TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

TRỊNH THỊ PHA

ỨNG DỤNG QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC
NHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ
XÁC SUẤT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN THỊ BÌNH

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp đƣợc hoàn thành tại Đại học Sƣ phạm Hà Nội
2. Có đƣợc bản khóa luận tốt nghiệp này em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS. Nguyễn Thị Bình đã
trực tiếp hƣớng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu
để em có thể hoàn thành đề tài này.
Với mong muốn viết đƣợc một bản khóa luận đầy đủ, phong phú và
hữu ích cho ngƣời đọc em đã rất cố gắng nhƣng do lƣợng thời gian và
kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót và
chƣa hoàn thiện. Rất mong đƣợc sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để
đề tài đƣợc hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

1.1.1 Quy tắc cộng.............................................................................. 3
1.1.2 Quy tắc nhân ............................................................................. 5
1.2. Hoán vị ............................................................................................ 9
1.3. Tổ hợp ........................................................................................... 13
1.3.1.Định nghĩa tổ hợp.................................................................... 13
1.3.2.Các ví dụ.................................................................................. 15
1.4. Hoán vị lặp .................................................................................... 18
1.4.1 Hoán vị của tập hợp có các phần tử khác nhau ...................... 18
1.4.2 Hoán vị của tập hợp có các phần tử đồng nhất hay phần tử
không phân biệt ................................................................................ 19
1.5. Hoán vị vòng tròn. ........................................................................ 21
1.5.1. Khái niệm hoán vị vòng tròn .................................................. 21
1.5.2. Các ví dụ................................................................................. 24
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC
BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT................................................................... 27
2.1. Một số bài toán sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ................... 27


2.1.1.Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán ........................... 27
2.1.2.Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán. .......................... 28
2.1.3. Các dạng toán thường gặp ..................................................... 30
2.2. Các ví dụ và bài tập ...................................................................... 37
2.2.1. Các ví dụ................................................................................. 37
2.2.2. Bài tập áp dụng ...................................................................... 38
KẾT LUẬN ............................................................................................. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 43


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của
xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các
bài toán về tính xác suất.
Tự học, bồi dƣỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu: Quy tắc cộng, quy tắc nhân và cách giải các
bài toán về xác suất.
Phạm vi nghiên cứu: Mở rộng thêm các kiến thức cơ bản về xác
suất trong chƣơng trình SGK môn Toán lớp 11.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
a) Hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất.
b) Hƣớng dẫn học sinh ứng dụng nguyên lý đếm vào giải các bài toán
về xác suất .
5.Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

2


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Quy tắc đếm cơ bản.
1.1.1 Quy tắc cộng
1.1.1.1. Khái niệm quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể đƣợc hoàn thành bằng cách thực hiện một
trong hai phƣơng án A hoặc B.
 Nếu phƣơng án A có a cách thực hiện.
 Nếu phƣơng án B có b cách thực hiện.
Khi đó công việc có thể đƣợc thực hiện bởi một trong hai phƣơng án A
hoặc B là a+b.

cách lập.
 Sáu số khác nhau mỗi số có 2 chữ số là: 12, 13, 21, 23, 31, 32. Trong
trƣờng hợp này có 6 cách lập.
 Sáu số khác nhau mỗi số có ba chữ số là: 123, 132, 213, 231, 312,
321. Trong trƣờng hợp này có 6 cách lập.
Các cách lập trên đôi một không trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng, ta
có:
3 + 6 + 6 = 15
cách lập những số khác nhau có những chữ số khác nhau từ các chữ số 1,
2, 3.
Ví dụ 2: Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong
ba danh sách tƣơng ứng có 23, 15 và 19 bài. Có bao nhiêu cách chọn bài
thực hành?
Giải:
Ta nhận thấy:
 Có 23 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ nhất.
 Có 15 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ hai.

4


 Có 19 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ ba.
Vì vậy có: 23 + 15 + 19 = 57 cách
Ví dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y một khách du lịch có thể đi
bằng đƣờng bộ hoặc đƣờng biển.
Du lịch bằng đƣờng bộ, ông lựa chọn 1 trong 4 tuyến đƣờng khác
nhau: l1, l2, l3, l4.
Du lịch bằng đƣờng biển, ông lựa chọn 1 trong 3 tuyến đƣờng biển
khác nhau:s1, s2, s3.
l1

