SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
MỞ ĐẦU
I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI .
Một trong các nhiệm vụ lớn của công tác trong nhà trường và công việc của
mỗi người giáo viên là công tác giảng dạy, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng
học sinh giỏi các cấp học.
Theo lộ trình năm học, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là công tác thường
xuyên đòi hỏi nhiều yêu cầu, nhiều công sức kể cả về tri thức của người thầy.
Để đạt được những vấn đề đó là một quá trình, một sự cố gắng tu dưỡng thật
cao của mỗi giáo viên và cùng với công việc đó, luôn phải có một niềm say mê
trong kiến thức, trong lòng yêu nghề và sự quan tâm tới sự phát triển tri thức, trí
tuệ của lớp học trò của mình.
Giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi không những chỉ tìm tòi nghiên cứu để bồi
dưỡng kiến thức cho người thầy mà nó còn có mục đích phát triển tư duy, giáo dục
toàn diện thế hệ trẻ có năng lực về kiến thức.
Đã không ít học sinh “ Học tốt” bị thụ động nhiều về sự đa dạng phủ kín trong
từng bài toán, từ đơn giản đến phức tạp. Người thầy cần thiết phải tìm ra liều thuốc
để học trò luôn bình tĩnh dựa vào chính mình trong giờ khảo thí.
Dạy ôn học sinh giỏi, bên cạnh phương pháp, nghệ thuật của người thầy tạo
hứng thú cho học sinh là một kho kiến thức vô tận của bộ môn. Việc trang bị kiến
thức để đạt được một cách tổng hợp có hệ thống có kết cấu phù hợp trong mỗi
chuyên đề áp dụng với việc nhận thức của đối tượng học trò là một quá trình về
mọi biện pháp của người thầy; công việc đó không phải đơn giản.
Xuất phát từ yếu tố nêu trên, tôi mạnh dạn đưa ra 1 chuyên đề bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 12: “Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán đại số”, nhằm củng cố
kiến thức và cũng là tài liệu tích luỹ cho những thời gian tiếp theo trong công tác
giáo dục của mình.
II. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Xác định củng cố kiến thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi 12.
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
1

SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú
văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những
học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…
Thực tế giảng dạy cho thấy đây là một mảng kiến thức rất lớn trong các kỳ
thi chọn học sinh gioi Toán các cấp, trong quá trình học tập trên lớp các em thường
chưa được mở rộng về mảng kiến thức này, có tâm lí: không biết ứng dụng của đạo
hàm còn gì nữa ngoài các ứng dụng đã được trình bày trong sách giáo khoa? Vì
vậy GV cần chỉ rõ, cụ thể giới thiệu cho học sinh học tập trên lớp một số bài toán
đơn giản từ đó định hướng và tạo hứng thú để học sinh mong muốn mình đượ tìm
hiểu sâu hơn về lĩnh vực toán học này.
3.Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần
cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát
triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng
đối tượng học sinh.
B. Thực trạng của đề tài:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh giỏi cấp trường năm học 2008-2009 từ đó lựa
chọn đối tượng học sinh năm học 2009- 2010.
2.Khảo sát chất lượng :
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đội tuyển, số lượng học sinh đạt yêu cầu
là 60%
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả còn thấp, vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận
thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Kiến thức cơ bản nắm tương đối chắc.
- Có khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.

