
Xét hàm số
[ ]
3
f (t) t 12t, t 2;2= − ∈ −
( )
( )
2 2
f '(t) 3t 12 3 t 4 0, t 2;2
⇒ = − = − < ∀ ∈ −
Suy ra hàm số
f (t)
nghịch biến trên
[ ]
2;2−

 
g'(x) 0 x 0= ⇔ =
.
g(0) 6; g( 2) g(2) 16= − = = −
.
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
14
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
x [ 2;2]
x [ 2;2]
min g(x) 16; max g(x) 6
∈ −
∈ −
= − =
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
16 m 6− ≤ ≤
.
Đối với các bài toán về Bất PT chứa tham số thì phương pháp cơ bản
cũng tương tự như các bài toán về PT chứa tham số như trên. Tuy nhiên ta
cần bám sát và vận dụng các mệnh đề: MĐ3, MĐ4, MĐ5, MĐ6 trong phần
kiến thức vận dụng. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 13:
Tìm m để bất phương trình
3 1mx x m− − ≤ +
(1) có nghiệm.
Lời giải:
Đặt
3; [0; )t x t= − ∈ +∞

với t≥0 có
2
2 2
2 2
'
( 2)
t t
y
t
− − +
=
+
t

1 3− −
0
1 3− +
+
∞
y’
- 0 + | + 0 -
y

3 1
4
+

Từ bảng biến thiên ta có m ≤
3 1
4

- 2x = 24 - t
2
Bất phương trình trở thành: t + 24 - t
2

≥
m ; t
[ ]
5;0∈
Xét hàm số f(t) = -t
2
+ t + 24 trên đoạn
[ ]
5;0
Ta có bảng biến thiên sau:
t
0
2
1
5
f’(t) + 0 -
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
15
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
f(t)

4
97
24 4

0
222
22
'
2
=
+−
−
=
xx
x
t
⇔
1
=
x
ta có bảng biến thiên
x
0 1
1 3+

't

−
0
+
t
2
2
1

f t t
t
−
= ≤ ≤
+
( )
( )
[ ]
2
2
2 2
' 0, 1;2
1
t t
f t t
t
+ +
= > ∀ ∈
+
. Suy ra hàm số
( )
f t
đồng biến trên
[ ]
1;2
.
Bảng biến thiên
t 1 2
( )
'f t

1;2
2
max 2
3
t
m f t f
∈
≤ = =
. ■
Nhận xét:
- Để học sinh có thể hiểu và vận dụng tốt các mệnh đề: MĐ3, MĐ4, MĐ5,
MĐ6. Ngoài việc chứng minh bằng lập luận thì ta cần minh họa bằng đồ thị để
học sinh hiểu rõ bản chất các mệnh đề trên thực chất là dựa vào sự tương giao
của hai đồ thị.
- Cũng giống như các ví dụ về PT chứa tham số. Trong phần BPT
chứa tham số thì hướng giải chủ đạo cũng là tìm cách đặt ẩn phụ để đơn
giản hóa bài toán, sau đó dùng đạo hàm. Tuy nhiên trong một số trường hợp
thì vẫn rất cần sự linh hoạt trong cách giải.
Ví dụ 16
: (HSG – Nghệ An năm học 2010 – 2011)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:
(m 2)x m x 1+ − ≥ +
có nghiệm thuộc đoạn
[-2;2]
.
Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với
12)2(
2
++≥−+ xxmxm

2
−
+
≥⇔
x
x
m
(2)
Xét hàm số
( )
1
1
2
−
+
=
x
x
xf
, với
[
) (
]
2;11;2 ∪−∈x
Có
( )
2
2
'
)1(


3
5
−
-
∞
5
Từ bảng biến thiên suy ra:
Bpt (*) có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
⇔− 2:2
hoặc bpt (1) có nghiệm thuộc
[
)
1;2−
hoặc
bpt (2) có nghiệm thuộc
(
]
2;1




≥
−≤
⇔
5
222
m

Lời giải:
Hệ bất phương trình
( )
2
2
7 6 0 (1)
2 1 3 0 (2)
x x
x m x m

− + ≤


− + − + ≥


( )
1 1 6x⇔ ≤ ≤
. Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
[ ]
0
1;6x ∈
thỏa mãn (2).
( ) ( )
( )
[ ]
2
2
2 3
2 2 3 2 1 ( 1;6 2 1 0)

