
  

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết
hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những
bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí
thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt,
…), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu
không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử
đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ
thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”.
(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).
- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử
dụng rộng rãi trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc
tính toán và những bài tập không thể giải bằng tay.
- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng
MTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán
trên MTCT đều có .
- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của
huyện sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần
lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kó năng
trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác.
Trường THCS Võ Xán Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp
Trang 1

Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kó năng sử dụng MTCT để
giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo và
chính xác là hết sức cần thiết .

Trường THCS Võ Xán Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp
Trang 2

- Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi.
( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009)
- Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện Tây Sơn.
( Từ 14/12/2009 đến 5/01/2010)
B.KẾT QUẢ
I. TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC:
- Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào
- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được
hướng giải chung cho dạng bài tập này.
Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học
2009 – 2010 khi chưa thực hiện đề tài
BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA
THỨC
CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA
THỨC
LỚ
P
SL SL TL SL TL
7 30 5 16,7% 25 83,3%
8 40 10 25% 30 75%
9 90 23 25,6% 67 74,4%
II. NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:
A. KI N TH C C  N V  N D  NG TRONG CÁC BÀI TỐN  A
TH  C :
  n h lý Bezout : “ D  trong phép chia  a thc f(x) cho nh th c x –

( n

N) có n
nghi m x
1
, x
2
…,x
n
thì a th c P(x) phân tích    c thành nhân t  :
P(x) = a(x – x
1
)(x – x
2
) ….(x – x
n-1
)(x – x
n
)
S ơ đồ Horner:
Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong
trường hợp tổng quát. P(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+…+ a

b
n -3
=
cb
n - 2
+ a
n -2
… b
0
= cb
1
+a
1
r = cb
0
+ a
0
Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = b
n-1
x
n-1
+ b
n-2
x
n-2
+…+ b
1
x + b
0
và

MTCT
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG :
Dạng 1 :Xác đònh tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhò
thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhò thức ax + b ta luôn được: P(x)=Q(x)
(ax+b) + m + r.
Muốn P(x) chia hết cho x +
a
b
thì m + r = 0 hay m = -r = - P(
b
a
−
).
Trường THCS Võ Xán Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp
Trang 4

 Sử dụng hệ quả của đònh lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ
phương trình của MTCT để giải quyết.
Ví dụ 1 : Tìm m   a thc f(x) = 4x
4
– 5x
3
+ m
2
x
2
– mx – 80 chia ht cho x – 2
Gii :
  t g(x) = 4x

1
(x) = 4x
4
– 5x
3
+ 16 x
2
– 4x – 80 và
f
2
(x) = 4x
4
– 5x
3
+ 12,25 x
2
+3,5 x – 80   u chia ht cho x – 2
Bài tp t  n g t :
Bài 1:Cho a thc f(x) = x
5
– 3x
4
+5 x
3
– m
2
x
2
+ mx + 861 .
Tìm m   f(x)  (x + 3)

Ta có: f(x) – 0,49  (x + 2,5)
⇒
Tìm giá trò của m biết đa thức x
4
– 2x
3
+ 5 x
2
+(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia hết
cho x + 2,5
Trường THCS Võ Xán Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp
Trang 5

Đáp số: 209,105
Ví dụ 2 : Tìm a và b sao cho hai a thc
f(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2x + 2a + 3b và
g(x) = 5x
4
– 4x
3
+ 3x
2
– 2x –3a + 2b cùng chia ht cho (x – 3)
Gii:
f(x) , và g(x) cùng chia ht cho (x – 3) khi và ch khi f(3) = g(3) = 0
  t

( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .
Bài tp t  n g t :
Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005)
Cho biết đa thức P(x) = x
4
+mx
3
-55x
2
+nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho
(x – 3). Hãy tìm giá trò của m, n và các nghiệm của đa thức.
Gii:
P(x) chia ht cho (x – 2) khi và ch khi P(2) = 0
  t

A(x) = x
4
– 55x
2
– 156
Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n
P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n  P(2) = 0  8m + 2n = 360
Trường THCS Võ Xán Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp
Trang 6

P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nP(3) = 0  27m + 3n = 570
Ta có h ph ng trình :
8m 2n 360
27m 3n 570
ì

+ 13x – 3m + 2n
HD : Tương tự như ví dụ 2
Đáp số: m = –4128,8 ; n = –2335,2
Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhò thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhò thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r,
trong đó
Rr
∈
(vì ax + b bậc 1). Thế
b
x
a
= −
ta được P(
b
a
−
) = r ( Bezout)
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhò thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(
b
a
−
)
Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
x 1,624
− − + + + −
−
Gii: Đặt P(x) =

Trang 7

Gii:
ư Đặt P(x) =
4 3 2
3x 5x 4x 2x 7
+ − + −

thì số dư : r =P(
4
5
) = 3.
4
4
5






+ 5.
3
4
5






256
87
6
Bài tp t  n g t :
Bài 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998)
Tìm số dư trong phép chia
5 3 2
x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319
x 2,318
− + − +
+
Gii:
Số dư : r = (-2,318)
5
– 6,723(-2,318)
3
+ 1,857(-2,318)
2
- 6,458(-2,318) + 4,319
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
2 .318 SHIFT STO A
−
5 2
3
ALPHA A A 6.723 ALPHA A A 1.857 ALPHA A A 6.458 ALPHA A 4.319
− + − + =
Đáp số: r =
46,07910779
Bài 2: (Sở GD - ĐT Cần Thơ, 2003)

3
– 4.3
2
+ 3.3 + 50
Qui trình ấn máy :
Trường THCS Võ Xán Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp
Trang 8

Ấn các phím:
2 SHIFT STO B
=
4 2
3
ALPHA B B 5 ALPHA B B 4 ALPHA B B 3 ALPHA B 50
+ − + + =
Đáp số: r
1
= 96 ;r
2
=239 ;BCNN(r
1
,r
2
) =
22944
Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức
Bài toán : Chia đa thức a
3
x
3

= (b
2
x
2
+ b
1
x + b
0
)(x - c) + r
= b
2
x
3
+ (b
2
-b
1
c)x
2
+ (b
1
-b
0
c)x + (r + b
0
c).
Ta lại có công thức truy hồi Horner: b
2
= a
3

Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương
và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng
quát. P(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+…+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
chia cho (x – c)
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để
được q(x) và r với q(x) = b
n-1
x
n-1
+ b
n-2
x
n-2
+…+ b
1

n -2
… b
0
= cb
1
+a
1
r = cb
0
+ a
0
Do đó: r = c(c(…(c(ca
n
+ a
n-1
))..)) + a
0
= c
n
a
n

+ c
n -1
a
n-1
+ …+ ca
1
+ a
0

( )
5 SHIFT STO M 1 ALPHA M 0 ALPHA M 2
ALPHA M ( ) 3 ALPHA M 0 ALPHA M 0
ALPHA M 1 ALPHA M ( )1
× + = × − =
× + − = × + = × + =
× + = × + − =
(23)
(112) (560) (2800)
(14001) (7004)
5
Vậy :
x
7
– 2x
5
– 3x
4
+ x – 1 =
= (x - 5)(x
6
+ 5x
5
+ 23x
4
+ 112x
3
+ 560x
2
+ 2800x + 14001) + 7004.

n-1
+…+ r
2
(x-c)
2
+ r
1
(x-c) + r
0
1 0 -3 1 -2 x
4
-3x
2
+x-2
3 1 3 6 19 55 q
1
(x)=x
3
+ 3x
2
+ 6x +19, r
0
= 55
3 1 6 24 91 q
2
(x)=x
2
+ 6x + 24, r
1
= 91

x
n
+ a
n-1
x
n-1
+…+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
(
0
≠
n
a
) có n
nghiệm là x
1
;x
2
,…,x
n
thì P(x) = a
n
(x - x
1

÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è øè ø è øè ø
- + = - + = - +
Trường THCS Võ Xán Giáo viên thực hiện: Mai Quốc Điệp
Trang 10

Bài tp t  n g t :
Phân tích a thc sau thành nhân t :
a) 65x
2
+ 4122x +61093
HD: Tìm chức năng giải phương trình bậc hai
Nhp a = 65 , b = 4122 , c = 61093
Tìm    c nghim ca a thc trên :
1 2
307 199
x , x
13 5
=- =-
Vy a thc 65x
2
+ 4122x + 61039    c phân tích thành
65
307 199 307 199
x x 13.5 x x (5x 307)(13x 199)
13 5 13 5
ỉ ưỉ ư ỉ ưỉ ư
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç

ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è øè ø è øè ø
- - = - - = - -
c) 156x
3
– 413 x
2
– 504 x+ 1265
HD: Tìm chức năng giải phương trình bậc ba
Nhp a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265. Tìm    c nghim ca a thc trên :
1 2 3
23 11 5
x , x ,x
13 4 3
=- = =
Vy a thc 156x
3
– 413 x
2
– 504 x+ 1265    c phân tích thành
( )
5 5
156 x x 3x 5
3 3
23 11 23 11
x x 13.4.3 x x (13x 23)(4x 11)
13 4 13 4
ỉ ưỉ ư ỉ ưỉ ư
÷ ÷ ÷ ÷