Tabiếtrằngmỗisốphứcđượcbiểudiễnbởimộtđiểmtrongmặtphẳngphức.Dođó
giốngnhưphươngpháptọađộ,khiđồngnhấtmỗiđiểmtrongmặtphẳngbởimộtsốphức
thìbàitoántronghìnhhọcphẳngtrở thànhbàitoánvớisốphứcmàtabiếtrằngcác
côngcụvềkhoảngcáchvàgóccóthểđưacáccôngthứcđơngiảnđốivớisốphức.Do
vậytacóthểsửdụngsốphứcđểgiảicácbàitoánhìnhhọctừđơngiảnđếnphứctạpđặc
biệtlàcácbàitoáncựctrịhìnhhọc.
Đểvậndụngđượcsốphứctrongviệcgiảicácbàitoánhìnhhọctacầnbiếtbiểudiễn
dạngphứcmộtsốyếutốhìnhhọc.
I.BIỂUDIỄNDẠNGPHỨCCỦA MỘTSỐYẾUTỐHÌNHHỌC.
1.1.TíchvôhướngTíchlệchTỉsốđơn,tỉsốkép
1.1.1. Tíchvôhướng
Địnhnghĩa.Cho
1 1
( ; )a x y =
r
,
2 2
( ; )b x y =
r
tương ứngvớihaisốphức
1 1 1
z x iy = + ,
2 2 2
z x iy = + .Theocôngthứctíchvôhướngcủahaivectơ,tacó
1 2 1 2 1 2 1 2
1
. . . ( . . )
2
a b x x y y z z z z = + = +
r r
(1.1)

uuuur uuur uuuur uuur
(1.2)
Nhậnxét:
 BađiểmO,M,Pthẳnghàngkhivàchỉkhi
[ ]
, ,w 0OM OP z
é ù
= =
ë û
uuuur uuur
.(*)
 Từ(*)tathấykhiO,M,Pkhôngthẳnghàng,thìdiệntíchtamgiácOMPlà
[ ]
1 1 1
. .sin( ) , ,w
2 2 2
S OM OP OM OP z
y j

é ù
= - = =
ë û
uuuur uuur uuuur uuur
.
1.1.3. Gócđịnhhướng
TrênmặtphẳngphứcOxychohaiđiểmM,Ncótọavịz
1
,z
2
.Khiđóz

.Gọi
( , )OM ON
a
=
uuuur uuur
,khiđó
2
2 1
1
arg arg arg( )
z
z z
z

a
= - =
.
GiảsửcóbađiểmA,B,Clầnlượtcótọavịa,b,cvàgócđịnhhướng
( , )AB AC
a
=
uuur uuur
.
Khiđó ,AB AC
uuur uuur
lầnlượtcótọavịba,ca.Suyra
arg( ) arg( ) arg( )
c a
c a b a
b a

S
S
Ố
Ố
Ố
P
P
P
H
H
H
Ứ
Ứ
Ứ
C
C
C
T
T
T
R
R
R
O
O
O
N
N
N
G

N
N
C
C
C
Ự
Ự
Ự
C
C
C
T
T
T
R
R
R
Ị
Ị
Ị
H
H
H
Ì
Ì
Ì
N
N
N
H

b a d c d c b a
b a d c

j

- - + - -
=
- -
( )( ) ( )( )
sin (1.4)
2
b a d c d c b a
i b a d c

j

- - - + - -
=
- -
Nhậnxét.Từkếtquảtrên,suyra:
1)
( ).( ) ( )( ) 0AB CD b a d c d c b a ^ Û - - + - - =
uuur uuur
.
2)
( ).( ) ( )( )AB CD b a d c d c b a Û - - = - -
uuur uuur
Z[
3)Rõràng
Im( ).( )

ç ÷
è ø
nếu
j
=30
0
thì
3 1
.
2 2
d i b
æ ö
= +
ç ÷
è ø
1.1.4. Tỉsốđơn,tỉsốkép
*Tỉsốđơn.Vớibộ3điểm M
1
,M
2
,M
3
trongmặtphẳngphức,cótọavịtheothứtựlàz
1
,
z
2
,z
3
,tagọisốphức,kíhiệuvàxácđịnhbởi