2 4
2 2 8
'
2 1 2 1
x x
x x
f x
x x
+ −
+ −
= =
+ +
;
( )
2
1 17
' 0 4 0
2
f x x x x
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
Vì
[ ]
1;6x ∈
nên chỉ nhận
1 17
2
x
− +
=

Ví dụ 18
: (HSG – Thanh Hóa năm học 2012 – 2013)
Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực






≤−−
≤+−
++
)2(042.34
)1(02
1
3
xxxx
mxx
Lời giải: điều kiện:
0x
≥
Bất phương trình (2)
x 2 x x 2 x
(2 ) 3.2 .2 4.2 0
⇔ − − ≤
( ) ( )
x x x x x x
2 2 . 2 4.2 0 2 4.2 0
⇔ + − ≤ ⇔ − ≤


( )
2
2
m x g x
x
⇔ ≥ + =
có nghiệm
(
]
0;4x ∈

(
]
0;4
min ( )m g x⇔ ≥
.
Xét
x
xxg
2
)(
2
+=
với
(
]
0;4x ∈
. Có
2
2

4 5 4x x m x x− + = + −
.
BT3: Tìm a để phương trình
2
3 1
2 1
2 1
x
x ax
x
−
= − +
−
có nghiệm duy nhất.
BT4: Cho phương trình:
( )
2 2
3 3
log log 1 2 1 0 1x x m+ + − − =
(
m
là tham
số).Tìm
m
để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 
.

3 2
1 ( 1) (1 ) 1x m x m x+ ≥ + + − +
.
BT8: Tìm m để mọi
[ ]
0;2x∈
đều thỏa mãn bất phương trình
( )
2 2
2 4
log 2 4 log 2 5x x m x x m− + + + − + ≤
.
BT9: Tìm giá trị lớn nhất của a để bất phương trình
( )
( )
2
3 3
4
2
1 sin
2
1
a x
a x a
x
π
− + ≤
−
có ít nhất một nghiệm.
BT10: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình.



≥−−−
≤−−
0153
043
23
2
mmxxx
xx
IV. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên, hầu hết các em học sinh
khối 12 trong các lớp tôi dạy đã tỏ ra mạnh dạn, tự tin và linh hoạt hơn rất nhiều
trong việc dùng đạo hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham
số. Kết quả thực tế là trong hai lần ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi của trường
Lê Lai các năm 2009-2010 và 2012-2013 thì tất cả các em đi thi đều làm được
trọn vẹn
Ví dụ 14 và Ví dụ 18. Ngoài ra những em học sinh khá, giỏi khác
cũng nhanh chóng nắm bắt được phương pháp và vận dụng thành thạo cho
các ví dụ tương tự trong các đề thi ĐH và đề thi HSG khác.
Mặt khác rất nhiều học sinh tỏ ra rất hứng thú với ứng dụng này của
đạo hàm. Bởi vì phương pháp này không chỉ nhanh gọn, hiệu quả mà nó còn
có tính tổng hợp rất cao, đó là dùng đạo hàm để tìm cực trị, dùng đạo hàm
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, khảo sát và lập bảng biến
thiên của hàm số, và đó cũng là những bài toán hết sức quen thuộc và cơ
bản về ứng dụng của đạo hàm trong phân môn Giải tích 12.
Phần III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Tác giả cho rằng, việc khai thác tốt các kiến thức về đạo hàm để giải các
bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số là một yêu cầu quan trọng cả về
kiến thức lẫn kĩ năng đối với các học sinh ôn thi đại học và các học sinh trong

[1]. Huỳnh Công Thái, Phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán
luyện thi đại học tập 1, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh.
[2]. Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề hàm số tập 1, NXB Tri thức.
[3]. Các bài toán chọn lọc 45 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, NXB Giáo dục
việt nam. (ấn phẩm của Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ).
[4]. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.
[5]. Đề thi và đáp án thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán các khối A, B, D từ
năm 2002 đến năm 2012 do Bộ Giáo dục và Đào tạo.
[6]. Đề thi và đáp án thi học sinh giỏi các tỉnh môn Toán từ năm 2002 đến năm
2013 đưa lên các diễn đàn Toán học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
21
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Danh mục chữ viết tắt 1
Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1
I. Lí do chọn đề tài 1
II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 2
III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2
IV. Phương pháp nghiên cứu 2
Phần II: NỘI DUNG 2
I. Cơ sở lý luận 3