LỜI NÓI ĐẦU
Trong Vật lý-Toán sinh viên mới làm quen với một số phương pháp
như: phương pháp tách biến, phương pháp đặt biến phụ…để giải các bài toán
truyền sóng và truyền nhiệt thì việc chọn hệ toạ độ và tách các biến phụ thuộc
vào hình dạng của vật, nếu vật là có hình dạng trụ hoặc tròn thì ta giải bài
toán trong hệ toạ độ trụ sẽ dẫn đến phương pháp giải là đơn giản nhất. Khi
giải phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt có dạng hình tròn
hoặc hình trụ bằng phương pháp tách biến sẽ dẫn đến các phương trình vi
phân Bessel.
Quá trình học môn Vật lý-Toán sinh viên đã được làm quen với một số
hàm đặc biệt như: hàm Lagrăng, hàm Bessel… nhưng việc tìm hiểu sâu vào
tính chất, đặc điểm của các hàm này còn rất hạn chế vì thời gian ngắn. Quá
trình giải các bài toán bên cạnh tư duy vật lý còn đòi hỏi ở sinh viên kỹ năng
giải tích toán học đặc biệt là việc giải các phương trình vi phân, do đó việc
cũng cố và nâng cao kỹ năng toán học của sinh viên là rất quan trọng.
Vì những lí do trên tôi đã trọn đề tài: “ỨNG DỤNG HÀM BESSEL
GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUYỀN SÓNG VÀ TRUYỀN NHIỆT”, hi vọng
khoá luận sẽ giúp đỡ sinh viên ngành Vật lý trong việc giải bài tập về phương
trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt.
Chúng ta có thể gặp các bài toán của phương trình truyền sóng và
truyền nhiệt trong không gian nhiều chiều, trong nội dung của một khóa luận
chúng tôi chỉ xin giới thiệu một số bài toán xét trong không gian hai chiều và
ba chiều.
Bằng những kiến thức về Vật lí-toán, Giải tích…bằng cách tìm tòi và
thu thập các tài liệu tôi đã hoàn thành khóa luận này với nội dung chính như
sau:

1


Chương I: Tổng quan hàm Bessel.

d
dy
(1.1)
L ( y ) = p ( x ) + q ( x ) y = r ( x ) y
dx
dx
với x [ a, b] .
Điều kiện biên ở mỗi điểm có dạng:

dy (a)


y
(
a
)
+

=0
1
2


dx

3 y (b) + 4 dy (b) = 0

dx



+
sin
+
r r r r 2 sin
r 2 sin 2 2
ký hiệu:
1

1 2
, =
sin

+


Sin
sin 2 2
thay vào biểu thức (1.3) ta đợc:

=

1 2 1
r
+ ,
r 2 r r r 2

Hàm ( r , , ) đợc tìm dới dạng tích của các hàm:

( r , , ) = R ( r ) Y ( , )


Vế trái của (1.5) chỉ phụ thuộc r, vế phải phụ thuộc vào , . Do đó để
(1.5) xảy ra thì cả hai vế của (1.5) đều bằng hằng số à .
, Y + àY = 0

Do đó: 1 2 ' '
(1.6)
à
r
R
+


R
=
0


r 2
r2


R
Đặt x = r và y =
phơng trình (1.7) đa về phơng trình:
x

(

)


y ( x ) = x (a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + ak x k + ...) với a0 0

(1.9)

Thay chuỗi vô hạn (1.9) vào phơng trình (1.8) ta đợc:

(

2

[

]

2 ) a0 x + ( + 1) 2 a1 x +1 +



{[

2

]

}

+ ( + k ) 2 .ak + ak 2 x + k = 0.
k =2

2

[

]

[

]

(1.11)

Với k = 2,3
Vì a 0 0 nên từ phơng trình đầu của hệ phơng trình (1.11) suy ra = .
Nếu = thì từ phơng trình sau của (1.11) ta đợc:
a1 = 0 và ak =

ak 2
k ( 2 + k )

Do đó các hệ số có chỉ số lẻ sẽ có giái trị bằng 0.
Ta đi tìm các hệ số chẵn ak với k =2n
(n=1,2,3..)

k = 2 (n = 1) a2 =
k = 4 (n = 2) a4 =

a0
2 ( + 1)1!
2

a2


1
với ( ) là hàm Gama, thì ta đợc:
2 ( + 1)

n
(
1)
a2 n = 2 n+
( + 1)( + 2)( + 3 )...( + n ) n! ( + 1)
2

Theo tính chất của hàm Gamma:
( + 1)( + 2)( + 3 )...( + n ) n! ( + 1) = ( + n + 1)
do đó:

a2 n =

( 1) n
2 2 n + n! ( + n + 1)