(z ,z ,z )
làmộtsốthực.
*Tỉsốkép.Cho4sốphức
1 2 3 4
z ,z ,z , z saochotồntạicáctỉsố
1 3
2 3
z z
z z
-
-
,
1 4
2 4
z z
0.
z z
-
¹
-
Đạilượng
1 2 3 1 3 1 4
1 2 3 4
1 2 4 2 3 2 4
(z ,z ,z ) z z z z
(z ,z ,z , ) :
(z ,z ,z ) z z z z
z
- -
= =

cótọavịz
0
vàcóvectơchỉ
phương
u
r
cótọavịu.Khiđóphươngtrìnhchínhtắccủa(d)là
z= z
l d
+
,với
u
u

l
= ;
0 0
. (1.7)
u
z z
u

d
= -
1.2.2. Phươngtrìnhđườngthẳngquahaiđiểm
Trongmặtphẳngphứcchođườngthẳng(d)điquahaiđiểmphânbiệtM
1
,M
2
lầnlượt

1
2
M M
MM

l
=
,đãchotrước.Khiđó
1
2
z z
z z

l

-
=
-
,từđósuyra
1 2
z + z
1
z

l
l

=
+
(1.10)

x
y
1 1 2
1 1 2
1
b c a
m

l l l
l l l

+ +
=
+ +
.Điều nàycónghĩalàđiểmZvớitọavịznằmtrongđoạnAA
1
.Tương
tựtacũngchứngminhđượcZnằmtrongđoạnBB
1
.VậyZtrùngvớigiaođiểmMcủavà
AA
1
vàBB
1
.
1.2.4.Gócgiữahaiđườngthẳng
Giảsửcóhaiđườngthẳng(d
1
):
1 1 1 1

. . 0, 0A z A z C A - + = ¹ ,đượctínhbởicôngthức
0 0
( ,( ))
2
Az Az C
d d M d
A
+ +
= =
(1.12)
1.3.Phươngtrìnhđườngtròn
1.3.1. Phươngtrìnhtổngquátcủađườngtròn
Trongmặtphẳngphức,chođiểmIcótọavịz
0
=x
0
+iy
0
,sốthựcR>0.Phương trình
đườngtròntâmI,bánkínhRlà
2
0 0 0 0
0zz z z z z z z R - - + - = .ĐặtA=
0
z - ;
2
0 0
C z z R = - Ρ ,khiđóphươngtrìnhtrênđượcviết
lại
0(1.13)zz Az Az C + + + =

-
Mệnhđề1.6. GiảsửABlàdâycungcủađườngtrònđơnvị,HlàhìnhchiếucủađiểmM
lênđườngthẳngAB.Gọia,b,h,mlầnlượtlàcáctọavịcủaA,B,H,M.Khiđótacó
1
( ) (1.16)
2
h a b m abm = + + -
Mệnhđề1.8. TrongmặtphẳngphứcchotamgiácABCvớicáctọavịa,b,c.GọiG,H
lầnlượtlàtrọngtâm,trựctâmcủatamgiácABCvớicáctọavịg,htươngứng.Khiđó
(i)
1
( )
3
g a b c = + +
(ii)NếutamgiácABCnộitiếpđườngtrònđơnvị,thìh=a+b+c.
1.4.Diệntíchđagiác
1.4.1. Côngthứctínhdiệntích
Trênmặtphẳngphức,chotamgiácOABđịnhhướngdươngvớiA,
Bcótọavịa,b.Khiđódiệntíchcủatamgiác OAB là
1
. .sin( )
2
a b
S R R
b a
= - ,trongđó | |, | |, arg( ), arg( )
a b
R a R b a b
a b
= = = =

