Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số
CHỨA THAM SỐ

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến
tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng
túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một
số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định
tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm
đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp
giải các dạng toán đó.Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình
f(x)=g(m) có nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị
của hai hàm số và cắt nhau. Do đó để giải bài toán
này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt
đồ thị hàm số .
Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và ,
thì phương trình : có nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Giải:
1)Xét hàm số có tập xác định là
D=R.
Ta có:
thay vào (1) ta

Khi đó phương trình
(Vì )
Xét hàm số với .
Ta có: .
Do .
Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4]
Suy ra phương trình có nghiệm

Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương
trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết
phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được
tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này
qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm
của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất
phương trình này
Ta có: .
Hệ có nghiệm có nghiệm .
với
có .
Vậy hệ có nghiệm .

Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Giải:
Ta có: .
* Nếu vô nghiệm.
* Nếu đúng

.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm
phân biệt
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : có ba
nghiệm phân biệt.
Giải:
Phương trình (do
)
Xét hàm số