Thay các giá trị a2n và a2n+1 vào chuỗi (1.9) ta nhận đợc nghiệm riêng của
phơng trình (1.8):

5


2 n +

( 1) x

( + n + 1) = với n = 0,1,2,-1
do đó n số hạng đầu tiên trong khai triển của hàm J ( x ) bằng 0
suy ra:



J ( x ) =
n =

( 1) n x

2 n

(1.12)

2
n! ( n + 1)

Nếu đặt l = n- thì ta có:

2 l +

x
(

1
)


2


J ( x ) cos( ) J ( x )
sin( )
khi này ( x ) là một nghiệm riêng của phơng trình (1.8) và độc lập tuyến tính
với J ( x ) . Do đó nghiệm của (1.8) trong trờng hợp nguyên dơng là:

( x ) = lim k

y(x)=C1 J (x)+C2 ( x ) với C1, C2 là các hằng số tuỳ ý.

III. Các tính chất của hàm Bessel
1. Tính chất truy hồi
J ' ( x ) = J 1 ( x )


J ( x ) ;
x

J ' ( x ) = J +1 ( x ) +


' ( x ) =
x x
1 ( ) x ( )


J ( x ) ;
x

(1.13.a)

dx n=0 n! ( n + + 1) 2 + 2 n
n

(
1) (2 + 2n) x 2 + 2 n 1
=
2 + 2 n
n = 0 n! ( n + + 1)
J +1 ( x ) =

(

)

+ 2 n 1

(
1)
x

=x
= x J 1 ( x ) .

n = 0 n!( n + ) 2




[


1
cos( )
vào hai vế của phơng trình (*) và nhân
vào hai vế của phsin( )
sin( )

ơng trình (**), rồi tiến hành trừ từng vế của hai phơng trình trên, ta đợc:

7


cos ( ) J ' ( x ) J ' ( x )

=
sin ( )
sin ( )
cos ( ) .J 1 ( x ) J 1 ( x ) cos ( ) .J ( x ) J ( x )
=




sin

sin

x
sin

sin ( )


Thật vậy:
Do J ( x ) là nghiệm của phơng trình Bessel (1.8) nên J ( kx ) cũng là
nghiệm của phơng trình Bessel (1.8) với k là số thực bất kì.
d dJ ( kx ) 2 2
x
+ k x J ( kx ) = 0.
dx
dx
x

Vì vậy ta có:

Do đó với 2 giá trị k1, k2 bất kì thì:
d dJ ( k1 x ) 2 2
x
+ k2 x J ( k1 x ) = 0
dx
dx
x

(1.14)

d dJ ( k 2 x ) 2 2
x
+ k2 x J ( k2 x ) = 0 .
dx
dx
x


Gọi à , à j là hai nghiệm dơng của phơng trình J ( x ) = 0 , trong (1.16) lấy k1=
à
ài
và k2= j thì ta đợc:
L
L

ài
J ( k1 L ) = J L = J ( à i ) = 0
L


J ( k L ) = J à j L = J ( à ) = 0


j

2
L


nên vế phải của phơng trình (1.16) sẽ bằng 0.
Nếu i j tức là ài à j thì k 1 k2



L

xJ ( k x ).J ( k x ).dx = 0



(vì biểu thức tính giới hạn có dạng
LHospital).

0
, nên giới hạn đợc tìm theo quy tắc
0

L

Do đó:

L2 ' 2
0 xJ ( k1 x ) J ( k2 x ) dx = 2 J ( k1 L )

9


L2 '
xJ ( k1 x ) J ( k2 x ) dx = J ( ài )
2
0
0 nếu i j
L

x x
0 xJ ài L J à j L dx = L2 J ' 2 (à ) = L2 J 2 (à ) nếu i = j

I
+1

2k

x
x2
x4
x6
1
k
x
J1 ( x ) = (1
+

+
...
+

1
(
)
ữ + ...
2
2.4 2.42.6 2.42.6.28
k !( k + 1)! 2
Từ công thức truy hồi J +1 ( x ) =

2
J ( x ) J 1 ( x ) , các hàm J 2 ( x ) , J 3 ( x ) có
x

thể đợc tìm từ J 0 ( x ) , J 1 ( x ) .