2
n
k k
k
S a a
+
=
=
å
ởđâytakí
hiệua
n+1
=a
1
.
Đặcbiệt:Vớin=3,tamgiácA
1
A
2
A
3
códiệntíchđạisốlà
2 1 3 2 1 3
1
| Im( ) |.
2
S a a a a a a = + +
1.5.Cácphépbiếnhìnhtrênmặtphẳng
1.5.1. Phéptịnhtiến
Giảsử

e

j
a
= = và
0 0
. .
i
z e z

j
b
= - +
1.5.3. Phépđốixứngtrục
Giảsửđườngthẳng(d)cóphươngtrình
. . 0, 0.A z A z C A - + = ¹
Gọiz,z’ lầnlượtlàtọavị
củaM,M’ .Khiđóbiểuthứcbiểudiễnphépđốixứngtrục(d)là
' ( 0)
Az C
z A
A
+
= - ¹
.
1.5.4.Phépvịtự
Giảsửcácđiểm I,M,M'lần lượtcótọavịlàz
0
,z,z'.Khiđótacóbiểuthứcbiểudiễn
phépvịtựlà z’=k(zz

IM
= = Þ =
uuur uuuur
.Thayvào(*),tađược
2
0
0
'
R
z z
z z
= +
-
II.SỬDỤNGSỐPHỨCGIẢIMỘTSỐBÀITOÁNVỀBẤTĐẲNGTHỨCHÌNH
HỌCVÀCỰCTRỊHÌNH HỌC
2.1Phươngphápdùngđồng nhấtthức
Khithựchiệnphươngphápnàychúngtacầnchúý
Phântíchkỹbàitoán,xemxétyếutốcốđịnhvàdiđộng.
Xáclậpmốiliênhệgiữayếutốcốđịnhvàyếutốdiđộngthôngquamộtđẳngthứchình
học.
Cầnchúýrằngđẳngthứchìnhhọcnàycómộtvếchínhlàmộtvếcủabấtđẳngthứccần
chứngminh.
Xétcáctrườnghợpđặcbiệtmàyếutốdiđộngsẽđạttới.Khiđósẽcóbấtđẳngthứccần
chứngminhvàtừđógiảiquyếtđượcbàitoáncựctrị.
O
H
C
B
A
Vídụ1.1.ChoGlàtrọngtâmtamgiácABC vàMlàđiểmbấtkỳthuộcmặtphẳng.

GA GB GC + + khivàchỉkhim=0,haylàM º G.
Vídụ1.2. ChotamgiácABCcótrọngtâm G.Chứngminhrằng
2 2 2 2
9AB BC CA R + + £
vớiRlàbánkínhvòngtrònngoạitiếptamgiác ABC.
Giải.Tachứngminh
2 2 2 2 2 2 2
( 2 ) 3 ,OH MA MB MC MH MO R M + + + - + = " (*)
trongđóHlàtrựctâm,O làtâmvòngtrònngoạitiếptamgiácABC.
ChọnhệtrụctọađộvuônggócOxy.Gọia, b,c,mlầnlượtlàtọavịcủaA,B,C,M.Khi
đóHcótọavịh=a+b+c và
2
aa bb cc R = = =
.Tacó
2 2
| | ;MA a m aa mm am am = - = + - -
2 2
| |MB b m bb mm bm bm = - = + - -
;
2 2
| |MC c m cc mm cm cm = - = + - -
;
2 2
| |MH h m hh mm hm hm = - = + - -
;
2 2
;OM mm OH hh = = Suyra
VT(*)=
3 ( ) ( )hh aa bb cc mm m a b c m a b c + + + + - + + - + + -
2

điểmMbấtkỳ.Khiđó
i)TồntạiduynhấtmộtđiểmIsaocho
1 1 2 2
0
n n
MA MA MA
a a a
+ + + =
uuuur uuuur uuuur r
.
ii)
2 2 2
1 1 2 2

n n
MA MA MA
a a a
+ + + đạtgiátrịnhỏnhấtkhivàchỉkhiMtrùngI .
Vídụ1.3.TrongmặtphẳngchonđiểmcốđịnhA
1
,A
2
, ,A
n
(
3n ³
),vànsốthực
1 2
, , ,
n

Giải.Vớigiảthiếtđãcho,tồntạiduynhấtđiểmGsaocho
1
0
n
j j
j
GA
a

=
=
å
uuuur r
(*).
Tachứngminh
2 2 2
1 2
1 1
( )
n n
j j j j n
j j
MA GA GM
a a a a a