∈
D.
*Các ví dụ
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
mxxxx =+−−++ 11
22
Lời giải:
Xét hàm số f(x) =
11
22
+−−++ xxxx
có TXĐ là D=R
f’(x)=
12
12
12
12
22
+−
−
−
++
+
xx
x
xx
x
;
f’(x)= 0
⇔

+ − + − +
;
lim ( ) 1
x
f x
→−∞
= −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
⇔
-1< m <1
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình :
2
1 cosax x+ =
(*) có đúng
một nghiệm x
∈
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
Bài giải:
Ta thấy để phương trình có nghiệm thì a
≤
0
Khi đó phương trình (*)
⇔

4
t
π
 
∀ ∈
 ÷
 
Khi đó f’(t) =
2
sincos
t
ttt −
=
2
)(cos
t
tgttt −
<0 với
0;
4
t
π
 
∀ ∈
 ÷
 
⇒
f(t) nghịch biến /
0;
4

x
f t x
x
π
π π
 
< < ⇔ < < ∀ ∈
 ÷
 
 
 ÷
 
Vậy phương trình (1) đã cho có đúng một nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
⇔
2 2
8 1 4
2 1
2
a a
π π
< − < ⇔ − < < −
Bài 3: Cho phương trình x

t
2≥
.
Ta thu được phương trình: t
3
+3t
2
-9t = a + 6 (1’)
• Nếu t =
2±
thì phương trình đã cho có một nghiệm.
• Nếu
t
2>
, thì mỗi giá trị của t phương trình đã cho có 2 giá trị của x,
Nên phương trình(1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
⇔
Phương trình (1’) có đúng 2
nghiệm t =
2±
hoặc (1’) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn
t
2>
+ TH1: Nếu (1’) có đúng 2 nghiệm t=
2±
⇒





t
2>
khi và chỉ khi
2< a+6 <22
⇔
-4 <a < 16
Bài 4 : Cho hàm số y = -x+
))(( bxax ++
với a, b là hai số thực dương khác
nhau cho trước. Chứng minh rằng với mỗi số thực s
∈
(0;1) đều tồn tại duy nhất số
thực
α
> 0 sao cho f(
α
) =
s
ss
ba
1
2









6
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Áp dụng BĐT cauchy và (1) ta có:
<ab
s
ss
ba
1
2








+
<
2
ba +
(*) ( do a
)b≠
Mặt khác ta có : f’(x) =
))((2
))((22
bxax
bxaxbax
++
++−++

– 2(6m
2
+1)x – 3 m
4
+2m
2
= 0
không nhiều hơn số nghiệm của phương trình:
(3m-1)
2
12
x
+2x
3
+6x= (3
6m
-9)
25.02
8
−
m
( HSG Nghệ An 1988)
3/ Tìm tất cả các giá trị của a để BPT: ln(1+x)
≥
x-ax
2
nghiệm đúng với mọi x
≥
0.
4/ a. Chứng minh rằng nếu a>0 là các số sao cho BPT : a

SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Giải pt:
011)(24()392(3
22
=++++++++ xxxxx
(Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)
Bài giải:
Ta thấy phương trình chỉ có nghiệm trong (
)0;
2
1
−
)3)12(2)(12()3)3(2)(3(
22
++++=+−+−⇔ xxxxpt
)32()32(
22
++=++⇔ vvuu
(1)
Với u = -3x, v = 2x+1; u,v >0. Xét hàm số
24
32)( ttttf ++=
với t > 0
Ta có
vuvfuft
tt
tt
tf =⇔=⇒>∀>
+
+

Bài giải:
Xét hàm số:
2cos
2
=+ xe
xtg
với






−∈
2
;
2
ππ
x
, ta có








−
=−=

= 4006x + 2 (HSG Nghệ An 2005)
Bài giải:
Xét hàm số: f(x)= 2003
x
+ 2005
x
- 4006x - 2
Ta có: f(x)= 2003
x
1n
2
2003+ 2005
x
1n
2
> 0 ∀x ⇒ f"(x) = 0 vô nghiệm
⇒ f'(x) = 0 có nhiều nhất là một nghiệm ⇒ f(x) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm.
Mà ta thấy f(1) = f(0) = 0 nên pt đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 1
Bài 4: Giải pt: 3
x
= 1 + x + log
3
(1+2x) (TH&TT)
Bài giải:
Đk: x > -1/2
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
8
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
pt ⇔3
x