1

+2 k

2
( 1) k . x

2
.
J1 ( x) =
3
k =0
2
k! ( + k )
2

3
2

Theo tính chất của hàm Gamma: ( + k ) =
1
vì: = nên: J 1 ( x ) =
2
2

2 ( 1) ( x )

x k =0 (2k +! )!
k


2
x
x
2
3

1

J5 =
sin( x) + sin( x ) + cos( x ) =

2
x
x
2
x
2
J3 =

2
3
3

1

sin(
x


)

Các hàm Bessel J ( à i ) i=1,2,3. Trực giao và chuẩn hoá trên [ 0, L ] .
L

x
L

Khai triển một hàm bất kì vào chuỗi các hàm Bessel J ( à i ) với hệ số khai

x
f ( x ) = ai J ( ài ) Với > 1 và x [ 0, L ] .
i =1
L

triển ai là:

(1.18)

các à i là các nghiệm của phơng trình J ( x ) = 0 , tính chất trực giao:

0 nếu i j

x x
0 xJ à i L J à j L dx = L2 J' 2 (à I ) = L2 J2+1 (à I ) nếu i = j

2
2
L

nhân hai vế (1.18) với xJ ( à j


L
L
i =1
0

12

(1.19)


L

∫

theo tÝnh chÊt trùc giao ta cã:

0

2

⇔ aj =

'2
ν

LJ
2

x
L2 ' 2

2

L



xf ( x ) Jν  µ
(µ ) ∫

i

0

i

x
÷dx .
L

(1.20)

Nh vËy cã thÓ khai triÓn mét hµm bÊt kÝ thµnh tæng v« h¹n cña c¸c hµm
Bessel víi hÖ sè khai triÓn ®îc tÝnh theo (1.20)

13


Chơng 2 ứng dụng hàm Bessel để giải các bài toán
truyền sóng trong màng tròn
I. Bài toán

x 2 y 2 T0
a t
t
trong đó: u=u(x,y,t) là hàm mô tả trạng thái dao động của điểm M(x,y) tại thời
x
điểm t
W(x,y,t) là ngoại lực tác dụng lên màng tính trên một đơn vị diện tích.
T0 là sức căng của màng trên một đơn vị diện tích
a,k là các hệ số của màng, tuỳ thuộc vào đặc tính cấu tạo của màng.
Từ (2.1) trong một số điều kiện cụ thể ta có các phơng trình đơn giản hơn.
Nếu nếu k = 0 và W = 0 ta có phơng trình dao động của màng tự do:
2u 2u 1 2u
.
(2.2)
+
=
x 2 y 2 a2 t 2
Nếu W = W(x,y) và u = u(x,y) tức là các hàm không phụ thuộc thời gian,
ta có phơng trình dao động ở trạng thái dừng:
2u 2u
1
+
=

W ( x, y ) .
(2.3)
x 2 y 2
T0
Các điều kiện biên của bài toán:
Mép của màng gắn chặt:

+
=
x 2 y 2 a2 t 2
thoả mãn các điều kiên biên (2.4) và các điều kiện ban đầu (2.6), (2.7).
Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là tâm của màng tròn, (2.2) đợc viết lại:
2 u 1 u 1 2 u 1 2 u
với r [ 0, L ]
(2.8)
+
+
=
r 2 r r r 2 2 a 2 t 2
Điều kiên biên (2.4) trong bài toán có dạng: u( r, ) = r = L = 0
(2.9)
u
= F (r, ) .
điều kiện ban đầu: u(r,,0)=f(r, );
(2.10)
t =0
t
Hàm u(r, ,t) đợc tìm dới dạng tích của các hàm T(t) và V(r, ):
u(r, ,t)=T(t)V(r, )
phơng trình (2.8) đợc viết lại:
1
V (r , ).T '' (t ) = T (t )r , V (r , )
2
a
T '' (t ) r , V(r, )
.
(2.11)

r
2 ''
'
Y (r R + rR + r 2 R ) + RY '' = 0
Y ''
r 2 R '' + rR + r 2 R
(2.13)

=
Y
R
Vế trái của (2.13) là hàm phụ thuộc vào góc , vế phải là hàm phụ thuộc
vào r, do đó cả hai vế của (2.13) đều bằng một hằng số nào đó.
Phơng trình (2.13) dẫn đến hai phơng trình tơng đơng:

'' 1 '
R + R + ( 2 ) R = 0
(2.14)
r
r

Y '' + Y = 0
hàm Y() là hàm tuần hoàn với chu kì 2, tức là
Y ( + 2n ) = Y ( ) n = 0,1,2,3...
Xét phơng trình thứ hai của hệ phơng trình (2.14), có phơng trình đặc trng:

k2+ =0

(2.15)


Nh vậy để phơng trình Y '' + Y = 0 không có nghiệm tầm thờng thì các giá
trị của phải thoả mãn điều kiện :
(2.16)
= n 2 ( Với n = 0, 1, 2K )
''
Nghiệm riêng của phơng trình Y + Y = 0 là:
Yn()=Cn1cos(n)+Cn2sin(n)
2
Thay = n và x = r vào phơng trình thứ nhất của hệ phơng trình (2.14)
ta đợc:
d 2 R 1 dR
n2
(2.17)
+
+ (1 2 ) R = 0 .
2
dx
x dx
x
Phơng trình (2.17) là phơng trinh Bessel cấp n, các nghiệm riêng là:
Rn(x)=D1Jn(x)+D2n(x)
(2.18)
trong đó D1, D2 là các số thực tuỳ ý.
Điều kiện biên (2.9) đợc viết lại
u(L,)= V(L,)=R(L)()=0 R(L)=0 .
(2.19)
Vì R ( 0) < + nê n D2 = 0 Rn(x)=D1Jn(x) hay R ( r ) =D1Jn ( r ) .
Theo điều kiện biên: R(L)=0 Jn ( L) =0

L = à m(n )

(n)
Với = à m phơng trình thứ nhất của hệ phơng trình (2.12) sẽ có hai
L

nghiệm riêng riêng độc lập tuyến tính:
( n)
à ( n ) at .
Tmn=cos à m at và Tmn=sin m


Các nghiệm riêng của phơng trình (2.8) thỏa mãn điều liện biên (2.9) sẽ là:
à m( n ) at
à ( n ) at
+ Bmn sin m ) cos(n ) +
L
L
(n)
(n)
( n)
+ (Cmn cos à m at + Dmn sin à m at ) sin( n )] J n ( à m r ) )
L
L
L

umn(r,,t) = [( Amn cos

17


Nghiệm tổng quát của phơng trình (2.8) thoả mãn điều kiện biên (2.9) sẽ


à m0 r
à mn r
A0 m J 0
+
A
J
cos(
n

)




+
mn n

ữ
ữ
m =1

L n=1 m =1
L
(2.23)
n



à

n =1 m =1
L




à m( n ) a à m( n ) r
+ Dmn
Jn
sin(
n

)
= F ( r, )
ữ
L
L
n =1 m =1





Theo tính chất tuần hoàn và trực giao của các hàm số lợng giác:

(2.24)



2


n.d = với n là số nguyên khác 0

0

2

sin(n ) sin(l )d = 0;
0

Ta tính các hệ số khai triển:

2

cos(n ) cos(l ).d = 0

với l n

0

Lấy tích phân từ 0 2 của (2.23):
2


0


à ( 0) r
f (r , )d = 2 A0 m J 0 m
m =1




18

(2.25)



1 2
à m( n ) r
f (r, )sin( n ).d = Cnm J n
ữ
0
m =1
L
Nhân cos(n) vào (2.23) rồi lấy tích phân từ 0 2

2

(2.26)

à m( n ) r

Anm J n
0 f (r, ) cos(n )d = .
L
m =1



ữcos(n )drd (2.28)
L J n +1 ( à m( n ) ) 0 0
L
L 2
2
à m( n ) .r
Cnm = 2 2
rf (r, ) J n
ữsin(n )drd
L J n+1 ( à m( n ) ) 0 0
L


2

L 2

Các hệ số B0m , Dnm , Bnm đợc xác định tơng tự:
L 2
1
à m(0) .r
B0 m =
F
(
r
,

)
J
0



Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt, gây
bởi độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng xuyên tâm. Điều kiện ban đầu có dạng:
u(r,0)=f(r); và

u
= F( r ) .
t t =0

Giải:

Phơng trình dao động của màng:
2u
2
(2.30)
a u = 2
t
Vì các kích thích ban đầu cho ta độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng
xuyên tâm, nên trong quá trình dao động theo thời gian của màng độ lệch chỉ phụ
thuộc vào bán kính của điểm khảo sát.
u=u(r,t)
Việc tìm giao động của màng dẫn đến việc giải phơng trình (2.30) với các
điều kiện ban đầu:
u
= F( r )
u(r,0)=f(r) ;
t t =0
và điều kiện biên: U(L,t)= 0
Trong hệ toạ độ cực với gốc toạ độ là tâm của màng tròn, phơng trình dao

Xét phơng trình thứ nhất của hệ phơng trình (2.34):
1
V ' ' + V ' + V = 0
r

20

(2.31)
(2.32)
(2.33)

(2.34)


d2V
dV
( r)
+

r
+ ( r )2 V = 0
2
d( r)
d( r)
2

(2.35)

Đặt x= r khi đó phơng trình (2.35) ta đợc phơng trình:


à m( 0 ) at
à m( 0 ) at
um(r,t)= ( Am cos
(2.36)
)
+ B m sin
) J0 (
L
L
L
và nghiệm tổng quát của (2.31) là:


à ( 0 ) at
à ( 0 ) at
à ( 0) r )
u(r,t)= um (r, t) = Am cos m + B m sin m J 0 ( m ) (2.37)
L
L
m =1
m =1
L
Các hệ số Am và Bm đợc xác định theo điều kiện ban đầu, đó là các hàm
biến thiên của bán kín của các điểm khảo sát, các hệ số này không phụ thuộc vào
thông số góc .
Theo (2.28) và (2.29) các hệ số Am và Bm đợc xác định:
L
2
à m( 0) .r
Am = 2 2 (0) f (r ) J 0


đầu bằng không.
Giải:
Phơng trình dao động của màng:

U(r,t)

2u
a u = 2
t
Theo lí luận ở bài tập 1, hàm sóng chỉ phị thuộc
vào bán kính của điểm khoả sát và thời gian khoả sát.
u= u(r,t).
Trong hệ toạ độ cực phơng trình dao động
2

2 u 1 u 1 2 u
của màng:
(2.40)
+
=
r 2 r r a 2 t 2
Độ lệch ban đầu có dạng Parapol (hình 4).
Các điều kiện ban đầu:


r 2 u
u(r,0)=f(r)=A 1 2 ;
L r



at

L

+ B m sin

à m( 0 ) at
à ( 0) r )
J 0 ( m )
L
L

(2.41)

Các hệ số khai triển đợc xác định theo (2.38) và (2.39):
L
8A

2
r 2 à ( 0) r
Am = 2 2 ( 0 ) A 1 2 J 0 m rdr = ( 0 ) 3
( à m ) J 1 ( à m( 0 ) )
L J1 (à m ) 0
L L
L
à m( 0 ) r
2
rdr = 0.
Bm =

Hinh5: Đồ thị của nghiệm đầu tiên theo bán kính r và thời gian t

Bài tập 3:
Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính L, với các biên gắn chặt. Vận
u
r
= F ( r ) = A cos( ) . Ban đầu màng nằm ở vị
tốc ban đầu cho bởi hàm:
t t =0
2L
trí cân bằng.
Giải:

Phơng trình dao động của màng:
2u
2
a u = 2
t
Trong hệ toạ độ cực phơng trình dao động của màng đợc viết lại:

2 u 1 u 1 2 u
(2.42)
+
=
r 2 r r a 2 t 2
Để tìm quy luật dao động của màng ta tiến hành giải phơng trình (2.42) với
các điều kiện:
Điều kiện ban đầu: u(r,0)=f(r)=0 và

23

à m( 0 ) at
à m( 0) r )

+ B m sin
J(
)
L 0
L

(2.43)

Các hệ số khai triển đợc xác định theo (2.28) và (2.29):
L
à m( 0 ) r
2
rdr =0
Am = 2 2 ( 0 ) f (r ) J 0
L J1 (à m ) 0
L

L
8A
à m( 0 ) r
2


=
Bm =
F
(

t
Trong quá trình dao động, hàm dao động chỉ phụ thuộc vào bán kính r, là
khoảng cách từ trục của ống nớc đến điểm khảo sát, và thời gian; do đó phơng
trình dao động:
2 u 1 u 1 2 u
(2.44)
+
=
r 2 r r a 2 t 2
Điều liện ban đầu của bài toán:
u
= F( r)
u(r,0)=f(r) ; và
(2.45)
t t = 0
vì áp suất trên mặt nớc đợc giữ không đổi, nên điều kiện biên của bài toán trong
trờng hợp này là:
u
= 0.
r r = L
Phân tích hàm u(r,t) thành tích của hai hàm:

24

(2.46)


u(r,t)=V(r)T(t)
từ điều kiện biên (2.46) suy ra:


+x
+ x2V = 0
2
dx
dx
2

(2.48)

(2.49)

(2.50)
ta đợc:
(2.51)

phơng trình (2.51) là phơng trình Bessel cấp 0. Với điều kiện : V (0) < + ; phơng
trình (2.51) có nghiêm : V ( r ) =D1J0 ( r ) .
Theo điều kiện biên (2.49) suy ra:
( J 0 ( r ))
D1
=0
( r) r=L


( J 0 ( r ))
=0
( r ) r = L

(2.52)