đƣờng bằng một chữ cái và một số nguyên dƣơng không vƣợt quá 100.
Bằng cách nhƣ vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể đƣợc ghi
nhãn khác nhau?
Giải:
Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc:
 Gắn một trong 26 chữ cái.
 Và sau đó gắn một trong 100 số nguyên dƣơng.
Quy tắc nhân chỉ ra rằng có:
26.100=2600
cách khác nhau để gắn nhãn cho một chiếc ghế
Nhƣ vậy, nhiều nhất ta có thể gắn nhãn cho 2600 chiếc ghế.
Ví dụ 2: Trong một trung tâm máy tính có 32 chiếc máy vi tính. Mỗi máy
có 24 cổng. Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau trong trung tâm này?
Giải:
Thủ tục chọn cổng gồm có hai việc, việc chọn máy và sau đó chọn cổng
của chiếc máy này.
 Có 32 cách chọn máy.
 Có 24 cách chọn cổng bất kể máy nào đƣợc chọn.
Quy tắc nhân cho thấy có 32.24=768 cổng.
Ví dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y khách du lịch phải đi qua
thành phố M.
Du lịch từ thành phố X đến thành phố M , ông lựa chọn 1 trong 4
tuyến đƣờng bộ khác nhau: l1, l2, l3, l4.
Du lịch từ thành phố M đến thành phố Y ông lựa chọn 1 trong 3 tuyến
đƣờng biển khác nhau: s1, s2, s3.

6


l1

Hk có thể thực hiện bằng nk cách, sau khi hoàn thành công việc Hk-1.
Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2...nk cách.
1.1.2.2.Ví dụ
Ví dụ 1: Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô nếu mỗi biển
chứa một dãy ba chữ cái tiếp sau là ba chữ số (không bỏ dãy chữ nào
ngay cả khi nó có ý nghĩa không đẹp).
Giải:
Ta nhận thấy:

7


 Có tất cả 26 cách chọn mỗi một trong ba chữ cái.
 Có 10 cách chọn cho mỗi chữ số.
Vì thế theo quy tắc nhân, nhiều nhất có:
26.26.26.10.10.10= 17 576 000 biển đăng ký xe.
Ví dụ 2:Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ
số 0, 2, 4, 6, 8.
Giải:
Số cần lập có dạng a1a2 a3 . Ta có 4 cách chọn a1, vì a1  0. Ứng với
mỗi cách chọn a1 có 4 cách chọn a2. Ứng với mỗi cách chọn a1, a2 có 3
cách chọn a3. Theo quy tắc nhân ta có 4.4.3 = 48 số cần lập.
Ví dụ 3:
1. Cho ba tập hợp chữ cái
A = { a, b }

B = { c, d, e, f }

C={g}


a

b

c

d

e

a

b

c

e

d

e

d

c

b

a


Định nghĩa hoán vị:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần
tử của tập hợp A đƣợc gọi là hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu: Pn
Công thức tính: Pn là số hoán vị của n phần tử đó. n, n 1

Pn  n !  1.2....( n  1).n
Chứng minh:
Ta chứng minh công thức này dựa trên nguyên lý nhân. Xét công việc
xây dựng một hoán vị của n vật ban đầu. Công việc này đƣợc chia thành
các bƣớc sau:
Bước 1: Chọn vật đứng đầu có n cách chọn (n vật đều có thể
đứng đầu).
Bước 2: Chọn vật đứng thứ hai có n-1 cách chọn (do đã chọn vật
đứng đầu nên bây giờ ta chỉ còn n - 1 vật ).
…
Bước n: Chọn vật còn lại cuối cùng chỉ có một cách duy nhất.
Nhƣ vậy, theo nguyên lý nhân, số cách xây dựng hoán vị cũng chính
là số các hoán vị của n vật ban đầu là: n.(n-1)…2.1 = n!.
Chú ý:
(1) n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...(3)(2)(1)
(2) n! = n(n-1)!
(3) Với n=1: 1! = 1(1-1)! = 0! = 1

10


Ví dụ 1: Cho 7 đối tƣợng phân biệt đƣợc dán nhãn a, b, c, d, e, f, g và 3
ô trống nhƣ sau:


Ví dụ 2: Có bao nhiêu hoán vị n phần tử, trong đó có 2 phần tử đã cho
không đứng cạnh nhau.
Giải:
Nếu a đứng ở vị trí thứ nhất thì b đứng ở vị trí thứ hai. Do vậy, a
đứng ở vị trí thứ n - 1 thì b đứng ở vị trí thứ n và chúng có thể đổi vị trí
cho nhau. Với mỗi cách đó có (n - 2 )! cách hoán vị các phần tử khác

11


nhau.
Do đó số hoán vị a, b đứng cạnh nhau là:
2.(n – 1 ). (n – 2 )! = 2. (n – 1 )!.
Vậy số hoán vị 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau là:
n! – 2. (n – 1)! = (n – 1)!.(n – 2 )
Kí hiệu:
Số hoán vị của n phần tử khác nhau lấy r phần tử, kí hiệu là nPr .
7 . 6 . 5 .  4 . 3 . 2 . 1
=
 4 . 3 . 2 . 1

7

P3 = 7 . 6 . 5 =

n

P5 = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

7!

Chú ý:
(1) nPn =
(2) nP0 =

n!
(n – n)!

n!
0!

=

n!
(n – 0)!

=

n!
n!

= n!