⇒ f(x) =0 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà f(0) = f(1) = 0 nên pt đã cho có hai
nghiệm x = 0 và x = 1
Bài 5: Giải hệ pt:







>
=+
−=−
)3(0,
)2(
5
)1(33sinsin
yx
yx
yxyx
π
Bài giải:
Từ (2) và (3) ta có: x,y
)
5
;0(
π
∈
(1) ⇔sinx-3x= siny-3y. Xét hàm số f(t) = sin-3t với t
)



+≥
−≥
yx
y
(1) ⇔ tgx + x = tgy + y ⇔ x = y (do hàm số f(t) = tgt + t là hàm đồng biến)
Thay vào (2) ta có:
181811 ++−=+⇔+−=−+ yyyyyy
844818281 +−=+⇔++−++−=+⇔ yyyyyyyy
8
1281664489
3
8
1281664489
3
8
8483
22
=⇔





+=+−
≥
⇔



)()(
)()(
1
32
21
xgxf
xgxf
xgxf
n
(I)
Định lý 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và (x
1
, x
2
, ,x
n
) là
nghiệm của hệ trên A thì x
1
= x
2
= x
n
Định lý 2: Nếu f,g khác tính đơn điệu trên A và (x
1
, x
2
, ,x
n
) là nghiệm của hệ trên

=+−+−+
xzznzz
zyynyy
yxxnxx
)1(133
)1(133
)1(133
23
23
23
Bài giải:
Ta giả sử (x,y,z) là n
0
của hệ. Xét hàm số f(t) = t
3
+ 3t - 3 + 1n(t
2
- t + 1)
ta có: f'(t) = 3t
2
+ 3 +
0
12
12
2
>
+−
−
tt
t

2
(HSG QG Bảng A năm 2006)
Bài giải:
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
10
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Hệ











+−
=−





=
=
=
⇔
+−

y
Trong đó f(t) = log
3
(6-t); g(t) =
62
2
+− tt
t
Ta có f(t) là hàm nghịch biến,
0
)62(
6
)('
32
>
+−
−
=
tt
t
tg

)()6;( tgt ⇒−∞∈∀
là hàm đb.
Nên ta có nếu (x, y, z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay và hệ ta có:
62
)6(log
2
3
+−

;cos23
coscos
x
xx
+=
5.
xx
x 4.3)42)(1( =++
6.





=−++
=−++
=−++
xzzz
zyyy
yxxx
523
523
523
23
23
23
(HSG QG)
7. Tìm a để hệ số sau đây có nghiệm duy nhất.



4
4
axxxx
axxxx
axxxx
n
8. Tìm m để các pt sau có nghiệm:
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
11
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
a.
);45(12 xxmxxx −+−=++
b.
mxxxx =−+−−++ )6)(3(63
c. tg
2
x + cotg
2
x + m (tgx + cotgx) + 3 = 0;
d)
xtgm
xx
xx
2.
sincos
sincos
22
66
=
−

)32()('
2
2
++
++−
+=
dd
d
ddf
vì
962
2
9
)
2
3
(21
2
2
++
++−
dd
d
< 0 nên
4
269
)
2
3
()(

222
ygyy
y
fyyyzzyfF =+−=
−
≤+−+−+=≤
Ta
xét:
1
3
2
≤≤ y
(vì y
3
2
<
thì Max không xảy ra), khi đó g(y)
≤
g(
16)
3
2
=
3
16
≤⇒ F
dấu "=" có khi
3
1
;





++−++=
x
z
z
y
y
x
x
y
y
zx
xf
2
)(
với đk đã cho x ≥ y ≥ z ≥ 0
Ta có:
0)
11
)(()()
11
()('
222
≥−−=−−−=
x
z
zy

a
3
Bài giải:
Xét hàm số:
)()(
323232232323
accbbaaccbbaaf ++−++=
Ta có:
223322
3223)(' caabacbaaf −−+=
. Tiếp tục lấy đạo hàm
[ ]
0)(3)(22266)(''
223332
>−−−+−=−−+= bccbcbacbbcacabaf
do a>b>c>0
⇒f'(a) là hàm đb ⇒ f'(a) ≥ f'(b) = b
4
+ 2bc
3
- 3b
2
c
2
> 0 (ta có thể cm được nhờ Côsi)
Như vậy do f(a)>0 nên f(a) đồng biến hay là f'(a)>f'(b)=0 như vậy ta có đpcm
Bài 5:
Cho x, y, z > 0 CMR:x
4
+y