= =
= + + + +
å å
.
XétmặtphẳngphứcvớigốctọađộOtrùng G,suyraG cótọavịg=0.Giảsử

= + - - = + - -
å å å å å å
C1
B1
M
A1
C
B
A
2 2
1 2
1
( )
n
j j n
j
GA GM
a a a a

=
= + + + +
å
.Vậy
2 2 2
1 1 1
( )
n n n
j j j j j
j j j
MA GA GM

1
,dovậy:
 NếuA
1
º G,thìMGđạtgiátrịnhỏnhấtbằng0khiM º Gvàtậpđiểm Mlà
{ }
1
A .
NếuA
1
khôngtrùngG,thìMGđạtgiátrịnhỏnhấtkhiMtrùnghìnhchiếucủaGtrên
(d).Suyratậpđiểm Mlàđường tròn
2
1
1
1
| | | |
2 2
a
m a - =
haytậphợpđiểm Mlàđườngtròn
đườngkínhA
1
G.
2.2.Phươngphápdùng bấtđẳngthứcgiữagiátrịtrungbìnhcộngvàtrungbình
nhân
giữagiátrịtrungbìnhcộngvàtrungbìnhnhân
Phươngphápnàythườngsửdụngtrongcácbàitoánvềbấtđẳngthứchìnhhọc,cực
trịhìnhhọccóliênquanđếntỉsốcủahaiđoạnthẳngvàdiệntíchcủatamgiác.Khithực
hiệnphươngphápnàycầnchúý

,C
1
lần
lượtcótọavịa,b,c,a
1
,b
1
,c
1
.Giảsử
1 1 1
1 2 3
1 1 1
; ;
BA CB AC
AC B A C B

l l l
= = = .Từ(1.12)suyra
1 2 3
1 1 1
1 2 3
; ;
1 1 1
b c c a a b
a b c

l l l
l l l


1 1
1
1
(1 )
1
AM AM a a
b c
A M a
MA

l l
l
l

- -
= = = = +
+
+
Tươngtự
2 1 3 2
1 1
1 1
(1 ) ; (1 ) .
BM BM CM CM
B M C M
MB MC

l l l l
= = + = = +
Suyra

= = = Û làtrungđiểmcáccạnhBC,CA,AB
Û
Mlàtrọngtâmtam
giácABC.Vậymin(
1 1 1
AM BM CM
A M B M C M
+ +
)=6,khiMlàtrọngtâmtamgiácABC.
b)Tươngtự
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1
. . (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
AM BM CM
A M B M C M

l l l l l l l l l
= + + + = + + +
.Mà
1 1 2 2 3 3
1 2 0;1 2 0;1 2 0.
l l l l l l
+ ³ > + ³ > + ³ >
Suyra
1 2 3
1 1 1
. . 8 8;
AM BM CM
A M B M C M



l l l
= = =
.Khiđótheo(1.10)tacó
1 2 3
1 1 1
1 2 3
; ;
1 1 1
b c c a a b
a b c

l l l
l l l

+ + +
= = =
+ + +
với
1 2 3
0, 0, 0,
l l l
> > >
1 2 3
1
l l l
= vàtừmệnhđề1.3,điểm Kcótọavị
1 1 2
1 1 2
1

l l l
l

+ +
-
- + + +
= = =
+
- + +
-
+
Mà
1
1 1 2
1
1
,
1 2
1 .
BD
AC AB
DC
BD BD CE
p
DC DC EA

l
l l l

+

l l
l l l l l l

+ + + +
= = = = = =
+ + + +
Suyra
3 3
( )( )( ) (2 )(2 )(2 )
. . .
(2 ) (2 )
AK BK CK AC AB BC AB AC CB p BC p AC p AB
AD BE CF p p
+ + + - - -
= =
Tacó
3
3
(2 )(2 )(2 ) 1 2 2 2
( )
(2 ) 3 2 2 2
p BC p AC p AB p BC p CA p AB
p p p p
é ù - - - - - -
£ + +
ê ú
ë û
,hay
3
(2 )(2 )(2 ) 8

1
. . .
4
AK BK CK
AD BE CF
>
Vậybấtđẳngthứcbêntráiđượcchứngminh.
Vídụ2.3.Chotamgiác A
1
A
2
A
3
códiệntíchS khôngđổi,điểm Mởtrongtamgiác,các
đườngthẳng A
1
M,A
2
M,A
3
M lầnlượtcắtcáccạnhA
2
A
3
, A
1
A
3
, A
1

1
B
1
A
1
D
C
B
A
M
B
1
B
2
A
3
B
3
A
2
A
1
Giải.XétmặtphẳngphứcsaochogốctọađộOtrùng A
1
.GiảsửA
1
, A
2
, A
3

l
l l

+
= =
+ +
3 2
3
3
1
a
b

l
l

=
+
;
3 3 2 2 3 2 3 1 3
2 3 2 2 3 2
.
1 1
a a a a
m

l l l l l
l l l l l l

+ +

1 2 3 1 2 3
2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 (1 ) (1 )
Im( . . . ) Im( )
2 1 1 1 1 1 1 2 (1 )(1 )(1 )
1 1 1
Im ) .
(1 )(1 )(1 ) 2 (1 )(1 )(1 )
a a a a a a a a
a a
a a S

l l l l l l l l l l
l l l l l l l l l
l l l l l l
l l l l l l

+ + + - + + +
= + + =
+ + + + + + + + +
+ +
= = =
+ + + + + +
Mà
1 2 3
1 2 3
1 1
.
(1 )(1 )(1 ) 4

4
S S =
khivàchỉkhi B
1
,B
2
,B
3
làtrungđiểmcủacáccạnh
A
2
A
3
A
1
A
3
, A
1
A
2
hay MlàtrọngtâmtamgiácA
1
A
2
A
3
.
2.3.Phươngphápsửdụngphépbiếnhình
Đểgiảibàitoánbằngphươngphápnàytathựchiện

1 1 1 1
, , ,
i i i i
a ae b be c ce d de

j j j j

= = = = .
Giảsử
1 1
B C cắtBC,CDlầnlượttạiP,Q.GọiS,S
1
,S
2
lầnlượtlàdiệntíchcủaphầnchungcủahaihình
vuông ABCDvà
1 1 1 1
A B C D diệntíchhìnhvuông
ABCD,diệntíchtamgiác CPQ.Khiđótheotínhchấtđối
xứngcủahình,tacó
1 2
4S S S = - .DovậySnhỏnhấtkhi S
2
lớnnhất.
Tacóphươngtrìnhcủađường
1 1
B Clà
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 0 ( ) . ( ). . 0
(cos sin ). (cos sin ) 2 0.


j j j j

ì
- + - - =
í
+ Î
î
¡
GọiplàtọavịcủaP,từ(2)suyra p=1+im.Thayvào(1)tađược
1 cos
(cos sin ). (cos sin ) 2 0 2cos 2 sin 2 0 .
sin
i z i z m m

j
j j j j j j
j

-
- + - - = Û + - = Û =
Suyrađiểm Pcótọavị
1 cos
1 . 1 tan
sin 2
p i i

j j
j


-
= Þ = + = + < <
+
Tacó
2
2
1
| Im( ) | .
2 1
t t
S pq c p qc
t
- +
= + + =
+
Xéthàm
2
( ) ,0 1
1
t t
f t t
t
- +
= < <
+
.Tacó
2
2
2 1
'( )

Giải. Khôngmấttínhtổngquát,tachọnR=1 vàchọnhệtọađộOxy.GiảsửA,B,C có
tọavịa,b,c.GọiH làtrựctâmvàKlàguiaođiểmAHvớiBC,theomệnhđề1.8và1.7
suyraHcótọavịh=a+b+cvàKcótọavịlà
1 1
( ) ( ).
2 2
k b c h bch a b c cba = + + - = + + - Ta
cóA'làđiểmđốixứngvớiHquaBC.Thậtvậy,giảsửA
1
làđiểmđốixứngvớiHquaK.
SuyraKlàtrungđiểmcủaHA
1
,dođó A
1
cótọavị
1
2a k h cba = - = .Suyra
1 1
2 ( )( ) 1a k h cbaa a cba bca = - = = - - = ,dovậy
1
( , )A O R Î .
Tacó
: ( ) ( ) ( ) 0AH a h a h z ah ah - - - + - =
( ) ( ) ( ) 0b c z b c z ab ac ab ac Û - - + + + + - - =
.
Dễdàngkiểmtratọavịcủa A
1
thỏamãnphươngtrìnhAH.
Suyra
1

S £ =
,dấu=xảyrakhivàchỉkhixảyradấubằngở(1)
và(2)
xảyra,haykhiAB=BC=CA= 3R .Vậymax(S)=
2
3 3
4
R
khivàchỉkhitamgiácABC
đềucạnh 3R .
x
C
E
RP
M
Q
D
S
B
y
A
Vídụ3.3.ChotamgiácABCđều,Mlàđiểmtùyýnằmbêntrongtamgiác.GọiS,S
1
lần
lượtlàdiệntíchtamgiácABCvàdiệntíchtamgiáccóbacạnhMA,MB,MC.Chứng
minhrằng
1
3
S
S £ .

z x y i y = + + .Tacó
SA
uur
cótọavị
0
1 3
( ); :
2 2
SA
z t i T M Q = + ®
uur
.SuyraQcótọavị
8 7 0
1 1 3 3
( ) ( )
2 2 2 2
z z z x y t i y t = + = + + + +
.Tacó
2 2 2
2 3
( ) ( )
2 2
BM x y y y = + - + .Suyra
2 2
BM DR x xy y = = + +
.TươngtựDQ=AM,QR=CM.SuyraDQRlàtamgiáccóba
cạnhMA,MB,MC.
TacódiệntíchcủatamgiácABClà
2
6 4

thôngthường.Songchúngtôihyvọngchohọcsinhcómộthướngsuyluậnkhác.Quađó
chúngtathấyđượckhảnăngmạnhmẽcủasốphứcnóiriêngvàsựđadạngcũngnhưvẻ
đẹpcủatoánhọcnóichung.
Tuynhiêncũngnhưmọiphươngphápkhác,phươngphápsốphứckhôngthểthích
hợpchomọibàitoánbấtđẳngthứchìnhhọcvàcựctrịhìnhhọc.Chínhvìvậy,chuyên
đềchủyếuđisâuvàocácbàitoánhìnhhọcphẳngcóyếutốvềdiệntích,khoảngcách,tỉ
số, 
IV.TÀILIỆUTHAMKHẢO
[1]NguyễnHữuĐiển(2000), Phươngphápsốphứcvàhìnhhọcphẳng,NXBĐạihọc
quốcgiaHàNội.
[2]NguyễnHữuĐiển(2001),Phươngphápgiảicácbàitoáncựctrịtronghìnhhọc,
NXBKhoahọckỹthuậtHàNội.
[3]NguyễnPhụHy,NguyễnQuốcBảo(1996), ứngdụngsốphứcđểgiảitoánsơcấp,
NXBGiáodục.
[4]ĐoànQuỳnh(1997), Sốphứcvớihìnhhọcphẳng,NXBGiáodục.
[5]NguyễnvănMậu,TrầnNamDũng,ĐinhCôngHướng,TạDuyPhượng, Biếnphức
địnhlývàápdụng,ĐạihọcquốcgiaHàNộiTrườngĐHkhoahọctựnhiên(Tàiliệubồi
dưỡnghè2009).
laisacxinlỗicôTâmvìkhônglàmđúnglờinhắndướiđâycủacô:
EmgởibàinàychoThầyđọcthôi,Thầyđừngđưalênmạngnghen. Emrấtngạiđiềuđólắm,vìchưatự
tinnhiều,chắccónhiềuđiềuthiếusót 
Nhưnglaisacxinđạidiệncácbạnđãđọcbàinày, vớilờicảmơncôTâmrấtnhiềucho
bàiviếthaynàyhehehehe