ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các
bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong
chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác
định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào
đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số
và cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số
.
Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên và , thì
phương trình : có nghiệm
Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
2)
Giải:
1)Xét hàm số có tập xác định là .
Ta có:
thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm không
đổi dấu trên , mà đồng biến.
Mặt khác:
và .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi .
2) ĐK:
Xét hàm số với
Ta có:
.
vô nghiệm
không đổi dấu trên ,

.
Hệ có nghiệm có nghiệm .
.
Xét với
có .
Vậy hệ có nghiệm .
Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Giải:
Ta có:
.
* Nếu vô nghiệm.
* Nếu đúng có nghiệm
Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm
Ta có: . Xét hàm số với ,
có:
.
Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm .
Ví dụ 5: Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
Giải:
Ta thấy là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết trước.
Ta có:
.
Thay vào ta được:
.
Hệ có nghiệm có nghiệm .
Xét hàm số với
đồng biến trên các khoảng và
Suy ra hệ có nghiệm .
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý