Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP 8
I.TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC LÀ GÌ?
Đó là những bài toán có dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một
đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một
hình, diện tích của một hình v.v...) sao cho:
y
1
≤ y ≤ y
2
Trong đó y
1
, y
2
là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y, đồng thời phải chỉ
rõ vị trí hình học của y (hoặc hình có chứa y) để tại đó y đạt giá trị cực tiểu y = y
1
hoặc cực đại y = y
2
.
II. ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Căn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo ba cách
sau đây:
• Cách 1:
Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện
của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng
nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng
khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thể
do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo
các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức

o
x
(h.1)
A
H
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
Chu vi ∆ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a, vì a không đổi nên chu vi ∆ABC
nhỏ nhất khi và chỉ khi AB + AC nhỏ nhất.
Gọi B' là điểm đối xứng của B qua x, y; B'C cắt xy tại A
o
. Xét ∆AB'C ta có:
AB' + AC ≥ B'C (1)
Thay AB' = AB; A
o
B' = A
o
B vào (1)
AB + AC ≥ A
o
B + A
o
C (2)
(2) có dấu "=" khi và chỉ khi B', A, C thẳng hàng. Khi đó A ≡ A
o
. Vì A
o
B = A
o
B' =
A

−
=⇒
−
=
Gọi S là diện tích hình chữ nhật MNPQ thì:
S = xy =
h
a
x (h - x) (*) (h2)
S =
h
a
(hx - x
2
) =
h
a
(hx - x
2
+
)
4
h
4
h
22
−
=
h
a

)
2
h
x(
4
h
=
4
ah
)
2
h
x(
h
a
4
ah
2
≤−−

dấu "=" xảy ra khi x -
2
h
x0
2
h
=⇔=
khi đó K là trung điểm của AH hay MN là
đường trung bình của ∆ABC.
Vậy max S =

E
a - x
B
a - y
F
y
C
G
D
(h.4)
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu
tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa
ra.
Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã
được nói rõ trong đầu bài.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam
giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 1, nhưng ở đây đầu bài đã nói rõ hình ta
phải chứng minh là một tam giác cân, nên ta đưa ra một tam giác cân A
o
BC (h.1),
rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh A chạy trên đường thẳng
xy // BC, ta chỉ việc chứng minh chu vi ∆ABC ≥ chu vi ∆A
o
BC tức là AB + AC ≥
A
o
B + A

+ S
CFG
+ 2S
BEF
=
BE.BFFC
2
1
AE
2
1
22
++
=
)ya)(xa(
2
y
2
x
22
−−++
=
2
a2)yx(a2xy2yx
222
++−++
=
[ ]
22
a2)yx(a2)yx(

Giải:
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp I (h.6): d cắt cạnh BC tại E
Gọi BB' và CC' là các khoảng cách từ các đỉnh
B và C tới d. Hai tam giác ABE và ACE có
chung đáy AE và các đường cao tương ứng với
đáy đó là BB' và CC'. Ta có:
S
ABC
= S
ABE
+ S
ACE

=
AE
S2
'CC'BB'CC.AE
2
1
'BB.AE
2
1
ABC
=+⇒+
Ta thấy BB' + CC' nhận giá trị lớn nhất khi AE nhận giá trị nhỏ nhất, khi đó AE là
đường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC, tức là d ⊥ BC. Nếu gọi AH là độ dài đường cao
kẻ từ đỉnh A thì min (AE) = AH, do đó:
BC
AH

(h.6)
A
B'
B
M
C
d
C'
M'
//
(h.7)
//
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
Kéo dài AM một đoạn MN = MA. Tứ giác ABNC là hình bình hành vì có hai đường
chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra AB=CN;
∧∧
−=
A180ACN
0
mà
00
90ACN90A
>⇒<
∧∧
hay
∧∧
>
CABACN
Xét hai tam giác BAC và NCA chúng có:
AB = CN, AC chung,

=
∧
bài toán có hai lời giải: Dựng đường thẳng d qua A và vuông góc
với AM hoặc d' qua A và vuông góc với BC.
- Nếu
0
90A
>
∧
: Đường thẳng d qua A và vuông góc với BC.
III. CÁCH VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
1. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có:
AB + AC ≥ BC
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC
Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có
bờ là xy.
a. Tìm điểm M thuộc xy sao cho MA + MB là nhỏ nhất
b. Tìm điểm N thuộc xy sao cho
NBNA
−
là lớn nhất.
Giải:
a. (Hình 1). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
xy thì Á hoàn toàn xác định.
Xét tổng MA + MB = MA' + MB
Nối A' với B và áp dụng bất đẳng thức tam
giác cho 3 điểm A', M, B ta có:
MA' + MB ≥ A'B
dấu "=" xảy ra khi M ∈ A'B khi đó M ≡ M