=1

1.3. Tổ hợp
1.3.1.Định nghĩa tổ hợp
Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm r phần tử của A
đƣợc gọi là một tổ hợp chập r của n phần tử đã cho.
Ví dụ: Cho 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc dán nhãn a, b, c, d. Ta có thể
chọn từ 4 đối tƣợng khác nhau lấy 3 đối tƣợng cùng một thời điểm bởi

{ a, b, d}

acd adc

cad

cda

dac

dca

{ a, c, d }

bcd bdc

cbd

cdb

dbc

dcb

{ b, c, d }

13


24 lần hoán vị đƣợc tạo thành từ 4 nhóm không giống nhau:


n

n
r

P5 n(n  1)(n  2)(n  3)(n  4)
n!


5!
5!
5!(n  5)!

n

Cr 

Pr n(n  1)(n  2)...(n  r  1)
n!


r!
r!
r !(n  r )!

n

Định lý:
Tổ hợp chập r của n phần tử là một cách chọn không phân biệt

14


Anr
n!

do đó ta có công thức: C 
r ! ( n  r )!r !
r
n

Chú ý:
n

Pn
n!

1
n!
n!

1) Cn 
n

2) C0 
n

n
3) Cnr 


C10

cách chọn.

30

C10 . C10 cách chọn 20 sinh viên theo

40

yêu cầu.
Ví dụ 2: Có 3 ghế trong một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách để 5 cậu bé
chiếm đƣợc chúng?
Giải:
Số cách bằng: 5P3 = 60
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách có thể sắp xếp 10 ngƣời trong một hàng
1. 7 ngƣời đƣợc chọn một lần.

15


2. Tất cả 10 ngƣời đƣợc chọn một lần.
Giải:
1. Số cách bằng: 10P7 = 604800
2. Số cách bằng: 10P10 = 3628800
Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách có thể:
1. 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba và 1 giải tƣ đƣợc trao cho một lớp
20 học sinh.
2. 4 giải khuyến khích đƣợc trao cho một lớp có 20 học sinh.
3. 16 giải khuyến khích đƣợc trao cho một lớp 20 học sinh.


là chủ yếu (nam > nữ).
Giải:
TH1: 4 nam và 3 nữ
Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C4 .5C3  350
TH2: 5 nam và 2 nữ
Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C5.5C2  210
TH3: 6 nam và 1 nữ
Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C6 .5C1  35
Tổng số đội khác nhau bằng: 350 + 210 +35 = 595
Ví dụ 8: 5 nam và 5 nữ đƣợc chọn từ 10 nam và 8 nữ thành lập một đội
gồm 5 cặp hỗn hợp chơi tennis (bóng bàn ). Tìm tổng số đội khác nhau
của các cặp khác nhau có thể thành lập.
Giải:
 Số cách chọn nam bằng: 10C5 = 252
 Số cách chọn nữ bằng: 8C5 = 56
Số cách chọn mỗi đội gồm 5 cặp bằng: 5P5 = 5! = 120
Tổng số đội khác nhau của các cặp khác nhau có thể thành lập

C5.8C5.5 P5  252.56.120  1693440

10

Ví dụ 9: Có 6 quả bóng tất cả có màu sắc khác nhau, có bao nhiêu cách
chọn
1. 4 bóng.
2. 3 bóng và sắp xếp chúng thành một hàng.
3. Đặt 2 bóng vào một hộp A, B, C.
4. Chia bóng làm 3 nhóm mỗi nhóm 2.
Giải:


e

c

e

c

c

Số hoán vị của 7 đối tƣợng khác nhau chọn 3 tại một thời điểm với
phép lặp đƣợc cho phép nhƣ hình sau:
7

7

7

Do vậy, số phép lặp là: 73 = 343
Nhận xét: Ở đây có sự tƣơng tự nhƣ chỉnh hợp (có thứ tự), nhƣng cho
phép sự lặp lại của các đối tƣợng.

18


Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự
k
k phần tử của n phần tử, mỗi phần tử có thể lấy lặp lại , kí hiệu: n



a3a1a2b

a3a2a1b

Hoán vị
của
a, a, a,b
aaab

a1a2ba3

a1a3ba2

a2a1ba3

a2a3ba1

a3a1ba2

a3a2ba1

aaba

a1ba2a3

a1ba3a2

a2ba1a3



4!
4
3!
Định lý:
Số hoán vị của n phần tử với p phần tử đồng nhất hoặc không
phân biệt đƣợc tính bởi

n!
với p  n .
p!

Số hoán vị của n phần tử, nếu có
p1 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 1
p2 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 2
p3 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 3
............................................
pk phần tử nhƣ nhau thuộc loại k
ở đây p1 + p2 + ... + pk
đƣợc tính bởi

n!
với p1 + p2 + p3 +...... + pk  n.
p1 ! p2 ! p3 !... pk !

Chứng minh:
Để xác định số hoán vị trƣớc tiên chúng ta nhận thấy có:


n