Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán chứa tham số
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay
gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng
túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta
thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm
đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số
và cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số
.
Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và , thì
phương trình : có nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Giải:
1)Xét hàm số có tập xác định là D=R.
Ta có:
thay vào (1) ta thấy không thỏa
mãn. Vậy phương trình vô nghiệm không đổi dấu trên R, mà
đồng biến.
Mặt khác: và .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm .

2) ĐK:
Xét hàm số với
Ta có: .

Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có: .
Hệ có nghiệm có nghiệm .
với
có .
Vậy hệ có nghiệm .

Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Giải:
Ta có: .
* Nếu vô nghiệm.
* Nếu đúng
có nghiệm
Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm
Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có:
.
Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm .

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước
Ta có: . Thay vào (1) ta được:
(3).
Hệ có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số f(y) với
đồng biến trên các khoảng và
Suy ra hệ có nghiệm .
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số

Giải:
Ta có : (do x=0 không là nghiệm phương
trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: (a) .
Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Xét hàm số với .
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt
.
Vậy là những giá trị cần tìm.Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn
phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt , ta tìm được và phương trình (1) trở thành
(2). Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm .
* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền
xác định của t chính là miền giá trị của hàm ).
* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là
mỗi giá trị thì phương trình có bao nhiêu nghiệm ?.

Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.
.
.
.
Giải:
1) Điều kiện: .
Phương trình
Đặt
Ta có phương trình : (1).