Chương V. ĐẠO HÀM

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA
CỦA ĐẠO HÀM


Kiểm tra bài cũ
Tính giới hạn

HD.

x2  4
1) A  lim
.
x 2 x  2
 x2  9 
2) B  lim 
.
x   3  x  3 

x2  4
(x  2)(x  2)
1) A  lim
 lim
 lim (x  2)  4.
x2
x 2 x  2 x 2
x 2
 x2  9 
(x  3)(x  3)
2) B  lim 

M0
M0 M1
M1

f(t1)

.

Đến thời 
điểm
t t = t0 tviên
1  t 0bi ở vị trí
M
đã đinhỏ
được
đường
0 và
Nếu
t càng
thì vquãng
càng
phản
tb
OM
= f(t0).
ánh 0chính
xác hơn sự nhanh chậm
Đến
thời bi
điểm

(t 0mất
)
đường M0M1 = f(tf1)(t–1f(t
v(t
)

lim
.
0
khoảng thời
gian
– tt0. Tính
t1 
t 0 t = tt11 
0
vận tốc trung bình của viên bi trên
quãng đường M0M1.
1

y



0

1


b. Bài toán tìm cường độ tức thời
I tb 

lim
.
f (t )  f (t0 )
s(t )  s(t0 ) x  x 0 xQ(tx)0 Q(t0 )
C
(
t
)

lim
I (t0 )  lim
v(t0 )  lim
0
t t
t t0
t t0
t  t0
t  t0
t  t0
0

lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0


2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

f (x)  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim
(1).
x  x0
x x0

Cho f (x)  x 2 , tính f '(2), f '(3).
f (x)  f (2)
x2  4
f '(2)  lim
 lim
 lim (x  2)  4.
Lưu ý:x Có
thể
áp
dụng
(1)
để
tínhxf’(x
)
x

2
x

2
2
x

2

09
f (x)
f
(

3)
x

x0 x  x0
x0
f f'(’(2)
3) vàlim
x lim
fx’(-3).
x 3
x 3
x 3 x  3
 f '(2)  4, f '(3)  6.
 lim ( x  3)  6.

Ví dụ 1.
HD

x  3


Đặt x  x  x 0 gọi là số gia của biến số tại x0 , và đặt
y  f  f(x 0  x)  f(x 0 )

gọi là số gia tương ứng của hàm số.

f '(x 0 )  lim
 lim
(2).
x
x 0
x 0 x


2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
CHÚ Ý
3) Số x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
4) x, y là những kí hiệu, không được nhầm lẫn
rằng: x là tích của  với x, y là tích của  với y.
Như vậy có thể thay kí hiệu x bởi kí hiệu khác.


Công thức ở định nghĩa có thể viết

f (x)  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim
x  x0
x x0
f ( x 0  x )  f (x 0 )
f (x 0 )  lim
x
x 0
f (x 0  h )  f (x 0 )
f (x 0 )  lim
h
h 0

y  f  f (1  x)  f (1)
x
 1  x  1 
.
1  1  x
y
-Tính lim
:
x 0 x
y
1
1
lim
 lim
 .
x 0 x x 0 1  1  x 2
1
 f '(1)  .
2

B1. Tính Δy = f(x 0 +Δx) – f(x 0 ).
Δy
B2. Tìm lim
.
C2. Δx 0 Δx

f (x)  f (1)
f '(1)  lim
x 1
x 1

Δx
f '(2) =
= lim
= -lim
=. lim ( ) = - .
=
2
4
x2
+
2 Δxx - 22
x 2(2
2 x+- Δx)
x  2 2x
Δf
1
1
lim
= lim
=- .
4
Δx 0 Δx Δx 0 2(2 + Δx)
1
f '(2) = - .
4


Nhận xét:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0, tức là
f(x) - f(x 0 )


lim

x x 0

x  x0

 f '(x 0 )


4. Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và
tính liên tục của hàm số

- Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó
liên tục tại điểm x0 .

- Một hàm số liên tục tại một điểm
có thể có, có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
- Nếu hàm số y =f(x) gián đoạn tại điểm x0 thì nó
không có đạo hàm tại điểm x0 .


4. Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và
tính liên tục của hàm số
f(x) có đạo hàm tại x0

f(x) liên tục tại x0


Qua tiết này, HS cần nắm được định nghĩa và cách