+ z
2
) - zx (z
2
+ x
2
)
Ta có: f'(x)=4x
3
- 3x
2
(y+z
4
) + xyz + yz (x+y+z) (y
3
+ z
3
)
⇒ f"(x) = 12x
2
- 6x (y+z)+2yz
⇒ f"(x) >0 (do x ≥ y ≥ z) ⇒ f''(x) ≥ f'(y) = z
2
y-z
3
=z
2
(y-z) ≥0 nên f(x) là hàm đb
⇒ f(x) ≥ f(y) = z
4

1
2
≥∀>⇔>
nne
nn
n
n
. Xét hàm số g(x) = e
x
- x
2
⇒ g'(x) = e
x
-2x ⇒ g''x) = e
x
-2>0
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
13
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
⇒ g'(x) > g'(7)=e
7x
-14 >0 ⇒ g(x) > g(7) = e
7
- 49 > 0
Vậy f(x) ≥ Min
{ }
1(),2( −nff
. Ta CM Min
{ }
1(),2( −nff

)(
3
222
2
aca
ac
ba
c
ac
b
cb
a
+
−
+≤
+
+
+
+
+
Bài giải:
Đặt
α
=
b
a
và
x
a
c

+
+
+
+
+
xx
x
x
xx
x
xxx
xx
Xét đạo hàm f(x) = x
2
+ x + 1-
)
1
)1(2
2
1
2(
α
α
α
+
+
++
+
+ xx
x

−
+
+
−+=
α
α
α
α
α
α
x
x
x
x
xxf
do 1 ≤ ∝ ≤ x
Như vậy hàm f(x) là đồng biến do đó f(x) ≥ f(∝) = ∝
2
- 3∝ + 3 -
α
1
Nhưng f'(
α
) = 2∝ -3 +
03
1
33
1
3
22

b
a
x
và bất pt đã cho
2
3
1
1
1
1
1
1
≥+
+
+
+
+
+
⇔
zyx
Giả sử z ≤ 1 ⇒ xy≥ 1 nên ta có:
z
z
xy
yx
+
=
+
≥
+

t
t
t
z
z
z
zyx
=
+
+
+
=
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
⇒
với
1≤= zt
Ta có:
2
3
)1()(0
)1(
)1(2

≥
+
+
+
+
+
ac
c
cb
b
ba
q
(chọn đội tuyển thi IMO 2005)
Bài tập đề nghị:
1. Cho
)cos(cos2sinsin.:).
2
;0(,
αβββαα
π
βα
−>−∈ Cmr
2. Cho
Ryox ∈,,
và
22 =− yx
. Tìm gtnn của
2222
)1()3( +++−+= yxyxP
(HSG QG Bảng B năm 1998)

của các em.
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
16
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù
hợp.
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em
không cảm thấy áp lực trong học tập.
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học
sinh.
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.
• Học sinh:
Chăm chỉ nắm chắc lý thuyết.
Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc.
Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.
Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc.
3. Khuyến nghị:
Nhà trường nên tạo điều kiện cho Giáo viên mở lớp bồi dưỡng học sinh khá,
giỏi với thời gian sớm hơn để các em có khả năng tìm hiểu sâu hơn kiến thức.
Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn
với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp .
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề
tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của
các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
Móng Cái, tháng 2 năm 2010
Người viết
Ngô Thị Vân Anh
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
17

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 16
TÀI LIỆU THAM KHẢO 18
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
19